2022届高三数学一轮复习（原卷版）第9节 圆锥曲线中的定点、定值问题 教案

1、1第九节第九节圆锥曲线中的定点、定值问题圆锥曲线中的定点、定值问题最新考纲会证明与曲线上动点有关的定值问题，会处理动曲线(含直线)过定点的问题考点 1定点问题直线过定点1.动直线 l 过定点问题的基本思路设动直线方程(斜率存在)为 ykxt，由题设条件将 t 用 k 表示为 tmk，得yk(xm)，故动直线过定点(m，0)2动直线 l 过定点问题的解题步骤第一步：设 ab 直线 ykxm，联立曲线方程得根与系数关系，求出参数范围；第二步：由 ap 与 bp 关系(如 kapkbp1)，得一次函数 kf(m)或者 mf(k)；第三步：将 kf(m)或者 mf(k)代入 ykxm，得 yk(xx定

2、)y定(2017全国卷)已知椭圆 c：x2a2y2b21(ab0)，四点 p1(1，1)，p2(0，1)，p3(1，32)，p41，32 中恰有三点在椭圆 c 上(1)求 c 的方程；(2)设直线 l 不经过 p2点且与 c 相交于 a，b 两点若直线 p2a 与直线 p2b的斜率的和为1，证明：l 过定点解(1)由于 p3，p4两点关于 y 轴对称，故由题设知椭圆 c 经过 p3，p4两点又由1a21b21a234b2知，椭圆 c 不经过点 p1，所以点 p2在椭圆 c 上2因此1b21，1a234b21，解得a24，b21.故椭圆 c 的方程为x24y21.(2)证明：设直线 p2a 与直

3、线 p2b 的斜率分别为 k1，k2.如果 l 与 x 轴垂直，设 l：xt，由题设知 t0，且|t|2，可得 a，b 的坐标分别为t，4t22，t，4t22，则 k1k24t222t4t222t1，得 t2，不符合题设从而可设 l：ykxm(m1)将 ykxm 代入x24y21 得(4k21)x28kmx4m240.由题设可知16(4k2m21)0.设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 x1x28km4k21，x1x24m244k21.而 k1k2y11x1y21x2kx1m1x1kx2m1x22kx1x2（m1） （x1x2）x1x2.由题设 k1k21，故(2k1)x1x2(m1)

4、(x1x2)0.即(2k1)4m244k21(m1)8km4k210，解得 km12.当且仅当 m1 时，0，于是 l：ym12xm，即 y1m12(x2)，所以 l 过定点(2，1)本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一3点 p 做相互垂直的直线交圆锥曲线于 ab，则 ab 必过定点(x0（a2b2）a2b2，y0（b2a2）a2b2)本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定 ap 与 bp 条件(如kapkbp定值，kapkbp定值)，直线 ab 依然会过定点教师备选例题过抛物线 c： y24x 的焦点 f 且斜率为 k 的直线 l 交抛物线 c 于 a， b

5、两点，且|ab|8.(1)求 l 的方程；(2)若 a 关于 x 轴的对称点为 d， 求证： 直线 bd 过定点， 并求出该点的坐标解(1)易知点 f 的坐标为(1，0)，则直线 l 的方程为 yk(x1)，代入抛物线方程 y24x 得 k2x2(2k24)xk20，由题意知 k0，且(2k24)24k2k216(k21)0，设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，x1x22k24k2，x1x21，由抛物线的定义知|ab|x1x228，2k24k26，k21，即 k1，直线 l 的方程为 y(x1)(2)由抛物线的对称性知，d 点的坐标为(x1，y1)，直线 bd 的斜率 kbdy2y1x2x

6、1y2y1y224y2144y2y1，直线 bd 的方程为 yy14y2y1(xx1)，即(y2y1)yy2y1y214x4x1，y214x1，y224x2，x1x21，(y1y2)216x1x216，即 y1y24(y1，y2异号)，直线 bd 的方程为 4(x1)(y1y2)y0，恒过点(1，0)1.已知抛物线 c 的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点 a(1，2)为抛物线 c 上一点4(1)求抛物线 c 的方程；(2)若点 b(1，2)在抛物线 c 上，过点 b 作抛物线 c 的两条弦 bp 与 bq，如 kbpkbq2，求证：直线 pq 过定点解(1)若抛物线的焦点在 x 轴上，设抛物线方

7、程为 y2ax，代入点 a(1，2)，可得 a4，所以抛物线方程为 y24x.若抛物线的焦点在 y 轴上，设抛物线方程为 x2my，代入点 a(1，2)，可得m12，所以抛物线方程为 x212y.综上所述，抛物线 c 的方程是 y24x 或 x212y.(2)证明：因为点 b(1，2)在抛物线 c 上，所以由(1)可得抛物线 c 的方程是 y24x.易知直线 bp，bq 的斜率均存在，设直线 bp 的方程为 y2k(x1)，将直线 bp 的方程代入 y24x，消去 y，得k2x2(2k24k4)x(k2)20.设 p(x1，y1)，则 x1（k2）2k2，所以 p（k2）2k2，2k4k.用2

8、k替换点 p 坐标中的 k，可得 q(k1)2，22k)，从而直线 pq 的斜率为2k4k22k（k2）2k2（k1）22k34kk42k34k42kk22k2，故直线 pq 的方程是y22k2kk22k2x(k1)2在上述方程中，令 x3，解得 y2，所以直线 pq 恒过定点(3，2)52已知圆 x2y24 经过椭圆 c：x2a2y2b21(ab0)的两个焦点和两个顶点，点 a(0，4)，m，n 是椭圆 c 上的两点，它们在 y 轴两侧，且man 的平分线在y 轴上，|am|an|.(1)求椭圆 c 的方程；(2)证明：直线 mn 过定点解(1)圆 x2y24 与 x 轴交于点(2，0)，即

9、为椭圆的焦点，圆 x2y24 与 y 轴交于点(0，2)，即为椭圆的上下两顶点，所以 c2，b2.从而 a2 2，因此椭圆 c 的方程为x28y241.(2)证明：设直线 mn 的方程为 ykxm.由ykxm，x28y241，消去 y 得(2k21)x24kmx2m280.设 m(x1，y1)，n(x2，y2)，则 x1x24km2k21，x1x22m282k21.直线 am 的斜率 k1y14x1km4x1；直线 an 的斜率 k2y24x2km4x2.k1k22k（m4） （x1x2）x1x22k（m4） （4km）2m2816k（m1）2m28.由man 的平分线在 y 轴上，得 k1k

10、20.又因为|am|an|，所以 k0，所以 m1.因此，直线 mn 过定点(0，1)动圆过定点动圆过定点问题求解时可以先取特殊值或者极值，找出这个定点，再用向量法证明用直径所对圆周角为直角6(2019北京高考)已知抛物线 c：x22py 经过点(2，1)(1)求抛物线 c 的方程及其准线方程；(2)设 o 为原点，过抛物线 c 的焦点作斜率不为 0 的直线 l 交抛物线 c 于两点 m，n，直线 y1 分别交直线 om，on 于点 a 和点 b.求证：以 ab 为直径的圆经过 y 轴上的两个定点解(1)由抛物线 c：x22py 经过点(2，1)，得 p2.所以抛物线 c 的方程为 x24y，

11、其准线方程为 y1.(2)抛物线 c 的焦点为 f(0，1)，设直线 l 的方程为 ykx1(k0)由ykx1，x24y得 x24kx40.设 m(x1，y1)，n(x2，y2)，则 x1x24.直线 om 的方程为 yy1x1x.令 y1，得点 a 的横坐标 xax1y1.同理得点 b 的横坐标 xbx2y2.设点 d(0，n)，则dax1y1，1n，dbx2y2，1n，dadbx1x2y1y2(n1)2x1x2x214x224(n1)216x1x2(n1)24(n1)2.令dadb0，即4(n1)20，则 n1 或 n3.综上，以 ab 为直径的圆经过 y 轴上的定点(0，1)和(0，3)

12、动圆过定点问题本质上是向量垂直的问题.在平面直角坐标系 xoy 中，动点 e 到定点(1，0)的距离与它到直线 x1 的距离相等7(1)求动点 e 的轨迹 c 的方程；(2)设动直线 l：ykxb 与曲线 c 相切于点 p，与直线 x1 相交于点 q，证明：以 pq 为直径的圆恒过 x 轴上某定点解(1)设动点 e 的坐标为(x， y)， 由抛物线的定义知， 动点 e 的轨迹是以(1，0)为焦点，x1 为准线的抛物线，所以动点 e 的轨迹 c 的方程为 y24x.(2)证明：易知 k0.由ykxby24x，消去 x，得 ky24y4b0.因为直线 l 与抛物线相切，所以1616kb0，即 b1

13、k，所以直线 l 的方程为 ykx1k，令 x1，得 yk1k，所以 q(1，k1k)设切点 p(x0，y0)，则 ky204y04k0，解得 p(1k2，2k)，设 m(m，0)，则mqmp(1k2m)(1m)2k(k1k)m2m2m1k2，所以当m2m20，m10，即 m1 时，mqmp0，即mqmp.所以，以 pq 为直径的圆恒过 x 轴上的定点 m(1，0)考点 2定值问题圆锥曲线中定值问题的 2 大解法(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；(2)引起变量法：其解题流程为在平面直角坐标系 xoy 中，已知椭圆 c：x24y21，点 p(x1，y1)，q(x2， y2)是椭

14、圆 c 上两个动点， 直线 op， oq 的斜率分别为 k1， k2， 若 mx12，y1，nx22，y2，mn0.(1)求证：k1k214；8(2)试探求opq 的面积 s 是否为定值，并说明理由解(1)证明：k1，k2均存在，x1x20.又 mn0，x1x24y1y20，即x1x24y1y2，k1k2y1y2x1x214.(2)当直线 pq 的斜率不存在，即 x1x2，y1y2时，由y1y2x1x214，得x214y210.又点 p(x1，y1)在椭圆上，x214y211，|x1| 2，|y1|22.spoq12|x1|y1y2|1.当直线 pq 的斜率存在时，设直线 pq 的方程为 yk

15、xb.联立得方程组ykxb，x24y21，消去 y 并整理得(4k21)x28kbx4b240，其中(8kb)24(4k21)(4b24)16(14k2b2)0，即 b20)spoq12|b|1k2|pq|12|b| （x1x2）24x1x22|b|4k21b24k211.综合知poq 的面积 s 为定值 1.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；9(3)求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再

16、依据条件对解析式进行化简、变形即可求得教师备选例题已知动圆 p 经过点 n(1，0)，并且与圆 m：(x1)2y216 相切(1)求点 p 的轨迹 c 的方程；(2)设 g(m，0) 为轨迹 c 内的一个动点，过点 g 且斜率为 k 的直线 l 交轨迹c 于 a，b 两点，当 k 为何值时，|ga|2|gb|2是与 m 无关的定值？并求出该定值解(1)由题意，设动圆 p 的半径为 r，则|pm|4r，|pn|r，可得|pm|pn|4rr4，点 p 的轨迹 c 是以 m，n 为焦点的椭圆，2a4，2c2，b a2c2 3，椭圆的方程为x24y231.即点 p 的轨迹 c 的方程为x24y231.

17、(2)设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，由题意知2m2，直线 l：yk(xm)，由yk（xm） ，x24y231，得(34k2)x28k2mx4k2m2120，x1x28mk24k23，x1x24m2k2124k23，y1y2k(x1m)k(x2m)k(x1x2)2km6mk4k23，y1y2k2(x1m)(x2m)k2x1x2k2m(x1x2)k2m23k2（m24）4k23，|ga|2|gb|2(x1m)2y21(x2m)2y22(x1x2)22x1x22m(x1x2)2m2(y1y2)22y1y2(k21)6m2（4k23）24（34k2）（4k23）2.要使|ga|2|gb|2的

18、值与 m 无关，需使 4k230，解得 k32，此时|ga|2|gb|27.1.已知抛物线 c：y22px 经过点 p(1，2)，过点 q(0，1)的直线 l 与10抛物线 c 有两个不同的交点 a，b，且直线 pa 交 y 轴于 m，直线 pb 交 y 轴于n.(1)求直线 l 的斜率的取值范围；(2)设 o 为原点，qmqo，qnqo，求证：11为定值解(1)因为抛物线 y22px 过点(1，2)，所以 2p4，即 p2.故抛物线 c 的方程为 y24x.由题意知，直线 l 的斜率存在且不为 0.设直线 l 的方程为 ykx1(k0)由y24x，ykx1，得 k2x2(2k4)x10.依题意(2k4)24k210，解得 k0 或 0k1.又 pa，pb 与 y 轴相交，故直线 l 不过点(1，2)从而 k3.所以直线 l 斜率的取值范围是(，3)(3，0)(0，1)(2)证明：设 a(x1，y1)，b(x2，y2)由(1)知 x1x22k4k2，x1x21k2.直线 pa 的方程为 y2y12x11(