特征值二次型

1、特征值二次型特征值二次型 本章提要本章主要介绍了矩阵的特征值和特征向量、矩阵的对角化、二次型和它的标准形以及 正定二次型的判定。整个内容可分四部分：预备知识：（1）向量的内积、长度。（2）正交向量组，施密特正交法。（3）正交矩阵及其它的性质。特征值和特征向量：（1）特征值、特征向量的定义。（2）特征值、特征向量的求法：用特征方程求特征向量, 用特征矩阵方程组求特征向量。（3）特征值、特征向量的性质。矩阵的对角化：（1）相似矩阵的定义及相似矩阵的特征值、特征向量。（2）矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件，矩阵对角化的方法。（ 3）实对称矩阵的对角化。二次型及其标准形：（1）二次型及其标准的定义。（

2、2）二次型化标准形的方法：用正交变换化二次型为标准形；用配方法化二次型为 标准形。（3）正定二次型及其判定方法。4.6.2 方法应用举例1. 求方阵的特征值与特征向量 . ? -1?例 1 求矩阵 A =-4?11300 的特征根及特征向量 . ? 2? ?解: A 的特征方程为-1- 入13-入 0002-入A -入 E =-41=（入-2）（入-1 ） 2=0解得特征根 入1=2入2=入3=1.对应于入1=2,由齐次方程组（A -2E ） X =0 得? -3? -4 ? ? ? 11100 ? ? x 1 ? ? 0? ? ? ? ? 0x 2=0 ? ? ? ? ? 0? ? ? ?

3、x 3? ? ? ? 0? ?解得特征向量? 0?n =0? ? ? ? 0? ?于是k 1 n 1 （k 1是不为零的任意常数）是 A对应于入1=2的全部特征向量.对应于入仁入2=1,由齐次方程组（A -E ） X =0 得? -2? -4 ? ? ? 10 ? ? x 1 ? ? 0?1200x 2=0 ? ? ? ? ? 1? ? ? ? x 3 ? ? ? ? 0? ?解得特征向量 n 2? 1? ? ?=2 ? ? ? ? -1 ? ?于是k 2 n 2 (k 2是不为零的任意常数)是 A对应于入2=入3=1的全部特征向量 2. 将方阵对角化的方法 : (1) 一般矩阵对角化 . 例

4、 2 将矩阵? 4? A =-3? ?-36-5-60?0 ?1? ?对角化 .解:由4-入6-5-入-6001-入=-（ 入-1）（入 +2） =02|A - 入 E |=-3-3解得特征值 入1=-2,入2=入3=1.对入 1=-2, , （A +2E ） X =0 得? 6? -3? ? ? -36-3-60 ? x 1?0? ?0x 2=0 ? ?3?x 3?0?解得基础解系为n仁-111, 即为A对于入仁-2的特征向量对入2=入3=1,由齐 次方程组 (A -E ) X =0 得?3? -3? ? ? -36-6-610 ? x 1?0? ?0x 2=0 ? ?0?x 3? ?0?0

5、, n 3=0T解得基础解系为 n 2=-2向量1, 即为A对应于 入2=入3=1的特征T容易验证向量 n1, n2, n 3线性无关, 所以取可逆矩阵 ? -1?P =( n 1 n 2n 3) =1?1?-2? -1则有 P AP =0?0010-2100 ? 0. ? 1? ?0 ?1? ?0 ?(2) 实对称矩阵对角化 .例 3 将实对称矩阵 ? 2A =2? ? ? -225-4-2 ? -4 ? 5? ?对角化 .解 : 由特征方程? 2-入?|A - 入 E |=2? ? ? -225-入-4-2 ?2-4=-（ 入-10）（入-1） =0? 5-入? ?解得特征值 入1=10,

6、入2=入3=1.对入1=10,由齐次方程组（A -10E ） X =0? -8? 2 ? ? ? -22-5-4-2 ? ? x 1 ? ? 0? ? ? ? ? -4x 2=0? ? ? ? ? -5? ? ? ? x 3? ? ? ? 0? 232?. ? 3?TT?1解得基础解系n 1=-? 2? ? 1卩1=-? 3?对于 入2=入3=1,由齐次方程组(A -E ) X =0 得? 1? 2? ? ? -224-4-2 ? ? x 1 ? ? 0? ? ? ? ? -4x 2=0 ? ? ? ? 4? ? ? ? x 3? ? ? ? 0?1, n 3=-2T解得基础解系 n 2=21

7、0, 即为A对应于 入2=入3=1的特征向量.T将其正交化，由施密特正交法，令a 2=n 2=21Ta 3= n 3-(n 3, a 2) ( a 2, a 2)a22?-225? 4? ?=1+0=1?. ? ?5? ? ? 0? ?1? ? 5?再将其标准化得卩2为此求得正交矩阵?2 = ? 5? 1? 2 , 卩=-3? ? 5? ? 35T5354? . 35 ?132323250152 ? ? 35? 5? 354? ? 35?使得? 10? -1P AP =0?00100? 0. ? 1? ?3. 将二次型化为标准形方法 :(1) 正交变换法 . 例 4 化二次型22f (x 1,

8、 x 2, x 3) =2x 12+5x 2+5x 3+4x 1x 2-4x 1x 3-8x 2x 3 标准形 , 并给出所用的正交变换 .解: 二次型的矩阵为 ? 2?A =2? ? ? -225-4? -4 ? 5? ?由例 3 可得一正交变换-2 ?x 1? ?x =-?2? ?x 3?132323250152 ? ?35 ? ? y 1 ? 5? ? ?y 2, ? ? ? 35 ? 4? y 3? 35?在该变换作用下 , 有f (x 1, x 2, x 3) =10y 1+y 2+y 3.222(2) 配方法 .例 5 用配方法化二次型2f (x 1, x 2, x 3) =x 1

9、+4x 1x 2+4x 1x 3+4x 2x 3 为标准形 , 并求出所作的可逆线性变换 . 解: 首先进行配方f (x 1, x 2, x 3) =x 1+4x 1(x 2+x 3) +4x 2x 3=x 1+4x 1(x 2+x 3) +4(x 2+x 3) -4(x 2+x 3) +4x 2x 3=(x 1+2x 2+2x 3) -4x 2-4x 2x 3-4x 3=(x 1+2x 2+2x 3) -4(x 2+22222222212x 3) -3x 32令? y 1=? y 2=? y 3=x 1+2x 2+2x 31x 2+x 32x 322得标准形f (x 1, x 2, x 3) =y 1-4y 2-3y 3并得所作的可逆变换为? x 1=?x 2=? x 3=y 1-2y 2-y 31y 2-y 3例 6 判定矩阵2y 34. 判定正定二次型 : 用定理 4.5.1, 定理 4.5.2 及推论进行判定1?A =1?11231?3 ?6? ?的正定性 .解: 由于 A 的顺序主子式12=1>0, 12313=1>0 61>0,所以