(完整word版)高中数学导数题型总结(2),推荐文档

1、区间上取值的正负可确定并求出函数f x的极值。经典例题剖析考点一：求导公式。考点二：导数的几何意义。1例 2.2.已知函数y f (x)的图象在点M (1, f (1)处的切线方程是y -x 2，则f(1) f (1) _。例 3.3.曲线y x32x24x 2在点(1，3)处的切线方程是 _。考点三：导数的几何意义的应用。32例 4 4 已知曲线 C C:y x 3x 2x，直线l : y kx，且直线l与曲线 C C 相切于点Xo, yXo0，求直线l的方程及切点坐标。考点四：函数的单调性。32例 5.5.已知f x ax 3x x 1在 R R 上是减函数，求a的取值范围。32例 6.6

2、.设函数f(x) 2x 3ax 3bx 8c在x 1及x 2时取得极值。(1 1 )求 a a、b b 的值；(2 2)若对于任意的x 0,3，都有f (x) c2成立，求 c c 的取值范围。点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数f x的极值步骤：求导数f x；求f x 0的根；将f x0的根在数轴上标出，得出单调区间，由f x在各导数例 1.1.f(X)是f(x)2x 1的导函数，贝U f ( 1)的值是例 7.7.2已知a为实数，f xx4 x a。求导数f x； ( 2 2 )若f 10，求f x在区间2,2上的最大值和最小值。解析：(1 1)f x x3ax24x4a，f x

3、3x22ax4。(2 2)f 13 2a 40，1 a2f x3x2x 43x4 x 1令fx 0,即3x 4 x 10，解得x1或x4则f x和fx在区间2,23上随x的变化情况如下表:x22, 111,3343632f x+0 0一0 0+f x0 0增函数极大值减函数极小值增函数0 09450450f 1f。所以，f x在区间2,2上的最大值为f ，最2327327小值为f19。2答案 :(1 1)f x3x22ax 4； (2 2)最大值为f 4,最小值为f19C3272点评：本题考查可导函数最值的求法。求 可 导 函 数f x在 区 间a,b上 的 最 值 ， 要 先 求出函数f x

4、在区间a,b上的极值，然后与fa和f b进行比较，从而得出函数的最大最 小值。考点七：导数的综合性问题。例 8 8 设函数f(x) ax3bx c (a 0)为奇函数，其图象在点(1,f(1)处的切线与直线x 6y 70垂直，导函数f(x)的最小值为12。( 1 1 )求a，b，c的值；(2)求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在1,3上的最大值和最小值。解析：(1)vf(x)为奇函数，二 f( x)f(x)，即ax3bx c ax3bxc二c 0,Tf(x) 3ax2b的最小值为12 , b 12，又直线x 6y 701的斜率为丄，因此，f(1) 3a b 6,a 2,b 12,c

5、 0.6(2 2)f(x) 2x312x。f (x) 6x212 6( x 、2)(x , 2)，列表如下：x(,(42J2)血)f(x)00f(x)增函数极大减函数极小增函数所以函数f(x)的单调增区间是(，、.2)和(.2,),/ f( 1)10,f(-.2)8-.2,f (3)18, f (x)在1,3上的最大值是f(3)18,最小值是f (、2)82。答案：(1 1)a 2,b 12,c 0； (2 2)最大值是f(3) 18，最小值是f C，2)8二。点评：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以 及推理能力和运算能力。导数强化训练(一)选择题x211.

6、1.已知曲线y的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( A A )42A A. 1 1B B. 2 2C C. 3 3D D. 4 4322 2 曲线y x 3x1在点(1 1, 1 1)处的切线方程为(B B )A A.y 3x 4B B.y 3x 2C C.y 4x3D D.y 4x523.3.函数y (x 1) (x 1)在x 1处的导数等于(D D )C C . 3 3 D D. 4 44.4.已知函数f(x)在 x 1 处的导数为 3,则 f(x)的解析式可能为A A.f(x)(x1)23( x1)B B .f(x) 2(x1)C C.f(x)2(x1)2D D.f (x) x 15.

7、5.函数f (x)3x2ax3x 9，已知f (x)在x3时取得极值，则a= =(D D )(A A) 2 2(B B )3 3(C(C) 4 4(D D)5 56.6.函数f (x)x33x21是减函数的区间为(D(D) )(A)(2,)(B)(,2)(C)(,0)(D)(0,2)7.7.若函数f x2xbxc的图象的顶点在第四象限，则函数f x的图象是(A )C C. 2 2C C.a 111.11.在函数y3x 8x的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数4是(D D)A A . 3 3B B . 2 2C C . 1 1D D . 0 08.8.函数f(x)2x232A

8、 A.313-x3在区间0,6上的最大值是(316B.3C C.129.9.函数yx33x的极大值为m，极小值为n，则1010三次函数f3ax内是增函数，则12.12.函数f (x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f (x)在开区间(a, b)内有极小值点( A A )A A . 1 1 个B B . 2 2 个C C. 3 3 个D D.4 4 个(二)填空题15.15. 已知f(n)(x)是对函数f(x)连续进行 n n 次求导，若f(x) x6x5，对于任意x R，都有f(x)=0=0,则 n n 的最少值为 _。16.16. 某公司一年购买某种货物400400 吨，每次都购买x吨，运

9、费为 4 4 万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x _吨.(三) 解答题小值.求这个极小值及a,b,c的值.f (x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数13.13.曲线y3x在点1,1处的切线与x轴、直线x2所围成的三角形的面积为14.14.已知曲线y-，则过点P(2,4)3改为在点P(2, 4)”的切线方程是17.17.已知函数x x3ax2bx c，当x1时，取得极大值 7 7；当x 3时，取得极从I的一侧进入另一侧)，求函数f(x)的表达式.18.18.已知函数f (x)x33x29x a.(1 1 )求f(x)的单调减区间；(2 2 )若f

10、(x)在区间2 2, 2 2. .上的最大值为 2020,求它在该区间上的最小值19.19.设t 0，点 P P(t，0 0)是函数f(x) x3ax 与 g(x) bx2c的图象的一个公共点,两函数的图象在点 P P 处有相同的切线。(1 1 )用t表示a, b, c；(2(2)若函数y f(x) g(x)在(1 1，3 3)上单调递减，求t的取值范围。3220.20.设函数f x x bx cx(x R)，已知g(x) f (x) f (x)是奇函数。(1 1 )求b、c的值。(2 2)求g(x)的单调区间与极值。21.21.用长为 1818 cmcm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求

11、长方体的长与宽之比为 2 2： 1 1,问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？131222.22.已知函数f (x) x ax bx在区间1,1),(1,3内各有一个极值点.32(1 1 )求a24b的最大值；(1 1) 当a24b 8时，设函数y f(x)在点A(1, f (1)处的切线为I，若I在点A处穿过函数y f (x)的图象(即动点在点A附近沿曲线y f (x)运动，经过点A时，7，二c(2 2)因为f( 2)81218 a 2 a, f(2)812 18 a 22 a,所以f(2) f ( 2).因为在(一 1 1, 3 3)上f (x)0，所以f (x)在

12、1 1, 2 2上单调递增，又由于f (x)在2 2, 1 1上单调递减，因此f(2)和f( 1)分别是f(x)在区间2,2上的最大值和最小值. .于是有22 a 20，解得a 2.32故f(x) x 3x 9x 2.因此f( 1)1 39 27,即函数f (x)在区间2,2上的最小值为一 7.7.19.19.解：(1 1)因为函数f(x),g(x)的图象都过点(t, 0 0),所以f(t) 0,3 2 2即t at 0. .因为t 0,所以a t. .g(t) 0,即 bt c 0,所以 c ab.强化训练答案:1.A1.A2.B2.B3.D3.D4.A4.A5.D5.D6.D6.D(四)填

13、空题813.13.14.14.y 4x 403(五)解答题7.A7.A8.A8.A15.15.7 79.A9.A10.A10.A11.D11.D12.A12.A16.16. 202017.17.解：f X23x 2ax据题意,1 1 , 3 3 是方程3x22axb 0的两个根，由韦达定理得3,bx x32a3x29x极小值f 33332225二极小值为2525,3,b18.18.解：(1 1)f(X)3x26x9.令f (x) 0，解得x1 或 x 3,所以函数f(x)的单调递减区间为,1), (3,).2又因为f (x),g(x)在点(t, 0 0)处有相同的切线，所以f (t) g (t

14、).而f (x) 3x2a, g (x) 2bx,所以 3t2a 2bt.将a2t代入上式得bt.因此cabt3.故at2，bt，c t3.(2)yf(x) g(x) x3t2x tx2t3, y3x22tx t2(3x t)(x t)当y (3x t)(x t)0时，函数y f (x) g (x)单调递减. .由y 0，若to,则1 x t3；若t 0,则t x-.3由题意，函数y f(x) g(x)在(1 1, 3 3)上单调递减，则(1,3)( -,t)或(1,3)(t,-).所以t 3或 -3即t9或t 3.333又当9 t 3时，函数y f(x) g(x)在(1 1, 3 3)上单调

15、递减. .所以t的取值范围为(,93,).20.20.解：(1 1)vf x3x bx2cx，二fx3x22bx c。从而g(x) f(x)f (x)3x bx2cx (3x22bx c)=x3(b 3)x2(c 2b) x c是一个奇函数，所以g(0)0得c0，由奇函数定义得b 3；(2 2 )由(I)知g(x)3x 6x， 从而g (x)3x26， 由此可知，(,2)和(迈)是函数g(x)是单调递增区间；( 2,、2)是函数g (x)是单调递减区间；g(x)在x、2时,取得极大值，极大值为42，g(x)在x 2时，取得极小值，极小值为4. 221.21.解：设长方体的宽为x(m m)，则长

16、为2x(m)(m)，高为故长方体的体积为2V x 2x 4.53x9x26x3r30从而V (x)18x18x2(4.53x)18x(1x).令V x0,解得x0(舍去)或x1，因此x当0 x1时，V x0； 当1 x-时,V3x(m)3x(m)4 4x1. .x0 xi. .2h h4.54.5当 gx 1时，g (x)0，当1 x m2时，g(x) 0；故在x 1处V x取得极大值，并且这个极大值就是V x的最大值。从而最大体积V V x 912336 1m，此时长方体的长为 2 2 m m,高为 1.51.5 m.m.答：当长方体的长为 2 2m m时，宽为 1 1m m， 高为 1.5

17、1.5 m m 时，体积最大，最大体积为3m3。22.22.解：(1 1 )因为函数f(x)1ax2bx在区间1,1),(1,3内分别有一个极值点，所以2f (x) x ax b1,1)，(1,3内分别有一个实根,设两实根为x-i，x2(x-1X2)4b，且0 x2x! 4.于是4b 16，且当x11, x23，即a 2,b3时等号成立.故2a4b的最大值是 1616.(2(2)解法一：由f (1)b知f (x)在点(1,f (1)处的切线|的方程是y f (1) f (1)(x 1)，即y (1 a b)x -3因为切线I在点A(1, f (x)处空过yf (x)的图象,所以g(x) f (x)(1 a b)x2a在x1两边附近的函数值异号，则x 1不是g(x)的极值点.而g(x)?x3丄ax232bx(11a，且2g (x)x2ax b (1b)ax a1 (x 1)(x 1 a).a都是g(x)的极值点.所以11 a，即a 2，又由2a 4b 8，得b1，故f (x)-x33解法二：同解法一得g(x) f (x)(1 a b)xf1a123a尹1)x2(1尹(2fa).因为