第十章级数

1、第十章 级数基 本 课 题 ：第十章级数 第一节 常数项级数目 的 要 求 ：掌握常数项级数的概念，：掌握级数的性质重 点 ：级数的性质难 点 ：级数收敛的必要条件教 学 方 法 ：讲授法教 学 手 段 ： 常规教 参 ：同济大学高等数学教学环节及组织 新课引入：为什么无限循环小数是有理数，可以表示成两个整数相除呢？用等比数列求和公式可以求出其和。 讲授新课：级数的概念：给定一个无穷数列则称表达式 为（常数项）无穷级数 级数收敛：如果级数的部分和数列有极限S，即，则称级数收敛，此时极限S叫做此级数的和，并记为；如果没有极限，则称级数发散级数的基本性质：1、级数与级数有相同的敛散性 2、分别收敛

2、于S、T，那么级数也收敛，且其和为 3、在级数中去掉、增加或改变有限项，不会改变该级数的敛散性 4、（级数收敛的必要条件） 若级数收敛，则。例题讲解：例1等比级数（又称为几何级数）的敛散性例2 讨论调和级数的敛散性例3 判定级数是否收敛？若收敛，求其和小结：本堂课介绍级数的概念,会用级数收敛的必要条件去判定级数发散课堂交流：1 提问 级数的收敛与数列的收敛有什么区别？ 2 课堂练习习题10-1：1，2 课外作业及思考题：习题10-1 3 4 题基 本 课 题 ：第二节 常数项级数审敛法目 的 要 求 ：掌握正项级数审敛法，：理解交错级数审敛法,了解条件收敛和绝对收敛。重 点 ：正项级数审敛法难

3、 点 ：比较审敛法教 学 方 法 ：讲授法教 学 手 段 ： 常规教 参 ：同济大学高等数学教学环节及组织新课引入：正项级数应该怎样去判定它的收敛性? 讲授新课：正项级数概念，交错级数的概念，绝对收敛与条件收敛的概念 正项级数敛散性判别法：比较判别法,比值判别法 交错级数判别法 用绝对收敛判定一个任意项级数收敛例题讲解： 例1 讨论p-级数的敛散性 例2 判定级数的敛散性可以用分式变形方法，可以用比较判别法。 例3 判定级数的敛散性 例4 判定级数的敛散性 例5 判定级数的敛散性 例6 判定级数的敛散性小结：本堂课介绍了级数的判定方法,注意它们的判别条件.课堂交流：1 提问 以前我们学过的函数

4、收敛的定理是什么？ 条件收敛与绝对收敛有什么区别？ 2 课堂练习习题10-2：1,3课外作业及思考题：习题10-2 2,4题基 本 课 题 ： 第三节 幂级数 目 的 要 求 ：掌握收敛域以及收敛半径的求法,了解幂级数的运算重 点 ：掌握收敛半径的求法难 点： 收敛区间的求法 教 学 方 法 ：讲授法教 学 手 段 ： 常规教 参 ：同济大学高等数学教学环节及组织 复习常数项级数收敛性定义,由等比数列所做成级数引入幂级数的概念 新课讲授：幂级数的概念幂级数的收敛与发散幂级数收敛的性质及收敛区间和收敛半径幂级数的运算 幂级数的求导与求积分性质 小结：幂级数的概念是建立在常数级数的概念基础上的,理

5、解幂级数的概念可以通过等比数列所构成的级数进行理解,重点需要掌握收敛半径的概念与求法.课堂交流：1 提问 等比数列所构成的级数在什么情况下收敛?2 课堂练习10-3: 1 2课外作业及思考题：10-3 3 题 基 本 课 题 ：第四节 函数展开成幂级数目 的 要 求 ：掌握泰勒级数,理解函数展开成幂级数方法,会把一些简单函数展开成幂级数重 点 ：泰勒级数难 点： 幂级数的间接展开法 教 学 方 法 ：讲授法教 学 手 段 ： 常规教 参 ：同济大学高等数学教学环节及组织 复习幂级数的概念，函数与幂级数的关系 新课讲授：以前我们知道了幂级数的收敛半径和区域,那么幂级数收敛到一个函数,那么反过来一

6、个函数怎么展开成幂级数呢?泰勒级数以及泰勒定理幂级数的直接展开法幂级数的间接展开法例1 将函数展开成的幂级数 例2 将函数展开成的幂级数例3 将函数展开成的幂级数例4 将函数展开成的幂级数例5 将函数展开成的幂级数小结：函数展开成幂级数也要注明函数的收敛半径,有时候利用已有函数的展开式： 来展开某些类似的函数往往能够使得问题变得简单. 课堂交流：1 提问 间接展开法采用了什么样的数学思想？ 3 课堂练习10-4:1,2,3题课外作业及思考题：10-4: 4,5题 证明泰勒定理基 本 课 题 ：第五节 傅立叶级数 目 的 要 求 ：掌握傅立叶级数的形式和系数的求法。重 点 ：傅立叶级数的展开式。

7、难 点 ：傅立叶级数系数的求法教 学 方 法 ：讲授法教 学 手 段 ： 常规教 参 ：同济大学高等数学教学环节及组织新课引入：复习函数项级数,引入三角级数的概念 讲授新课：三角函数系的正交性：所谓三角函数系的正交性，是指三角函数系中任意两个不同函数的乘积在区间上的积分必为零，即， 由的傅里叶系数所作出的三角级数 函数展开成傅立叶级数 由公式算出的系数称为函数的傅里叶系数，例题讲解：例1 设是周期为的函数，它在一个周期内的表达式为 将展开成傅里叶级数 例2 设是周期为的函数，它在上的表达式为 展开成傅里叶级数 小结：本堂课把函数展开成傅立叶级数利用了三角函数的正交性,求傅立叶级数系数的方法就是常常利用到分步积分的办法课堂交流：1