2020届高考数学(理)一轮复习课时训练：第13章推理与证明、算法、复数66Word版含解析

1、 【课时训练】第66节数学归纳法 一、选择题 1. (2018 德州模拟)用数学归纳法证明“ 1 + 2 + 22 + 2n+2 = 2n +3 1”，在验证 n= 1 时，左边计算所得的式子为() B. 1+ 2 D. 1+2+22+ 23 【答案】D 【解析】当 n= 1 时，左边=1 + 2 + 22+ 23. 2. (2018 常德一模)数列an中，已知 a1 = 1,当 n2 时，a. a. -1 = 2n 1,依次计算 a2,比,a4后，猜想 a*的表达式是( ) A . 3n 2 B. n2 C. 3n 1 D. 4n 3 【答案】B 【解析】计算出 a1 = 1, a2 = 4

2、, a3 = 9, a4= 16.可猜想 an = n2. 3. (2018 沈阳调研)用数学归纳法证明“ n3 + (n+ 1)3 + (n + 2)3(n N*)能被 9 整除”，利用归纳法假设证明 n= k+ 1 时，只需展开( ) A . (k+ 3)3 B . (k+ 2)3 C . (k+ 1)3 D . (k+ 1)3 + (k+ 2)3 【答案】A 【解析】假设 n= k 时，原式 k3+(k+ 1)3+ (k+ 2)3能被 9 整除， 当 n=k+ 1 时，(k+1)3+(k+ 2)3 + (k+ 3)3为了能用上面的归纳假设， 只须将(k+ 3)3展开，让其出现 k3即可.

3、 4 . (2018 太原质检)平面内有 n 条直线，最多可将平面分成 f(n) 个区域，则 f(n)的表达式为( ) A . n+ 1 n2 +n+ 2 c.2 1 A. 1 C. 1 + 2 + 22 B . 2n D . n2+n+ 1 【答案】C 【解析】1 条直线将平面分成 1 + 1 个区域；2 条直线最多可将平 面分成 1 + (1 + 2) = 4 个区域；3 条直线最多可将平面分成 1+(1 + 2 + 3)= 7 个区域；n 条直线最多可将平面分成 1 + (1 +2+3+ 2 n n+ 1 n +n+ 2 n) = 1 + 2 = 2 个区域. 5. (2018 山东荷泽

4、模拟)对于不等式 n2 1 3 4+nvn+1(n N*),某同 学用数学归纳法的证明过程如下： k2+3k+ 2 + k + 2 = k+ 22 = (k+1)+ 1,所以当 n = k+ 1 时，不 等式成立，则上述证法 ( ) A .过程全部正确 B . n= 1 验得不正确 C.归纳假设不正确 D .从 n = k 到 n = k+ 1 的推理不正确 【答案】D 【解析】在门=k+ 1 时，没用 n= k 时的假设，不是数学归纳法. 从门=k 到 n=k+ 1 的推理不正确. 二、填空题 6. (2018 合肥检测)已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明 1-+ 1 1 1 * 1 1

5、丄、 4-1+廿=2乔 2+n+7+ 2n 时，若已假设n=k(k2, 且 k 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证 n = _ 寸等 式成立. 【答案】k+ 2 【解析】n= k(k2,且 k 为偶数)的下一个偶数为 k+2,根据数 (1) 当 n= 1 时，“.12 + 1v 1 + 1,不等式成立. (2) 假设当 n = k(k N*且 k 1)时，不等式成立.即 k2 + kv k+1, 则当 n = k + 1 时，k +1 2 + k+1 = k2 + 3k+ 2 v学归纳法的步骤可知，应填 k+ 2. 7. (2018 淮北三校联考)设数列an的前 n 项和为且对任意 的

6、自然数 n 都有：(& 1)2= anS,通过计算 Si, &,気 猜想 S.= 1 【解析】由(Si 1)2= S1 得：Si =2；由(S2 1)2= (S2 Si)S2得：S2 则当 n=k+1 时左端应在 n= k 的基础上加上的项为 _ . 【答案】(k2+1)+(k2+2) + (k+ 1)2 【解析】 当 n = k 时，左端为 1+2 + 3+ k+(k+1)+(k+ 2) + + k2,则当 n=k+ 1 时，左端为 1 + 2+3+k2+ (k2 +1)+ (k2 + 2)+ (k+ 1)2，故增力口 (k2 +1)+ (k2 + 2) + +(k+ 1)2

7、. 三、解答题 9. (2018 秦皇岛模拟)设数列 an 的前 n 项和为 S,且方程 x2 anx an = 0 有一根为 Sn 1(n N*). (1) 求 a1, a2的值； (2) 猜想数列Sn的通项公式，并给出证明. (1)【解】当 n= 1 时，方程X ax a1 = 0 有一根为 S 1 = a1 1, 2 (a1 1) a1(a 1) a1 = 0, 当 n= 2 时，方程 x2 a2x a2= 0 有一根为 S2 1 = a1 + a2 1 = a2 【答n n+ 1 2 2 =3；由(S3 1) = (S3 S2)S3 得: 3 S3=4.猜想 Sn= n n+ 1 8.

8、(2018 三亚模拟)用数学归纳法证明 1 + 2+3+ + n2= n4+ n 解得 a1=1 1 2, 【证明】由题意知(Sn_1)2 3n(S T) 3n = 0, 当 nA 2 时，3n= Sn Sn-1,代入上式整理得 1 SnSh- 1 2S1 + 1 = 0,解得 Sn = . 2 Si 1 由(1)得 S =a1 = 2， 1 1 2 乂士 丄口 n * S2 = a + a2= 2 + 6= 3.猜想 Sn= (n N ). 2 6 3 n+1 下面用数学归纳法证明这个结论. 当 n= 1 时，结论成立. k 假设n= k(k N , kA 1)时结论成立， 即 Sk= k+

9、 1 Sk+1 = = 77 2 Sk 2上 k+ 1 即当 n=k+ 1 时结论成立. 由知 Sn= J 对任意的正整数 n 都成立. n+ 1 1 1 1 1 10. (2018 长春三校联考)已知 f(n)= 1+33+43+冷,g(n) 3 丄 * =2 2n2, n N . (1)当 n= 1,2,3 时，试比较 f(n)与 g(n)的大小关系； A1)- a2 1 解得 a2=召. 当 n= k+ 1 时, k+1 k + 2 猜想 f(n)与 g(n)的大小关系，并给出证明. (1)【解析】当 n= 1 时，f(1)= 1, g(1) = 1,所以 f(1) = g(1); 9

10、11 当 n= 2 时，f(2)= 8, g(2) = 8，所以 f(2) v g(2)； 【证明】由(1)猜想 f(n)wg(n),下面用数学归纳法给出证明. 当 n= 1,2,3 时，不等式显然成立. 假设当 n= k(k3, k N*)时不等式成立. 加 1 1 1 1 3 1 即 1 + 2+33+43+ 那么，当 n=k+1 时, 1 3 1 1 k+ 1 3 2 2k + k+1 3, k+ 3 丄3k 1 2 k+1 322 k+ 1 3k2 ， 3 1 所以 f(k+1)2-= g(k+1). 由可知，对一切 n N*，都有 f(n)g(n)成立. 11. (2018 江苏南通模拟)数列xn满足 x1 = 0, xn+1 = Xn + xn+ c(n N*). (1)证明：Xn是递减数列的充分必要条件是 C 0 ； 1 若 0 C 4,证明数列Xn是递增数列. 【证明】(1)充分性：若 c0,由于 Xi +1= xn+xn+ cwxn + c Xn, 数列Xn是递减数列. 必要性：若Xn是递减数列，则 X2 X1，且 X1 = 0. n= 3 时，f(3) =探，g(3) =鴛, 所以 f(3)v g(3). f(k + 1)=f(k)+ 因为 1 2 k+ 1 2 1 1 (k+ 1)3