杆两端分别沿墙面地面的运动

1、 杆两端分别沿墙面地面的运动如图所示，轻杆两端各固定一个可以看作质点的相同的小球A和B，一端沿着竖直光滑墙面下滑，另一端沿着水平光滑地面滑动，设开始时杆靠墙竖直放置，受到扰动后开始运动。在A沿墙下滑过程中，求：2球在任意位置的速度v和u。解：建立如图所示的坐标系，在t时刻，B和A的位置坐标分别为 <1>对时间t求导数 <1.1>第二式中的负号表示A沿墙下滑速度与y轴正方向相反。 <1.2>机械能守恒 <2> ()杆不伸缩 <3> <2-3.1> <2-3.2> <2-3.3> 比较<1.2&g

2、t;<2-3.2>： <1-2-3> 对<1.1>求导并整理，得小球的加速度： <1.1.1> 此时，A和B相对于杆上的一点C转动，该点到A距离z:，到B点距离；C点坐标： ， <1.1.1-1>这是星形线。转动角速度A、B加速度随着的变化图像如下：(加速度随着杆与竖直方向夹角变化图像a/g)由此可知，当(=48.19°)时，B的加速度为零，此时A的加速度恰为重力加速度，表明此时A球与墙面和杆无相互作用，即将离开墙。 因此上述讨论所得结果，适用范围是 <1-1>从开始运动到A离开墙，所用时间由<1-2-3&

3、gt;第一式解出：代入<1.2>整理得到： <4> 说明：t=0时，不能为零，否则杆将无法沿着墙面下滑，或者下滑时间就会变为无限长。因此初始条件必须给定一个不为零的0，比如=/1000.如此，并不影响机械能守恒的列式。一般的，若初始位置的0不是很小，则运动时间t表示为一个椭圆积分。继续讨论:A与墙面之间无相互作用后，2小球的运动情况：因为系统水平方向不受任何外力，所以水平方向A、B系统动量守恒；因此，系统质心水平方向将以A刚脱离墙面时B的速度的一半匀速运动。此时B的速度最大 <001>此时，A的竖直分速度 <002>对B，因为在A脱离墙时刻速度达

4、到最大，此后B速度减小，加速度向左所以杆对它有拉力；对A，脱离墙面后，受到重力和杆的拉力，竖直方向继续加速，水平方向速度从零开始增大。对A和B组成的系统，水平方向动量守恒，设A的水平分速度为vx，vy；B速度仍用u表示，则 <003>杆与竖直方向的夹角从=arcsin(2/3)增加到(/2)，A和B系统机械能守恒 <004>A和B沿着杆方向的分速度相同： <005> <006>整理以上各式得到 <007> <008>其中取值范围A的水平、竖直分速度 <009> <010>当A刚触地时，B的速度为A刚

5、离开墙时最大速度的一半；此时A的速度，注：左上图蓝色曲线表示A沿墙面运动2小球的速度随着杆与墙面的夹角变化图像，红色曲线表示A脱离墙后，二者的速度图像。右上图蓝色曲线表示A被约束在墙上运动，二者的运动图像。说明：1速度单位（杆长约为2.7m），横轴表示杆与竖直方向的夹角，纵轴表示速度。角速度：由推出 <011>求运动时间：直接从上式中得到 <012>从A离开墙面到落地，取=/2，可以得到所经历的时间为 上述被积函数没有初等原函数，只能采取数值积分求出数值结果。与竖直下抛比较可知，A的运动时间短。 A的位移x=x()，y=y()：；这个结果是意料之中的。加速度A的加速度B

6、的加速度可以推知，当时，ay最大，此时=1.201258570rad=68.82704616°，加速度最大值1.16365673g附注：靠墙的小球脱离墙面时，杆与墙面之间夹角的另一推导：<3>代入<2>解得B球的动能：所以当时，B的动能最大，最大值为解：（1）杆的角速度：从开始滑落到图示位置，机械能守恒： 1是杆的质心C（中点）对地的速度，为杆对质心C的角速度。在图示位置，杆的转动瞬心D是以杆为对角线的矩形与墙角相对的一个顶点，D到C的距离 d=l/2，此时质心速度符合 2代入1解得此时杆对瞬心的角速度 问题：质量为m的均质杆长度为，原先竖立靠在墙面，因扰动而

7、开始运动，其一端沿着地面，另一端沿墙滑落。不计一切摩擦，求当杆与地面成夹角时，受到地面和墙面的支持力。解：为简便起见，设建立竖直向上为+y，水平向左为+y，墙角为坐标原点。此刻质心C的位置坐标 1 对时间求一阶、二阶导数得到： 2 3从开始滑落到图示位置机械能守恒 4 5 代入24： 6注意到随时间减小，所以 7联立567解出质心加速度的水平、竖直分量 8对质心，用牛顿第二定律 9代入8解得地面对杆的支持力 墙对杆的支持力由此可知，当=时，杆将要脱离墙面。此时，质心的水平速度，竖直速度。此后，水平方向杆不受外力，所以其水平速度保持不变。从开始离开墙，此时杆与水平面成夹角（sin=2/3），到杆与水平面成夹角，机械能守恒，减少的重力势能和转化为质心的动能和杆绕瞬心D的转动动能的增加：