疑难规律方法直线与方程

1、直线与方程i要点解读回归教材41. 直线的倾斜角在平面直角坐标系中，对于一条与 x轴相交的直线I，把x轴（正方向）按逆时针方向绕着交点 旋转到和直线I重合所成的角，叫做直线 I的倾斜角，当直线I和x轴平行时，它的倾斜角为 0°解读（1）直线的倾斜角分两种情况定义：第一种是与x轴相交的直线；第二种是与x轴平行或重合的直线.这样定义可以使平面内任何一条直线都有惟一的倾斜角.从运动变化的观点来看，当直线与x轴相交时，直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向转动到与直线重合时所转过的角.（3）不同的直线可以有相同的倾斜角.（4）直线的倾斜角直观地描述了直线相对x轴正方向的倾斜程度.2. 直线的斜率我

2、们把一条直线的倾斜角 a的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母 k表示，即kV2 y 1=tan a经过两点Pi（xi, Vi）, P2（X2, V2）（xi丰x?）的直线的斜率公式为 k= x.解读（1）斜率坐标公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后顺序可以同时颠倒.（2）所有的直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率.当倾斜角是90。时，直线的斜率不存在，但并不是说该直线不存在，而此时直线垂直于x轴.（3）斜率和倾斜角都是反映直线相对于x轴正向的倾斜程度的，通常情况下求斜率比求倾斜角 方便.(4) 当xi = X2, yiy2时直线没有斜率.3. 两条直线平行的

3、判定对于两条不重合的直线 h, J其斜率分别为ki, k2,有li/ I2? ki = k2.解读(1)利用上述公式判定两条直线平行的前提条件有两个：一是两条直线不重合，二是两条直线的斜率都存在.(2)当两条直线的斜率都不存在时，li与I2的倾斜角都是90°此时也有li / I2.4. 两条直线垂直的判定如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1;反之，如果它们的 斜率之积等于一1，那么它们互相垂直，即li±I2? ki &= 1.解读(1)利用上述公式判定两条直线垂直的前提条件是两条直线都有斜率.(2)两条直线中，若一条直线的斜率不存在，同时

4、另一条直线的斜率等于零，则这两条直线也 垂直.学法指导42 直线斜率的三种求法直线的斜率是用来衡量直线的倾斜程度的一个量，是确定直线方程的重要因素，还能为以后 直线位置关系及直线与圆位置关系的进一步学习打好基础.1 .根据倾斜角求斜率例1如图，菱形 ABCD的/ ADC = 120°求两条对角线 AC与BD所在直线的斜率.分析由于题目背景是几何图形，因此可根据菱形的边角关系先确定AC与BD的倾斜角,再利用公式k =ta n 0.解 在菱形 ABCD 中，/ ADC = 120°/ BAD = 60° / ABC= 120°.又菱形的对角线互相平分，BAC

5、= 30° / DBA = 60°/ DBx = 180° / DBA = 120°.- kAc= tan 30 =, kBD = tan 120 = .3.3(如平行、垂直、两直线评注本题解答的关键是根据几何图形中直线与其他直线的位置关系 的夹角关系等)，确定出所求直线的倾斜角，进而确定直线的斜率.2 .利用两点斜率公式例2直线I沿y轴正方向平移3个单位，再沿x轴的负方向平移4个单位，恰好与原直线I重合，求直线I的斜率k.分析 由于直线是由点构成的，因此直线的平移变化可以通过点的平移来体现因此，本题可以采取在直线上取一点P,经过相应的平移后得到一个新点

6、Q,它也在直线上，则直线I的斜率即为PQ的斜率.解 设P(x, y)是直线I上任意一点，按平移后，P点的坐标移动到 Q(x 4, y+ 3). Q点也在直线I上， k=y 3.(x 4 x4评注 本题解法利用点的移动去认识线的移动，体现了“整体”与“局部”间辩证关系在解题中的相互利用， 同时要注意：点(x, y)沿x轴正方向平移a个单位，再沿y轴正方向移动 b个单位，坐标由(x, y)变为(x+ a, y+ b).直线过两点 A(xi, yi), B(x2, y2),若xi =沁, yiMy2,则倾斜角等于 90°不能利用两点坐标的斜率公式，此时，斜率不存在.3.利用待定系数法例3如

7、果直线I沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来 的位置，求直线I的斜率.分析 本题可以利用例 2的解法进行求解，即考虑抓住点的变化求解除此之外，还可以考 虑直线I的方程的变化，利用待定系数法，通过比较系数可得结果.解设直线I的方程为y= kx+ b.把直线左移3个单位，上移1个单位后直线方程为y 1 = k(x+ 3) + b，即 y= kx+ 3k+ b + 1.由条件，知 y = kx+ 3k+ b + 1与y= kx+ b为同一条直线的方程.1比较系数，得b= 3k+ b + 1,解得k= 3.评注本题通过利用平移前与平移后的两个方程的同一性，进行相应系数的比

8、较求得结果.易错警示3直线方程中的“缺陷”1 .斜截式中斜率“缺陷”例1已知直线方程为 3x+ my 6 = 0，求此直线的斜率与此直线在y轴上的截距.错解 由3x+ my 6= 0，得my= 3x+ 6，即直线的斜截式方程为y=伞乂+ m，得出此直线的斜率为一m，在y轴上的截距为m剖析 忘记讨论当 m=0时，直线的斜率并不存在.正解 当m= 0时，直线可化为x= 2,此时直线的斜率不存在，在y轴上的截距也不存在；当0时，可得my= 3x + 6，即直线的斜截式方程为y= 3x+ 2 得出此直线的斜率为m m3，在y轴上的截距为.mm评注 在直线的斜截式方程 y= kx+ b中，非常直观地表示

9、了该直线的斜率为k,在y轴上的截距为b.研究直线的斜率与在 y轴上的截距问题，需要将一般式方程转化为直线的斜截式方 程来处理但要注意当 y的系数含有参数时要分系数为0和系数不为0两种情况进行讨论.2.两点式中分式“缺陷”例2 已知直线I过点A(1,2), B(a,3)，求直线I的方程.y 一 2 x一 1错解由两点式，得直线I的方程为=.3 2 a 1y 2 x 1剖析 忽视了 a= 1，即直线与x轴垂直的情况，若 a= 1，贝U=不成立.3 2 a1正解 当a= 1时，直线I的方程为x= 1;y 一 2 x一 1当az 1时，直线I的方程为 =3 2 a1综上所述，直线I的方程为x= 1或x

10、 (a 1)(y 2) 1 = 0.y y1x X1评注 一般地，过p(x1, y” , Q(X2, y2)两点的直线方程，不能写成= ，而应写成y2 y1 X2 X1（X2 X1）（y y1） （y2 y”（x X1）= 0.3.截距式中截距“缺陷 错解设直线的方程为x+丄=1.a - a2 4因为直线过点(2,4)，所以-+=1，解得a=- 2.a a故所求的直线方程为+ y = 1，即x y+ 2= 0.2 2剖析 直线的截距式方程只适用于截距不为0和不平行于坐标轴的情形，本题由截距式求解时没有考虑截距为 0的情形，导致漏解.正解当直线的截距均不为 0时，同错解；当直线的截距均为 0时，

11、直线过原点，此时直线的斜率为 k= 2,直线的方程为y= 2x,即卩2x y= 0.故所求的直线方程为 2x y= 0或x y+ 2 = 0.评注 事实上，当题中出现“截距相等”、“截距的绝对值相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的m(m>0)倍”等条件时，若采用截距式求直线方程，都要考虑 “截距为0 ”的情况.4. 一般式中系数“缺陷”例4 如果直线(m 1)x+ (m2 4m+ 3)y (m 1) = 0的斜率不存在，求 m的值.错解因为直线的斜率不存在，所以 m2 4m+ 3= 0.解得m= 3或m= 1.所以当m = 3或m= 1时，直线的斜率不存

12、在.剖析 由于方程Ax + By+ C = 0表示直线，本身隐含着(A, B不同时为0)这一条件.当m= 1 时，方程(m 1)x+ (m 4m + 3)y (m 1) = 0即为0 x + 0 y 0= 0，它不表示直线，应舍去. 正解因为直线的斜率不存在，2所以m 4m+ 3= 0,且 m 1丰0,解得 m= 3.所以当m = 3时，直线的斜率不存在.评注 方程Ax+ By + C = 0(A, B不同时为0)才叫做直线的一般式方程，才表示一条直线4对称冋题专题探讨4中学数学涉及对称问题有两大类：一类是中心对称，另一类是轴对称本章中与对称有关的 问题分为以下四种类型.1.点关于点对称点 P

13、(a, b)关于点 M(Xo, yo)的对称点为 P' (2xo a,2y° b).事实上点关于点对称的本质是中点问题，由中点坐标公式即可求得对称点的坐标.2 .直线关于点对称直线I: Ax+ By + C = 0关于点M(x°, yo)的对称直线I'的方程是 A(2xo x) + B(2y° y) + C =0.事实上，设对称直线I '上任一点为P(x, y)，则P关于点M(x。，yo)的对称点为P(2xo x,2y。y),而点 P 在直线 I 上，故将 P 的坐标(2xo x,2yo y)代入 Ax+ By+ C= o 得 A(2x&#

14、176; x) + B(2y° y) + C = o.3.点关于直线对称求点P(a, b)关于直线I: Ax + By+ C= o的对称点P' (a', b'),要抓住其两个几何特征: PP '丄I :PP '的中点在I上，即由方程组-b' b A厂 A =-1，Aa±2a-+ B 乎 + C = o，解出a', b'但较特殊的对称情况可直接写出结果: P(a, b)关于x轴的对称点P' (a, b); P(a, b)关于y轴的对称点P' ( a, b); P(a, b)关于直线x= xo的对称

15、点P' (2xo a, b); P(a, b)关于直线y= yo的对称点P' (a,2y° b); P(a, P(a,b)关于直线x+ y+ c= o的对称点P' ( b c, a c);b)关于直线x y+ c= o的对称点P' (b c, a + c).4 .直线关于直线对称求直线“关于直线I对称的直线12的方程可以按以下方法求解: 在Ii上任取相异两点Pl, P2,求出Pl, P2关于直线I的对称点P ' 1, P ' 2,再由P' 1, P' 2的坐标写出直线I2的方程.任取I2上一点P(x, y),用x, y表

16、示出点P关于直线I的对称点P '的坐标(x', y')，再将(X', y')代入直线li的方程整理可得12的方程.特别地，若li/ 1, 12还有其他求法(请自己思考)例1求直线3x 4y+ 5 = 0关于点M(2, - 3)对称的直线的方程.解 方法一由对称的直线I与3x 4y + 5= 0平行，故设直线方程为3x 4y+ m= 0,而M到两线的距离相等，则|3X 2 4 X 3 + m|3X 2 4 X 3 + 5|,32 + 4232 + 42，解得 m= 41, m = 5(舍去).所以直线I的方程为3x 4y 41= 0.5 5方法二 由方程3

17、x 4y+ 5= 0,取该直线上两点 A(0, -), B( -, 0),它们关于点M(2,436).29173)的对称点为 A' (4, ), B'(亍, 过A' , B'的直线即为1: 3x 4y 41 = 0.方法三设所求直线I上任意一点为P(x, y),贝U P关于点(2, 3)的对称点为P' (4 x,6 y)，将 P'坐标代入 3x 4y+ 5 = 0，得 3(4 x) 4( 6 y) + 5= 0,即卩 3x 4y 41 = 0，这 就是所求直线I的方程.评注 通过三种解法的比较，这类问题采用方法三的解法更简捷.例2 已知直线1仁2

18、x+ y 4= 0,求l1关于直线1: 3x + 4y 1 = 0对称的直线I2的方程.2x+ y 4= 0,解 方法一 由得I1与I的交点P(3, 2).3x+ 4y 1 = 0又取I1上一点A(2,0)，设A关于直线I的对称点为B(x°, y°),yo 0 4=3,X0 23则2 + X。0 + y03 + 4 1= 0,4 8解得BQ 8 .48显然P(3, 2)、B(5, 5)都在I2上，由此可得I2的方程为2x+ 11y+ 16= 0.方法二 设直线I2上任一动点为 M(x, y),它关于直线I的对称点为M '(X0, y0)，则yoy 43,xo+ xy

19、o+ y3 2 + 4 2 1 = 0,解得Xo =7x 24y+ 62524x 7y+ 8yo=254= 0，化简为 2x+ 11y+ 16 = 0,7x 24y+ 6 24x 7y + 825由M ' (xo, yo)在直线li上，故2 25+ 这就是直线12的方程.1: 3x + 4y 1 = 0的对称点，从而评注本题也可在直线li上任取两点，求出它们关于直线 得出12的方程.例3已知 ABC的顶点A(3, 1),Z B,/ C的角平分线方程分别是 x = 0, y= x,求BC 边所在的直线方程.解 如图，设点A关于直线BO, CD的对称点分别为 A1, A2.因为A(3, 1

20、)，且/ B的平分线方程为x= 0，故点A关于直线BO的对称点A1的坐标为(一3, 1).又因为/ C的平分线CD的方程为y = x,所以点A关于直线CD的对称点A?的坐标为(一1,3). 而A1( 3, 1), A2( 1,3)两点都在直线 BC上，由此可得直线 BC的方程为2x y+ 5 = 0.评注 本题的解答抓住了角平分线的性质一一对称性(AB,CB两直线关于直线 BO对称，AC,BC两直线关于直线 CD对称)求解.5直线系方程的类型及应用在求直线方程的时候，要利用两直线的斜率关系，或利用两直线的交点坐标，通过解方程的 途径来获解.而在一些有关平行或垂直的问题，或是过有关两已知直线交点

21、的问题中，利用相应的直线系方程，能简化解题过程，提高解题效率.、直线系方程的类型1 平行直线系：与直线Ax + By + C = 0平行的直线系方程为 Ax + By + Ci= 0（C丰Ci）.2 .垂直直线系：与直线Ax + By+ C = 0垂直的直线系方程为 Bx Ay+ Ci = 0.3 .交点直线系：若直线li： Aix+ Biy+ Ci = 0 与直线 12： A?x+ B2y + C2= 0 交于点 P,则过交点P的直线系方程为 Aix+ Biy+ Ci+“2x+ B2y+ C2） = 0（不包括直线 .4.过定点P（a, b）的直线系方程可设为m（x a） + （y b） =

22、 0（m为参数）.二、直线系方程的应用i.平行或垂直的直线系方程的应用例i已知正方形的中心为G（ i,0）, 一边所在的直线方程为x+ 3y 5= 0,求其他三边所在的直线方程.解 正方形的中心 G到已知边的距离为d = i 51 =设正方形与已知直线平行的一边所在的直线方程为| i + © 6x+ 3y+ c= 0,则 d= J。= i0，解得c= 7或c= 5（舍去）.故所求一边的直线方程为x+ 3y+ 7= 0.又由于正方形另两边所在的直线与已知直线垂直,故设另两边所在的直线方程为3x y+ m = 0.|3X （ 1 ” ml 6= w解得m= 9或m= 3.因此正方形另两边

23、所在的直线方程为3x y+ 9= 0或3x y 3 = 0.综上所述，正方形其他三边所在的直线方程分别为x+ 3y+ 7 = 0,3x y+ 9 = 0,3x y 3 = 0.评注 利用平行或垂直的直线系，可免去求斜率的麻烦，直接套用公式即可.在运用直线系方程时，要注意通过图形的几何性质，得出所设方程的参数.2 .过交点的直线系方程的应用例2在平面直角坐标系中， ABC的顶点分别为 A（0，a），B（b，0），C（c,0），设P（0，p）在 线段AO上（异于端点），设a，b，c，p均为非零实数，直线 BP，CP分别交AC，AB于点E，F，一同学已正确求得 0E的方程为£ c X+ &

24、#163; 1 y = 0,求直线OF的方程. 解 由截距式可得直线 AB : X+ y = 1,b a '直线 CP: x+ y = 1,c p点F为直线AB与直线CP的交点，故过F点的直线系方程可设为又直线I过原点(0,0)，代入方程得 X=- 1 ,故所求直线OF的方程为三一b X+ £ 爲=0.评注 本例通过设出过交点的直线系方程，简化了求交点的烦琐过程， 大题小做，直观简捷.3. 过定点的直线系方程的应用例3已知直线(a 2)y= (3a 1)x 1,若直线不过第二象限，求实数a的取值范围.解 直线方程化为(3x y)a (x 2y + 1) = 0.3x y =

25、0,由x 2y + 1 = 0,1即无论a为何实数，直线总过定点 P 5, 5 .设直线的斜率为由图象可知，当直线的斜率k满足k> kop时，直线与y轴的交点不会在原点的上方，即直线 不经过第二象限.故由 k>kop，解得 a 2, + a).又当a= 2时满足题意， 故实数a的取值范围是2,+).P,运用数形评注过定点的直线系的特征是直线方程中有一个参数本例通过直线过定点结合的思想，只考虑直线斜率满足的条件将问题巧妙转化解出.6活用两点间的距离公式已知两点 A(xi, yi), B(x2, y2)，则该两点之间的距离可表示为|AB|=«X2二石円二沂.两点间的距离公式是

26、整个解析几何中几个最重要的公式之一，是平面解析几何的基础，在数学学习与生产生活中都有着广泛的应用因此应熟练掌握公式并且灵活运用.1 判断三角形的形状例1 已知 ABC三个顶点的坐标分别为A(1 , - 1), B(- 1,3), C(3,0).求证： ABC是直角三角形.分析求出每两个点之间的距离，用勾股定理验证.证明 |AB|=" ' 1 - 1 2+ 3+ 1 2= 2 5,即 |AB|= 2,5, |AB|2= 20,同理 |AC|2= 5, |BC|2= 25.|AB|2+ Acf =|BC|2, ABC是以顶点A为直角顶点的直角三角形.评注在顶点坐标已知的情况下欲判断三角形是直角三角形，只需要求出边长再用勾股定理验证即可.2. 求点的坐标例2 已知点A(-3,4), B(2,3),在x轴上找一点 P使得|FA=|PB|,并求出|FA|的值.分析 由于点P在x轴上，可设P(x,0)，再利用条件|FA|=|PB|即可解决.解设P(x,0)，则有|PB由 |FA|=|PB|,可得-'x + 6x+ 25 =-x2- 4x+ 7,解得x=-9，从而得 p - 5,0，且 ipai=2 ,1095评注 应熟练掌握在坐标轴上的点的坐标的设法.3. 证明三点共线问题例3 已知A(1, 1), B(3,3), C(4,5)三点，求证：这三点在