2022届高三数学一轮复习（原卷版）第3节 圆的方程 教案

1、1第三节第三节圆的方程圆的方程最新考纲1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想1圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)圆心(a，b)，半径 r一般方程x2y2dxeyf0， (d2e24f0)圆心d2，e2 ，半径12d2e24f2.点与圆的位置关系点 m(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系：(1)若 m(x0，y0)在圆外，则(x0a)2(y0b)2r2(2)若 m(x0，y0)在圆上，则(x0a)2(y0b)2r2(3)若 m(x0，y0)在圆内，则(x0a

2、)2(y0b)2r2常用结论圆的三个性质(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径()(2)方程 x2y2a2表示半径为 a 的圆()(3)方程 x2y24mx2y5m0 表示圆()(4)方程 ax2bxycy2dxeyf0 表示圆的充要条件是 ac0，b20，d2e24af0.()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1圆 x2y24x6y0 的圆心坐标和半径分别是()a(2，3)，3b(2，3)， 3c(2，3)，13d(2，3)， 13d圆的方程

3、可化为(x2)2(y3)213，所以圆心坐标是(2，3)，半径r 13.2已知点 a(1，1)，b(1，1)，则以线段 ab 为直径的圆的方程是()ax2y22bx2y2 2cx2y21dx2y24aab 的中点坐标为(0，0)，|ab| 1（1）2（11）22 2，所以圆的方程为 x2y22.3过点 a(1，1)，b(1，1)，且圆心在直线 xy20 上的圆的方程是()a(x3)2(y1)24b(x3)2(y1)24c(x1)2(y1)24d(x1)2(y1)24c设圆心 c 的坐标为(a，b)，半径为 r.因为圆心 c 在直线 xy20 上，所以 b2a.又|ca|2|cb|2，所以(a1

4、)2(2a1)2(a1)2(2a1)2，所以 a1，b1.所以 r2.所以方程为(x1)2(y1)24.4 在平面直角坐标系中， 经过三点(0， 0)， (1， 1)， (2， 0)的圆的方程为_x2y22x0设圆的方程为 x2y2dxeyf0.圆经过点(0，0)，(1，1)，(2，0)，f0，2def0，42df0，解得d2，e0，f0.圆的方程为 x2y22x0.考点 1圆的方程3求圆的方程的 2 种方法(1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程(2)待定系数法：若已知条件与圆心(a，b)和半径 r 有关，则设圆的标准方程，求出 a，b，r 的值；选择圆的一般方程

5、，依据已知条件列出关于 d，e，f 的方程组，进而求出 d，e，f 的值(1)一题多解已知圆 e 经过三点 a(0，1)，b(2，0)，c(0，1)，且圆心在 x 轴的正半轴上，则圆 e 的标准方程为()a.x322y2254b.x342y22516c.x342y22516d.x342y2254(2)一题多解已知圆 c 的圆心在直线 xy0 上， 圆c 与直线 xy0 相切，且在直线 xy30 上截得的弦长为 6，则圆 c 的方程为_(1)c(2) (x1)2(y1)22(1)法一： (待定系数法)设圆 e 的一般方程为x2y2dxeyf0(d2e24f0)，则由题意得1ef0，42df0，1

6、ef0，解得d32，e0，f1，所以圆 e 的一般方程为 x2y232x10，即x342y22516.法二：(几何法)因为圆 e 经过点 a(0，1)，b(2，0)，所以圆 e 的圆心在线段 ab 的垂直平分线 y122(x1)上又圆 e 的圆心在 x 轴的正半轴上，所以圆 e 的圆心坐标为34，0.则圆 e 的半径为|eb|2342（00）254，4所以圆 e 的标准方程为x342y22516.(2)法一：由圆 c 的圆心在直线 xy0 上，设圆 c 的圆心为(a，a)又圆 c 与直线 xy0 相切，半径 r2|a|2 2|a|.又圆 c 在直线 xy30 上截得的弦长为 6，圆心(a，a)

7、到直线 xy30 的距离 d|2a3|2，d2622r2，即（2a3）22322a2，解得 a1，圆 c 的方程为(x1)2(y1)22.法二：设所求圆的方程为 x2y2dxeyf0，则圆心为d2，e2 ，半径 r12d2e24f，圆心在直线 xy0 上，d2e20，即 de0，又圆 c 与直线 xy0 相切，|d2e2|212d2e24f，即(de)22(d2e24f)，d2e22de8f0.又知圆心d2，e2 到直线 xy30 的距离d|d2e23|2，由已知得 d2622r2，(de6)2122(d2e24f)，5联立，解得d2，e2，f0，故所求圆的方程为 x2y22x2y0，即(x1

8、)2(y1)22.几何法与待定系数法是解答圆的有关问题的两种常用方法，求解圆的方程时， 可采用数形结合的思想充分运用圆的几何性质， 达到事半功倍的效果1.若不同的四点 a(5，0)，b(1，0)，c(3，3)，d(a，3)共圆，则a 的值为_7设圆的方程为 x2y2dxeyf0(d2e24f0)， 分别代入 a， b，c 三点坐标，得255df0，1df0，993d3ef0，解得d4，e253，f5.所以 a，b，c 三点确定的圆的方程为x2y24x253y50.因为 d(a，3)也在此圆上，所以 a294a2550.所以 a7 或 a3(舍去)即 a 的值为 7.2已知 ar，方程 a2x2

9、(a2)y24x8y5a0 表示圆，则圆心坐标是_，半径是_(2，4)5由已知方程表示圆，则 a2a2，解得 a2 或 a1.当 a2 时，方程不满足表示圆的条件，故舍去当 a1 时，原方程为 x2y24x8y50，化为标准方程为(x2)2(y4)225，表示以(2，4)为圆心，半径为 5 的圆考点 2与圆有关的最值问题斜率型、截距型、距离型最值问题与圆有关的最值问题的 3 种几何转化法6(1)形如ybxa形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题(2)形如 taxby 形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题(3)形如 m(xa)2(yb)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最

10、值问题已知实数 x，y 满足方程 x2y24x10.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求 yx 的最大值和最小值；(3)求 x2y2的最大值和最小值解原方程可化为(x2)2y23，表示以(2，0)为圆心， 3为半径的圆(1)yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yxk，即 ykx.当直线 ykx 与圆相切时，斜率 k 取最大值或最小值，此时|2k0|k21 3，解得 k 3(如图 1)所以yx的最大值为 3，最小值为 3.图 1图 2图 3(2)yx可看作是直线yxb在y轴上的截距， 当直线yxb与圆相切时，纵截距 b 取得最大值或最小值，此时|20b|2 3，解得 b2 6(如图

11、 2)所以 yx 的最大值为2 6，最小值为2 6.(3)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，x2y2在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图 3)又圆心到原点的距离为 （20）2（00）22，所以 x2y2的最大值是(2 3)274 3，x2y2的最小值是(2 3)2774 3.与圆有关的 斜率型、截距型、距离型最值问题一般根据相应几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解已知点 a(1，0)，b(0，2)，点 p 是圆 c：(x1)2y21 上任意一点，则pab 面积的最大值与最小值分别是()a2，252b252，252c. 5，4 5d.521，521b

12、由题意知|ab| （1）2（2）2 5，lab：2xy20，由题意知圆 c 的圆心坐标为(1，0)，圆心到直线 lab的距离 d|202|414 55.spab的最大值为12 54 551252，spab的最小值为12 54 551252.利用对称性求最值求解形如|pm|pn|(其中 m，n 均为动点)且与圆 c 有关的折线段的最值问题的基本思路：(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决已知圆 c1：(x2)2(y3)21，圆 c2：(x3)2(y4)29，m，n分别是圆 c1，c2上的动点，p 为

13、 x 轴上的动点，则|pm|pn|的最小值为()a5 24b. 171c62 2d. 17a(图略)p 是 x 轴上任意一点，则|pm|的最小值为|pc1|1，同理|pn|的最小值为|pc2|3，则|pm|pn|的最小值为|pc1|pc2|4.作 c1关于 x 轴的对称点 c1(2，3)所以|pc1|pc2|pc1|pc2|c1c2|5 2，即|pm|pn|8|pc1|pc2|45 24.本题在求解中要立足了两点：(1)减少动点的个数，借助圆的几何性质化圆上任意一点到点(a，b)的距离的最大(小)值为圆心到点(a，b)的距离加(减)半径问题；(2)“曲化直”，即借助对称性把折线段转化为同一直线

14、上的两线段之和的最值问题解决教师备选例题(1)设点 p 是函数 y 4（x1）2图象上的任意一点，点 q 坐标为(2a，a3)(ar)，则|pq|的最小值为_(2)已知 a(0，2)，点 p 在直线 xy20 上，点 q 在圆 c：x2y24x2y0 上，则|pa|pq|的最小值是_(1) 52(2)2 5(1)函数 y 4（x1）2的图象表示圆(x1)2y24 在 x 轴及下方的部分，令点 q 的坐标为(x，y)，则x2a，ya3得 yx23，即x2y60，作出图象如图所示，由于圆心(1，0)到直线 x2y60 的距离 d|1206|12（2）2 52，所以直线 x2y60 与圆(x1)2y

15、24 相离，因此|pq|的最小值是 52.(2)因为圆 c： x2y24x2y0， 故圆 c 是以 c(2， 1)为圆心， 半径 r 5的圆设点 a(0，2)关于直线 xy20 的对称点为 a(m，n)，故m02n2220，n2m01，解得m4，n2，故 a(4，2)连接 ac 交圆 c 于 q(图略)，由对称性可知|pa|pq|ap|pq|aq|ac|r2 5.(2019上饶模拟)一束光线从点 a(3，2)出发，经 x 轴反射到圆 c：9(x2)2(y3)21 上的最短路径的长度是()a4b5c5 21d2 61c根据题意，设 a与 a 关于 x 轴对称，且 a(3，2)，则 a的坐标为(3

16、，2)，又由 ac 25255 2，则 a到圆 c 上的点的最短距离为 5 21.故这束光线从点 a(3，2)出发，经 x 轴反射到圆 c：(x2)2(y3)21 上的最短路径的长度是 5 21，故选 c.考点 3与圆有关的轨迹问题求与圆有关的轨迹问题的 4 种方法(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解(2)定义法：根据圆的定义列方程求解(3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解(2019衡水调研)已知直角三角形 abc 的斜边为 ab，且 a(1，0)，b(3，0)求：(1)直角顶点 c 的轨迹方程；(

17、2)直角边 bc 的中点 m 的轨迹方程解(1)法一：设 c(x，y)，因为 a，b，c 三点不共线，所以 y0.因为 acbc，所以 kackbc1，又 kacyx1，kbcyx3，所以yx1yx31，化简得 x2y22x30.因此，直角顶点 c 的轨迹方程为 x2y22x30(y0)法二：设 ab 的中点为 d，由中点坐标公式得 d(1，0)，由直角三角形的性质知|cd|12|ab|2.由圆的定义知，动点 c 的轨迹是以 d(1，0)为圆心，2 为半径的圆(由于 a，b，c 三点不共线，所以应除去与 x 轴的交点)所以直角顶点 c 的轨迹方程为(x1)2y24(y0)(2)设 m(x，y)

18、，c(x0，y0)，因为 b(3，0)，m 是线段 bc 的中点，由中点坐标10公式得 xx032，yy002，所以 x02x3，y02y.由(1)知，点 c 的轨迹方程为(x1)2y24(y0)，将 x02x3，y02y 代入得(2x4)2(2y)24，即(x2)2y21.因此动点 m 的轨迹方程为(x2)2y21(y0)此类问题在解题过程中， 常因忽视对特殊点的验证而造成解题失误教师备选例题已知过原点的动直线 l 与圆 c1：x2y26x50 相交于不同的两点 a，b.(1)求圆 c1的圆心坐标；(2)求线段 ab 的中点 m 的轨迹 c 的方程解(1)由 x2y26x50 得(x3)2y24，所以圆 c1的圆心坐标为(3，0)(2)设 m(x，y)，因为点 m 为线段 ab 的中点，所以 c1mab，所以 kc1m kab1，当 x3 时可得yx3yx1，整理得x322y294，又当直线 l 与 x 轴重合时，m 点坐标为(3，0)，代入上式成立设直线 l 的方程为 ykx，与 x2y26x50 联立，消去 y 得：(1k2)x26x50.令其判别式(6)24(1k2)50，得 k245，此时方程为95x26x50， 解上式得 x53， 因此53x3.所以线段 ab 的中点 m 的轨迹方程为x322y29453x3.设定点 m(3，4)，动点 n 在圆 x2