抛物线专题复习讲义及练习

1、x2 =2py(p =0)的焦半径1,则点M的纵坐标是（）A.1716B.15C.7D. 0168抛物线专题复习讲义及练习知识梳理 =2 px（ p工0）的焦半径PF | = x +匸2 过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径其长度为2p.2 AB 为抛物线y2=2px的焦点弦，贝yXAXB= ，yAyB - -p2，| AB |= XAxp4 重难点突破重点：掌握抛物线的定义和标准方程，会运用定义和会求抛物线的标准方程，能通过方程研 究抛物线的几何性质难点：与焦点有关的计算与论证重难点：围绕焦半径、焦点弦，运用数形结合和代数方法研究抛物线的性质1要有用定义的意识2问题1：抛物线y=4x上的一

2、点M到焦点的距离为点拨：抛物线的标准方程为M到准线的距离x2二丄y，准线方程为y 1,由定义知，点416为1,所以点M的纵坐标是162. 求标准方程要注意焦点位置和开口方向问题2:顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点（3，2）的抛物线的条数有 点拨：抛物线的类型一共有 4种，经过第一象限的抛物线有 2种，故满足条件的抛物线有2条3. 研究几何性质，要具备数形结合思想，“两条腿走路”问题3:证明：以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切点拨：设AB为抛物线的焦点弦，F为抛物线的焦点，点A'、B'分别是点A、B在准线上的射影，弦AB的中点为M，则AB二AF BF二AA' B

3、B'，点M到准线的距离为1 1（AA' BB'） AB，.以抛物线焦点弦为直径的圆总与抛物线的准线相切2 2热点考点题型探析考点1抛物线的定义题型 利用定义，实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换例1 已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q（ 2，- 1）的距离与点P到抛物线焦点 距离之和的最小值为【解题思路】将点 P到焦点的距离转化为点 P到准线的距离解析过点P作准线的垂线l交准线于点R,由抛物线的定义知， PQ PF = PQ PR，当 P点为抛物线与垂线l的交点时，PQ PR取得最小值，最小值为点 Q到准线的距离，因准 线方程为x=-1,故

4、最小值为3【名师指引】 灵活利用抛物线的定义， 就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换，一般来说，用定义问题都与焦半径问题相关【新题导练】21. 已知抛物线 y =2px（p>0）的焦点为 F，点 R（X1, yj, F2（X2, y?） , F3（X3, y3）在抛物线上，且|RF|、|P2F|、|RF|成等差数列， 则有（）a.X1X2= X3b.%y2= y C %X3=2x?d. *=2y?解析C由抛物线定义，2（x2卫）=（%卫）（X3'卫），即：x1x 2x2 .2 2 22. 已知点A（3,4）, F是抛物线y2=8x的焦点,m是抛物线上的动点，当

5、MA+|MF最小时，M点坐标是（）A. （0， 0）B. （3，2 6）C. （2，4）D. （3，-2.6）解析设M到准线的距离为 MK，则| MA|+MF |=|MA + MK ,当MA+|MK最小时,M点坐标是(2, 4)，选C考点2抛物线的标准方程题型：求抛物线的标准方程例2 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1)过点(-3,2)(2)焦点在直线x2y4=0上【解题思路】以方程的观点看待问题，并注意开口方向的讨论解析(1)设所求的抛物线的方程为y2 = -2 px或x2=2py(p 0),.过点(-3,2)二 4 - -2 p( -3)或9 = 2 p 22

6、十9p 或p =3 4抛物线方程为y -'x或X = 9 y,321 9前者的准线方程是x ,后者的准线方程为y=-38(2)令 x =0得 y = -2，令 y = 0得 X = 4,抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时，卫=4,2 p = 8，此时抛物线方程 y2 =16x;焦点为(0,-2)时卫=22 p = 4，此时抛物线方程 x2 = -8y .2 2所求抛物线方程为y = 16x或x =8y ,对应的准线方程分别是 x - -4, y = 2 .【名师指引】对开口方向要特别小心，考虑问题要全面【新题导练】2 X223. 若抛物线y = 2 px的焦点

7、与双曲线y2 -1的右焦点重合，则p的值3解析R= 31= p=424. 对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：焦点在y轴上；焦点在x轴上； 抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于 6； 抛物线的通径的长为5;由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2, 1)能使这抛物线方程为y2=10x的条件是.(要求填写合适条件的序号)解析用排除法，由抛物线方程 y2=iox可排除，从而满足条件.5. 若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与Y轴的交点，A为抛物线上一点，且| AM | = .17 ,| AF | = 3，求此抛物线的方程解析设点A'是点A在准线上的射影，则|AA&

8、#39;|=3，由勾股定理知|MA'|=2. 2，点A的横坐标为（2.2,3 -才），代入方程x2 = 2py得P=2或4,抛物线的方程x2 = 4y或x2=8y考点3抛物线的几何性质题型：有关焦半径和焦点弦的计算与论证例3 设A、B为抛物线y2二2px上的点，且.AOB二90 （O为原点）,则直线AB必过的定 点坐标为.【解题思路】由特殊入手，先探求定点位置y = kx2 P 2 P解析设直线 OA方程为y =kx,由丿。解出A点坐标为（马,空）y2=2pxk2 k2k(x 2pk )1y x2k 解出B点坐标为(2pk ,2pk)，直线AB方程为y+2pk = y2 = 2pxy

9、= 0得x = 2p，直线AB必过的定点（2p, 0）【名师指引】（1）由于是填空题，可取两特殊直线AB,求交点即可；（2） B点坐标可由A1点坐标用换k而得。k【新题导练】6. 若直线ax-y1 =0经过抛物线y2 =4x的焦点，则实数a =解析-17. 过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点 A、B,若A、B在抛物线准线上的射影为A1,B1,贝y. A1FB1 =（）A. 45 B. 60 C. 90 D. 120解析C基础巩固训练21过抛物线y =4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A B两点，它们的横坐标之和等于a2 2a 4（a R），则这样的直线（）A. 有且仅有一条B.有且仅有两条C

10、.1 条或2条 D. 不存在解析C| AB xA xB - p 二 a2 2a 5 = (a T)2 4 _ 4，而通径的长为 4.22. 在平面直角坐标系 xOy中，若抛物线x =4y上的点P到该抛物线焦点的距离为 5,则点 P的纵坐标为（）A. 3B. 4C. 5D. 6解析B 利用抛物线的定义，点 P到准线y = -1的距离为5,故点P的纵坐标为4.3. 两个正数a、b的等差中项是9，一个等比中项是2-.5，且a . b,则抛物线y2 = （b-a）x2的焦点坐标为（）111 1A . （0, -；） B. （0,匚）C. （-；,0）D. （-；,0）4 424解析D. a =5,b

11、=4,b - a - -14. 如果R , F2 ,，P8是抛物线y =4x上的点，它们的横坐标依次为 X1, X2,，X8 ,F是抛物线的焦点，若x,x2,，xn（N ）成等差数列且 为 x2川川*9 = 45 ,则| P5F | =（）.A. 5B. 6C. 7D. 9解析B根据抛物线的定义，可知RF =为十卫=人十1 （ i =1 , 2, ,n）,2；人公2，Xn（N ）成等差数列且 X1 X2 X9 =45,% =5,| F5F 1=65. 抛物线y2 =4x的焦点为F,准线为l, l与x轴相交于点E，过F且倾斜角等于60°的 直线与抛物线在 x轴上方的部分相交于点 A ,

12、 AB丄I,垂足为B,则四边形 ABEF的面积等 于（）A. 3一3B. 4 . 3C. 6、3D. 8.3解析C.过A作x轴的垂线交x轴于点H，设A（m, n），贝UAF =AB1, FH =OH -OF -1 , m 1 = 2（m -1）. m = 3, n =2 3四边形 ABEF 的面积=-2（3 1） 2、3 = 6、32一2T6. 设O是坐标原点，F是抛物线y =4x的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正向 的夹角为60，贝U OA为.解析 21 .过 A 作 AD _ x轴于 D,令 FD = m，则 FA = 2m 即 2 m = 2m，解得 m = 2 .A（3,2、3）

13、 OA»；32 （2、3）2 = ：；21综合提高训练7在抛物线y=4x 若记A X1,% , B X2,y2 ，贝U y1, y?是该方程的两个根，所以 丫2二-p.上求一点，使该点到直线y=4x5的距离为最短，求该点的坐标解析解法1 ：设抛物线上的点 P(x,4x2)，I4x2-4x+5l |4(x-£)2+414jt7点P到直线的距离d4x 4x 5|二2，<171711当且仅当x时取等号，故所求的点为 (，22解法2:当平行于直线 y =4x_5且与抛物线相切的直线与抛物线的公共点为所求，设该直线方程为y = 4x b，代入抛物线方程得 4x2 - 4x -

14、b = 0，11由厶=16 16 =0得b - -1,x，故所求的点为(一，)229. 设抛物线y2 =2px( p 0 )的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于 A、B两点点 C在抛物线的准线上，且 BC / X轴.证明直线 AC经过原点O.证明：因为抛物线y2=2px ( p>0 )的焦点为F ' ,0 i,所以经过点F的直线AB的方程12丿可设为x = my ，代人抛物线方程得 y2 - 2 pmy - p2 = 0 .因为BC x轴，且点C在准线x=上，所以点一 i pC的坐标为石,y2 ,故直线co的斜率为k =卫_p2y1 x即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点

15、O2 2x y10椭圆r2a b9=1上有一点M (-4,)在抛物线y5= 2px( p>0)的准线I上，抛物线的焦点也是椭圆焦点(1)求椭圆方程;(2)若点N在抛物线上，过 N作准线I的垂线，垂足为Q距离，求|MN|+|NQ|的最小值.2 2解: (1 )=1上的点M在抛物线y2a2 b2(p>0)的准线I上，抛物线的焦点也是椭圆焦点2 c=-4 , p=89 M (-4, )在椭圆上516 8122a 25b- a2 =b2 c2由解得：a=5、b=32 2椭圆为y 1259由p=8得抛物线为y2 =16x 设椭圆焦点为F (4, 0),由椭圆定义得|NQ|=|NF| |MN|

16、+|NQ| > |MN|+|NF|=|MF|29241=,(V _4)2 ( -0)2，即为所求的最小值V55参考例题:1、已知抛物线C的一个焦点为f (1, 0),对应于这个焦点的准线方程为x=-2 .(1)写出抛物线C的方程;(2)过F点的直线与曲线 C交于A、B两点，0点为坐标原点，求 AOB重心G的轨迹方程;解：(1)抛物线方程为:2y =2x.(4分)(2)当直线不垂直于x轴时，设方程为y=k(x-*),代入y2=2x.,2得：k2x2-(k2+2)x+k 0.设 A (X1, y1), B(X2, y2),则k2 +22X1 + X2=， y1 +y2= k(x1 +x2-1

17、)= -0 x1 x2 k22x =2设厶AOB的重心为 G (x, y)33k2o +% +y?2，y =33k(6分)消去k得y2= fx -9为所求,(8 分)当直线垂直于x轴时，A （丄，1）, B （丄，-1）,2 2 AOB的重心G （ 1 , 0）也满足上述方程.3综合得，所求的轨迹方程为y2=-| ,(9分)抛物线专题练习、选择题（本大题共 10小题，每小题5分，共50 分）1.如果抛物线y2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为A . (1,0)B. (2, 0) C. (3, 0) D. (- 1,0)2.圆心在抛物线y 2=2x 上,且与x轴和该抛物线的准线都相切

18、的一个圆的方程是2 2 1A . x + y -x-2 y -=042 2x + y +x-2 y +1=02 2C. x + y -x-2 y +1=02 2 1D . x + y -x-2 y +=043.抛物线y = x2上一点到直线2x - y - 4 =0的距离最短的点的坐标是A . (1, 1) B.(丄,丄)2 43 9、C. (越)D.(2, 4)4.一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m时，水面宽4m,若水面下降1m ,则水面宽为5.A .6m B .2.6m C. 4.5m D . 9m平面内过点 A （-2,0）,且与直线x=2相切的动圆圆心的轨迹方程是A2小rA . y =

19、2x B .2 2y = 4x C. y = 8x2 D. y = 16x6. 抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点（-5, m）到焦点距离是6，则抛物线的方程是（）A . y 2=-2x B . y 2=-4xC . y 2=2xD . y 2=-4x 或 y 2=-36x27. 过抛物线y =4x的焦点作直线，交抛物线于A（X1, y 1） , B（x2, y 2）两点，如果*+ X2=6，那么 |AB|=（）A . 8 B . 10 C . 6D . 4&把与抛物线y 2=4x关于原点对称的曲线按向量a = （2, -3）平移，所得的曲线的方程是（A . (y-3)24(

20、x-2) B . (y-3)2 =4(x2)C . (y 3)2 - -4(x-2) D. (y 3)2 - -4(x 2)29. 过点M (2, 4)作与抛物线y =8x只有一个公共点的直线I有()A . 0条B . 1条C. 2条D . 3条10. 过抛物线y =ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段 PF与FQ的长1 1分别是p、q，则-等于()p q14A. 2a B.C . 4a D .2aa二、填空题11. 抛物线 y2=4x的弦AB垂直于x轴，若 AB的长为4 . 3，则焦点到 AB的距离为.12. 抛物线y =2x2的一组斜率为k的平行弦的中点的轨迹

21、方程是 .13 . P是抛物线y 2=4x上一动点，以P为圆心，作与抛物线准线相切的圆，则这个圆一定经过一个定点 Q, 点 Q 的坐标是 .2 214 .抛物线的焦点为椭圆 =1的左焦点，顶点在椭圆 中心，则抛物线 方程94为.一 .选择题(本大题共 10小题，每小题5分，共50分)题号12345678910答案ADABCBACCC二 .填空题(本大题共 4小题，每小题6分，共24分)k211 . 212 . x13 . (1 , 0)14 . y2 =-4 5x4三、解答题2 215 .已知动圆 M与直线y =2相切，且与定圆 C: x (y 3) =1外切，求动圆圆心 M的轨迹方程.解析:

22、设动圆圆心为M(x,y),半径为r,则由题意可得M到C (0,-3)的距离与到直线y=3的距离相等，由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C (0, -3)为焦点，以y=3为准线的一条抛物线，其方程为x212y .16 .已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点 M ( 3, m)到焦点的距离等于5,求抛物线的方程和 m的值.(12分)2P解析:设抛物线方程为 x =-2py（p>0），则焦点F （-上,0 ）,由题意可得2“2 -m =6 p，解之得=5m=246 或p =4-m=-2j6p =4故所求的抛物线方程为 X2二-8y，m的值为_2、. 6一 2 1 一 一17.

23、动直线y =a,与抛物线y x相交于A点，动点B的坐标是（0,3a），求线段AB中2点M的轨迹的方程.（12分）r 22x = a解析:设M的坐标为（x, y）, A （ 2a , a），又B（0,3a）得丿J = 2a2消去a，得轨迹方程为 x =，即y2 = 4x419. 如图，直线11和12相交于点M, Il丄12，点N Il以A、B为端点的曲线段 C上的任 一点到12的距离与到点 N的距离相等.若 AMN为锐角三角形，lAMFl" , |AN|=3，且 |BN|=6 .建立适当的坐标系，求曲线段C的方程.（14分）解析:如图建立坐标系，以11为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点由题意可知：曲线 C是以点N为焦点，以12为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为C的端点.设曲线段C的方程为y2=2px（p 0）, （xA岂x乞xB, y 0）,其中Xa,Xb分别为A、B的横坐