非线性系统的鲁棒自适应控制

1、非线性系统的鲁棒自适应控制Robust Adaptive Control of Uncertain Nonlinear Systems郝仁剑 3120120359摘要： 本文以非线性系统的控制问题为背景，介绍了多种经典的非线性系统的控制方 法以及研究进展，分析了各种控制方法存在的优点和不足。着重介绍了鲁棒自适应控 制在非线性系统中的应用，结合该领域的近期研究进展和实际应用背景，给出对鲁棒 自适应控制的进一步研究目标。关键词 ： 非线性系统鲁棒控制 自适应控制1. 前言任何实际系统都具有非线性特性，非线性现象无处不在。严格地说，线性特性只 是其中的特例，但是非线性系统与线性系统又具有本质的区别。

2、由于非线性系统不 满 足叠加原理 ，因此 非线性特性 千差万 别，这也 给非线性系统的研究 带来 了很大 的困难 。 同时 ，对于非线性系统 很难求得完整 的 解，一 般只 能 对非线性系统的 运动情况做 出估 计。 众所周知 ，控制 理论 经历了经典控制 理论 和现 代控制 理论两个发 展阶段 。在 第二 次世界大战前后发 展起来 的经典控制 理论 应用 拉普拉斯变换等工程数学工 具来 分析系 统的 品质。 它广泛 地应用于 单输入单输 出、线性 、定常、集 中参数 系统的研究中。 随 着控制对象的 日益复杂 以及 人们 对控制系统 精度 的不 断提高 ，经典控制 理论 的 局限 性 就暴露

3、 出来了。在 20 世纪 50 年代 ， Bellman 根据最 优原理 创立 了动态规划 。同时 庞特 里亚金 等学 者创立 了最大 值原理 。后来 ，Kalman 提 出了一系 列 重要的概念 ，如可观 性， 可控性， 最优线性 二次 状态反馈 ， Kalman 滤波 等。这 些理论 和 概念 的提出大大 促进了 现代 控制 理论 的发展。控制系统的 设计都需要 以被控对象的 数学 模型 为依据 ， 然而 对 于任何 被控对象不 可能得 到其精确 的数学 模型 ，如在建立机器 人的数学 模型 时 ，需要 做一 些合理的 假设 ，而忽略 一些不 确定因数 。不 确定性的 必然 存在 也正促使

4、 了现 代控 制理论 中另一重 要的研究领域 一一鲁棒控制 理论的发展。Zmaes关于小增 益定理 的研究 以及 Kalman 关于 单输入单输 出系统 LQ 调节器稳 定裕量 的分析为鲁棒控制 理论 的发 展 产生了重要的影响。特别是Zmaes1981年发表的论文1标志H*控制理论的起步。1984 年Fran cis和Zmaes基于古典插值 理论提 出H *问题的 初步解法。Glover运用Hankel算 子理论 给出了 H*问题的 解析解。Doyle在状态空间上 对Glover解法进行整理和归纳。 至此H*控制理论体系初步形成。同时，Doyle首次提出结构化奇异值 的概念，后来形 成了 懈

5、析理论。另外一种重 要的控制 器设计方法是 基于Lyapunov函数的方法。在进 行鲁棒控制 器 的设计时 ，一 般都假设 系统的不 确定性属于一 个可描述 集， 比如增 益有 界， 且上 界己 知等 。一 般来 说，鲁棒控制是 比较保守 的控制 策略。对 所考虑 集 合内的 个别 元素 ，该系统 并不是 最佳控制。对于具有 参数 不确定 性的一 类系统，自适应控制 技术 被提了出 来， 如模型 参考自适应控制和自 校正控制 等 。在实际应用中，由于 被控 对象具有 未建模 动态， 过 程噪声或扰 动的统 计 特性 远比设 计时所 设想的 情况 更 复杂 ， 以及 持续激励条件 和严 正 实条

6、件 等 “理想条件” 被打破 ， 这都会导致 自适应控制 算法 的失 稳。于是自适应控制的鲁棒性 课题， 即鲁棒自适应控制 受到了 广泛 的 关注 。 大量 的工程 实践表 明，对于 复杂 的 工业 对象和 过程 ， 引入自适应 策略能够提高 控制 精度 ， 提高 生产 效率 ， 降低 成本。近 年来 ，非线性自适应控制 技术取 得突破 性的 发展，控制 器的结 构化设 计技术 也正 日益得 到 广泛 的研究与应用。随着科学技术的发展，特别是 航海，航空和航天技术 ，以及工业控制技术的发展， 人们 对严重非线性系统， 变参数 系统 迫切 要求 更精密、有 效的控制 算法。但又由于非 线性系统的

7、 复杂 性以及不 确定性的多 样性， 要在统一的 框架下 处理多种非线性不 确定 系统是 很困难 的。将非线性系统自适应控制与鲁棒控制 相结合起来，综合近年来 的非 线性控制 技术 ，控制 器结构性设计技术以及智能控制 技术 等，提出高性能的和 可行的 控制系统 设计方法， 这对促进工业生产和国防 建设，以及 发展和完善非线性控制 理论 都将具有重 要的意义 。2. 非线性控制2.1 相平面 法早期的非线性控制方法有 “相平面法 ”， 描述函 数法， 绝对稳定 性理论等 。相平 面法最早由 Poincare 等数学 家们提 出来。其 主要思想 是在一 个叫做相平面 的二维平面 内，产生出对应于

8、各种 初始条件 的运动轨迹，从各种 运动 轨迹可以得到系统的一 些定 性特性。该方法的 缺点是只 局限于一阶和二阶 的非线性系统，对 高阶系统的 图解分析 将变得 非常困难 。描述函 数法是一种近 似的分析方法， 它 将系统在 正弦信号作 用下产 生的输出用基波分量来近似。这样就可以得到输入输 出信号之 间在幅值和相位上的相 互关系，即获 得非线性系统近 似的频率特性。但是该方法对 复杂的非线性系统 就变得 无能为力。绝对稳定性概念是由鲁 里叶和波斯特尼考夫提出来的。其中 比较著名 的绝 对稳定性判据有波波夫判 据和圆盘判 据。波波 夫判据通过分析系统中线性 部分的 频率 特性就能判断整个 系

9、统的 绝对稳定性。圆盘判 据是一种 频域形式的判据。但这些判据 都很难 推广到 多变量非线性系统中。2.2 Lyapunov 函 数法研究非线性控制系统 稳定性最常用的方法是 Lyapunov 在著作动态稳定性的一 般 问题 中提出的方法。该方法 包括直接法和间接法 。间接法是 从非线性的线性 逼近稳 定性质 得出非线性系统在一 个平衡点附近的局部稳定性的结 论。直接 法是 通过借助于 一个 Lyapunov 函数来 直接对系统 平衡状态 的稳定性做出判断，即从 能量的观点对系统 进行稳 定性的分析。 如果一个系统 被激励后，其存 储的能量随着时间的推移在逐渐衰 减，到达平衡状态时，能量达到最

10、小 ，那么这个 平衡状态 是渐进稳定的。 或者系统存 储的能量既不增加也不减少，那么 这个平衡状态也称为是稳定的。该方法适用于任何 系统， 可以是 时变的或定常的，也可以是有 限维的或者无限维的。该方法的 局限 性在 于往往 很难对一 个给定的系统 找出一 个切 Lyapunov 函数。克拉索夫斯基法和 变量梯度 法为 早期提 出的 构 造切 Lyapunov 函数的方法。2.3 反馈线性 化法在上个世纪 80 年代中期， 微分几何和微分代数方法的 引入为非线性控制 理论的研 究带来 了突破 性的进展， 使得研究 模式摆脱 了局部线性化和小范围 运动 的限制，实现 了非线性系统 大范围的分析与

11、 综合。一种 新的非线性控制方法 反馈线性化 引起人 们极大的兴趣 。 Krener 首先对局部反馈线性 化控制的 充分条件进行了研究， 随后 Boothby ，Dyawansa 等人 将这一局部结果推 广到全局。反馈线性 化的基本思想 是通过代 数变换 将一个非线性系统 变换 成线性系统， 从而可 以应用 熟知的线性 理论来 进行控制 器的设计。该方法与 传统的基于平衡点附近线性 化的方法有本质的区别， 因而又称为 精确线性化或全局线性化。该方法的 缺点是要求系统 模型 精确己知。在处 理不确定线 性系统 时，Kharitonov区间理论，H控制理论，结构奇异值 理论(p理论)起着重要的作

12、用。2.4 鲁棒控制法对于非线性系统的 鲁棒控制算法 ，典 型的是 变结构控制。由于 变结构算 法能够使 系统 沿设计好的“滑动模态 ”轨迹 运动， 因而使 系统具有 很强的鲁棒性。 同时 由于其 结构简单、响应快而受到普遍重视。以微分几何为主要工具发展起来 的非线性控制 理 论思想 极大推动滑模控制 理论 的进展。为了 使系统 保持在“滑动模态 ”上运动 ， 滑模 控制 需要 来回地作逻辑切换， 故容易 引起抖振 现象。 抖振 的发生将破 坏“滑动模态” 的优 良性能， 增加能耗， 激发系统 未建模高频，对整个系统 产生破坏作用。虽然已经 提出了 许多消弱抖振 的方法，但是该问题 还没 有真

13、正地得到解决。目 前，对于非线性 系统的鲁棒控制问题， 主要的解决方法 仍然以 Lyapunov 稳定性理论 为基础。首先假设 系统的不 确定性可表示为有 界未知参数 或有界未知函数， 根据上 界值或上界函数以及 标称对象 来构造一个适当的 Lyapunov 函数，使得系统对于不 确定集 中的任何 元素都是 稳定的。事实上，构造 Lyapunov 函数的过程也正是使系统无 源化的过程。此时 Lyapunov 函数正是保证系统无 源化的存储函数。非线性系统无 源性的 KYP 引理揭示 了对非线性 系统 构造存储函数的可能性。系统 称为无源的是 指系统的 能量总是小于或等于初始时 刻系统 所具有的

14、 能量与由 外部提供的能量之和， 即系统只 从外部吸收 能量， 而系统本 身并不向外部释放能量。系统的无 源性概念的更一般的推广就是所谓的耗散性。对于 给定的能量供给率， 如果存在一 个依赖于系统 状态的非负能量存储函数， 使得耗散不 等式成立， 则称系统是 耗散的。 工程 中常用的 供给率是由 输入到输出信号 的范数之差 给出的，即L2增益约束的控制问题。如果系统对于这类供给率是耗散的，那么该系统由输入到输出就满足L2增益约束条件。许多与L2增益约束有关的控制问题，如L2综合问题，H “可题，以及 干扰近似解耦或L2干扰抑制等，都可以归结为使系统耗散的问 题。从本质上讲，非线性H "

15、;二控制就是一种L2增益约束控制问题。非线性 H a控制在 上世纪 90 年代得 到重要发展。 Vander Schaft 运用无 源性和 耗散理论 ，给出了一 个求解 Hg状态反馈 控制的方法。 该方法 利用Hamilton矢量空间 的Hamilton-Jacobi方程和不变 流形作为分析 工具， 并假设 Hamilton 系统在一 定条件下 具有 双曲 平衡点， 得出线性 化 系统的H控制问题是 可解的。Isidori等人提 出解决非线性H控制问题的 微分对策框 架， 并且基于该 框架给出了 符合分 离原理 的输出反馈 控制 器的存在 条件 。 然而 ， 理论 上的发展并没有促进非线性H

16、"控制方法在实际系统中的 广泛应用。其中一 个关键的问 题是非线性 Hg控制问题 需要求解Hamilton-Jacobi-lssacs (HJI) 偏微分不等式，而该不等 式的求解是相当困难的。 Yazdanpanah 等人 ，证明了非线性 反馈 控制 器总是导致 比线性 控制 器更大的有 效域， 且扰动衰减系数越大， HJI 不等式的有 效域越大。反之， 扰动衰 减系数越小， HJI 不等式有效域越小。但该方法 仅仅 是一 个粗糙 的估计 。 Soravia 从粘 性解的角度，研究了非线性H g控制问题 可解的充分必要条件，并证明了在输入是紧集的情况 下充分条件 就是必要 条件 。

17、 另外也有一 些学者针对 HJI 不等式提出了一 些数值 解法。由于目 前对于 HJI 不等式在数学 上还没 有通用的方法， 因此人们 开始尝试开辟 新的途径来绕过不等式的求解。文献2,3研究了不 确定非线性系统的自适应鲁棒L2干扰抑制问题。在系统存在 干扰和未建模动态的情况下，一 些新的非线性 设计方法 4,5 都避免 了求解 HJI 不等式。3. 鲁棒自适应控制研究进展自适应控制是 另外一种重 要的非线性控制 技术。 常规的反馈控制系统对于系统 内部特性的 变化或者外界干扰也具有一 定的抑制能力，但由于控制 器的参数 是固定不变 的， 当系统内部特性发生变化或者外 界干扰很大时 ，系统的

18、稳定性就无法 保证。而自 适应控制的优点 就是具有一 定的适应 能力，它可以根据系统的 输入输 出数据，不 断地 辨识 系统的 参数 。通过在线 辨识 ，系统的 模型越来越接近实际。 随着模型的不 断改进， 作用于系统的控制 输入也随 之发生相应的变化，即体现出 算法的学习能力。早在上世 纪 80年代 ，研究 者就发现，在存在 外界干扰或建模误差的情况 下，常规的自适应控制 算法会出现不 稳定的现象。自 此以后，鲁棒自适应控制 策略的研究 成为了一 个研究 热 点。因此 80 年代 取得了大量关 于自适应控制的鲁棒性结 果。如死区修正算法的 提出， 利用死区或相 对死区方法 把扰动噪声对系统的

19、 影响限制在死区内。只有 当跟踪误 差超 过了这个死区，才产生自适应 作用。否则中断自适应 率。 Praly 利用归一化参数估计来 使回路信号保持在归一化信号意义下 的有界，该方法 能够克服由于回归量的增值而 引 起的参数估计 失效的情况 。为防止估计参数因 外界干扰或未 建模动态引起的漂移，可 在参数估计 的每一步都 将参数投影到一个含有真参数的有界凸域中， 即所谓的投影算 法。为 消除自适应 律的纯积分作用，克服低频或 高频未建模 特性引起的不稳定，可在 自适应 律中加入一个3修正项。事实上，就像非线性系统的鲁棒控制问题一样，非线性系统的自适应控制问题 也同样很难 依靠线性方法 来加 以解

20、决。 基于反馈线性化技术， S.Sastry ， A.Isidori 讨论了非线性系统自适应控制。由于系统的非线性项要求满 足增长性条件 和匹配 条件， 因此 算法具有一 定的局限 性。 而非线性系统的自适应控制研究具 有里 程碑意义 的当数 Kanellakopoulos 等人提 出的 后推 设计方法。 后推设计方法的 基本 思想是将非线性系统分 解成不超过系统阶数的子系统。 然后为每一个子系统设计一个 Lyapunov 函数以及相应的 虚拟控制 器， 直至完成整个 控制器的设计。该方法 利用系统 的结构特性递推地构造整个 系统的 Lyapunov 函数，使得控制 器的设计结构化、系统 化，

21、 并且消除经典无 源设计中 相对度为一的 限制。 同时它也 放宽 了对系统的非线性 项增长 性条件 和匹配 性约束条件 。该方法 还能够获得任意好的瞬态响应性 能。为了 解决参数 重复估计 问题， Krstic 提出了调节函 数的概念6。非线性自适应控制 可用于克服系统中 的不 确定参数 ，但对于 外界干扰和未建模动态比较 敏感。由于鲁棒控制在 抑制干扰和 补偿未建模动态时具有良好的性 能， 因此将两种算法结合 起来能 够起到扬长避短 的作 用。 这也是近 年来非线性系统鲁棒自适应控制 成为一 个研究 热点的 基本原因。目 前， 在鲁棒自适应 后推设计方面己取得非常丰富的成果。文献7,8研究了

22、 干扰近似解耦问 题。在 考虑非线性系统存在 未建模 动态或者干扰的情况下，文献9给出了非线性系统 输出反馈控制 策略。在随机干扰的情况下，文献10研究了系统的 后推控制 算法。文献 11， 12将鲁棒自适应 后推算法推广到具有 输入饱和的非线性系统中。控制方 向未知的 问题是自适应控制中一 个颇受关注的问题。 当控制系 数为未知的定常参数时 ，文献13 提出了一种鲁棒控制 策略。该方法是 首先根据假设 的控制方 向设计一个控制器， 然后 在线对控制方 向进行辨识 。 若实际的控制方 向与假设的方向相反， 则采用连续的切换 律对控制 器进行修正。后来 Kaloust 将该方法 推广到具有 时变

23、 控制系 数的系统中。该 算 法的 缺点是计算比较 复杂 ， 很难推广到高阶非线性系统中。 另外一种处 理方法是 Nussbaum 首次提 出的 基于 Nussbaum 增益的 设计技术 。 接着这种方法 被推广 到了高阶 线性系统。对于控制方 向 未 知的 高阶 非线性系统， Ding 和 Ye 将 Nussbaum 的 设 计方法 进行推广，提出一种新的设计方法。Ye进一步 将该方法 推广到时变系统和 输出反馈控 制中。Ge研究了控制方 向未知的受扰非线性系统 神经网络控制方法。近 来，Xu针对这 类问题又 提出了一种 新的学习控制 策略。文献14讨论了不确定离散系统的鲁棒自适应 控制。文

24、 献15研究了非 完整 系统的鲁棒自适应控制方法。 Zhang ， Ezal 等人提 出了一 种能实现局部优化的鲁棒自适应 后推算法。 Wen 研究了 采用后推算法的分 散自适应控制。文 献16 研究了多 输入 多 输出非线性系统鲁棒自适应控制问题。文献17 研究了 时变系统的鲁棒自适应控制方法。对于非 匹配 非线性 时滞系统，文 献18 研究了其控制 器 设计 问题。 基 于后推技术 的鲁棒自适应控制 策 略在机器 人 ，伺服系统， 电机控制中 得 到了 广泛 的应用， 并取 得 了理想的控制 效果。4. 研究目标? 以永磁 同步电动缸为背景，研究存在 摩擦 、 死区非线性的鲁棒自适应控制问

25、题；? 对于 时变参数 的非线性系统， 研究 可 提高 自适应 速 度 和 精度 的鲁棒自适应控制方法， 用以 解决电动缸等机构 中摩擦 参数 与时变 负 载相关的问题 ；? 对于 加载系统和 力/位移混合 伺服系统， 建立 鲁棒自适应控制 律 ；? 对于多 输入 多输出非线性系统， 特别是一 类并 联或冗余 机构 的机器 人 系统，研究其 鲁棒自适应控制 算 法。参考文献1. Zames G. Feedback and optimal sensitivity: model reference transformation multiplicative semi norms and appro

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