偏微(10)对流扩散方程

1、2021/8/1413 对流扩散方程对流扩散方程对流扩散方程对流扩散方程 22,0uuuaxRttxx （3 3. . 1 1）,0a 为为常常数数，如果给定初值如果给定初值 ,0( ),u xg xxR （3 3. . 2 2）则（则（3.13.1）(3.2)(3.2)构成了对流扩散方程的初值问题构成了对流扩散方程的初值问题 则成为对流占优扩散方程则成为对流占优扩散方程 av如果如果2021/8/1423 对流扩散方程对流扩散方程对流扩散方程对流扩散方程 22,0uuuaxRttxx （3 3. . 1 1） ,0( ),u xg xxR （3 3. . 2 2）3.1 3.1 中心显式格式

2、中心显式格式 1111122(3.3)2nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahh 格式（格式（3.33.3）的截断误差为）的截断误差为 2Oh 如果如果 0 是对流方程不稳定的差分格式是对流方程不稳定的差分格式 。0 来讨论来讨论 现对现对2021/8/143（3.33.3）可改写为）可改写为 11111122nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuu 3 对流扩散方程对流扩散方程22,0uuuaxRttxx （3 3. . 1 1）1111122(3.3)2nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahh 2,ahh如果令如果令 ,121cossinGkkhikh此差分格式的增长因子

3、为此差分格式的增长因子为2021/8/144 2,Gk 即差分格式稳定的充分条件为即差分格式稳定的充分条件为3 对流扩散方程对流扩散方程 11111122nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuu ,121cossinGkkhikh此差分格式的增长因子为此差分格式的增长因子为 222121cossinkhkh 2211cos441cos1coskhkhkh 1cos0,1khGk 所所以以，因为因为的充分条件是的充分条件是2021/8/145 2,Gk 即差分格式稳定的充分条件为即差分格式稳定的充分条件为3 对流扩散方程对流扩散方程 ,121cossinGkkhikh 2211cos441co

4、s1coskhkhkh 22441cos1cos0khkh 2221cos284202kh 上式可改写为上式可改写为 1cos0,1khGk 所所以以，因为因为的充分条件是的充分条件是2021/8/146 2,Gk 即差分格式稳定的充分条件为即差分格式稳定的充分条件为3 对流扩散方程对流扩散方程 ,121cossinGkkhikh 2211cos441cos1coskhkhkh 1cos0,1khGk 所所以以，因为因为 2221cos284202kh 11cos0,12kh所以上面不等式满足条件为所以上面不等式满足条件为 22228420, 24202021/8/147即差分格式稳定的充分条

5、件为即差分格式稳定的充分条件为3 对流扩散方程对流扩散方程 222228420,420 （3.33.3）的稳定性限制为）的稳定性限制为 22,a (3. 4)(3. 4)1111122(3.3)2nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahh 212h (3. 5)(3. 5)2,ahh2021/8/1483.2 3.2 修正中心显示格式修正中心显示格式 设设 ,u x t为对流扩散方程（为对流扩散方程（3.13.1）的充分光滑的解，）的充分光滑的解， 22ut 22,0uuuaxRttxx （3 3. . 1 1）232uuavx txt 2ux t 2ut x 2323uuavxx*代入

6、代入32ut x 3434uuavxx 32uxt 2021/8/1493.2 3.2 修正中心显示格式修正中心显示格式 22ut 22,0uuuaxRttxx （3 3. . 1 1）232uuavx txt 2ux t 2323uuavxx*代入代入3434uuavxx 32uxt 24322224322uuuuaatxxx 3654332233654333uuuuuaaatxxxx 2021/8/14103.2 3.2 修正中心显示格式修正中心显示格式 设设 ,u x t为对流扩散方程（为对流扩散方程（3.13.1）的充分光滑的解，）的充分光滑的解， 22,0uuuaxRttxx （3

7、3. . 1 1）1111122(3.3)2nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahh 将其代入将其代入(3.3)2021/8/141122,uuuatxx （3. 1）3. 1）3.2 3.2 修正中心显示格式修正中心显示格式 利用利用TaylorTaylor级数展开有级数展开有 2021/8/14123.2 3.2 修正中心显示格式修正中心显示格式 24322224322uuuuaatxxx 3654332233654333uuuuuaaatxxxx 22,uuuatxx （3. 1）3. 1）2021/8/14133.2 3.2 修正中心显示格式修正中心显示格式 22,uuuatx

8、x （3. 1）3. 1）2021/8/1414中心显示差分格式（中心显示差分格式（3.33.3）求解（）求解（3.13.1）式相当于）式相当于求解微分方程求解微分方程 : :2222uuuaatxx （3 3. . 6 6）当当 0 时，时， （3.63.6）就是对流扩散方程（）就是对流扩散方程（3.13.1）。）。 3.2 3.2 修正中心显示格式修正中心显示格式 22,uuuatxx （3. 1）3. 1）1111122(3.3)2nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahh 2021/8/14152222uuuaatxx （3 3. . 6 6）当当 0 时，时，（3.63.6）就

9、是对流扩散方程（）就是对流扩散方程（3.13.1）。）。 3.2 3.2 修正中心显示格式修正中心显示格式 22,uuuatxx （3. 1）3. 1）1111122(3.3)2nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahh 11111222(3.7)22nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuaahh 0 用用(3.3)(3.3)计算时扩散效应减少计算时扩散效应减少因此引入修正中心显式格式因此引入修正中心显式格式202a 效果显著效果显著2021/8/14162222uuuaatxx （3 3. . 6 6）3.2 3.2 修正中心显示格式修正中心显示格式 22,uuuatxx （3.

10、1）3. 1）1111122(3.3)2nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahh 11111222(3.7)22nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuaahh 因此引入修正中心显式格式因此引入修正中心显式格式逼近对流扩散方程（逼近对流扩散方程（3.13.1）的截断误差为）的截断误差为 2Oh （3.73.7）与（）与（3.33.3）的区别在于用）的区别在于用 22a 来来代代替替2021/8/1417（3.43.4）和（）和（3.53.5）知（）知（3.73.7）的稳定性条件为：）的稳定性条件为： 2221,2ah 用用 代入第一式有代入第一式有 22222,2aaa即即（3 3.

11、7.7）的稳定性条件为）的稳定性条件为 22211(3.8)22ahh 3.2 3.2 修正中心显示格式修正中心显示格式 11111222(3.7)22nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuaahh （3.33.3）的稳定性限制为）的稳定性限制为 22,a (3. 4)(3. 4)212h ( (3 3. . 5 5) )1111122(3.3)2nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahh 恒成立恒成立2021/8/14183.3 3.3 迎风差分格式迎风差分格式 （3.43.4）可以看出，当）可以看出，当 2a 小时，时间步长必相当小。小时，时间步长必相当小。其办法相当于其办法相当

12、于 0, 在一阶空在一阶空间偏导数的离散中采用单边差商，间偏导数的离散中采用单边差商， 0a 令令那么逼近（那么逼近（3.13.1）式的迎风差分格式为）式的迎风差分格式为 111122(3.9)nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahh 可以把（可以把（3.93.9）式写成（）式写成（3.33.3）式的形式，即）式的形式，即 1111122(3.9)22nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahahh 1111122(3.3)2nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahh 22,uuuatxx （3. 1）3. 1）2021/8/1419那么逼近（那么逼近（3.13.1）式的迎风

13、差分格式为）式的迎风差分格式为 111122(3.9)nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahh 可以把（可以把（3.93.9）式写成（）式写成（3.33.3）式的形式，即）式的形式，即 1111122(3.9)22nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahahh 令令 2ah 可以得到（可以得到（3.93.9）式的稳定性条件为）式的稳定性条件为 2221,2ah 稳定性的第一个条件等价于稳定性的第一个条件等价于 212haa 3.3 3.3 迎风差分格式迎风差分格式 22,a (3. 4)(3. 4)212h ( (3 3. . 5 5) )2021/8/142022haa 利用稳

14、定性的第二个条件可得到利用稳定性的第二个条件可得到 212haa 221212ahahah 222122ahhhaa 稳定性的第一个条件等价于稳定性的第一个条件等价于 212haa 3.3 3.3 迎风差分格式迎风差分格式 而而 222212ahhah 利用不等式利用不等式2221,2ah 令令 2ah 稳定性条件为：稳定性条件为： 212h 2021/8/14213.4 3.4 SamarskiiSamarskii格式格式 设设a0a0，先对方程（先对方程（3.13.1）作扰动）作扰动 2211uuuatxRx （3 3. . 1 11 1）1,2Rha 对（对（3.113.11）构造迎风格

15、式构造迎风格式 1111221(3.12)1nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahRh 22,uuuatxx （3. 1）3. 1）（3.113.11）式化为（）式化为（3.13.1）式。）式。 时时0hSamarskiiSamarskii格式格式 2021/8/14223.4 3.4 SamarskiiSamarskii格式格式 1111221(3.12)1nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahRh 推导（推导（3.123.12）式的截断误差，）式的截断误差， njT 22,uuuatxx （3. 1）3. 1）SamarskiiSamarskii格式格式 112,2,11j

16、njnjnu xtu xtu xtRh 设设 ,u x t为对流扩散方程（为对流扩散方程（3.13.1）的充分光滑的解，）的充分光滑的解， 11,jnjnjnjnu xtu xtu xtu xtah 2021/8/14233.4 3.4 SamarskiiSamarskii格式格式 1111221(3.12)1nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahRh 22,uuuatxx （3. 1）3. 1）nja 用用TaylorTaylor级数展开级数展开 1112,2,jnjnjnjnjnu x tu x tu xtu x tu xth 222nnnjjjuuaOhtx njT 112,2,

17、11jnjnjnu xtu x tu xtRh 11,jnjnjnjnu x tu x tu x tu xtah (11) 2021/8/1424令令 nj 用用TaylorTaylor级数展开有级数展开有 nj 3.4 3.4 SamarskiiSamarskii格式格式 njT 11,jnjnjnjnu x tu x tu x tu xtah 1112,2,111jnjnjnjnjnu xtu xtu xtu xtu xtahRh 2222221nnnjjjuahuRuaO hxxRx 222221nnnjjjuuRuaRO hxxRx = =1,2Rha 112,2,11jnjnjnu

18、xtu x tu xtRh (11) 2021/8/1425用用TaylorTaylor级数展开有级数展开有 nj 3.4 3.4 SamarskiiSamarskii格式格式 njT 112,2,11jnjnjnu xtu xtu xtRh 11,jnjnjnjnu x tu x tu x tu xtah 2222221nnnjjjuahuRuaO hxxRx 222221nnnjjjuuRuaRO hxxRx = = 22221nnjjuRuaO hxRx 2021/8/1426由于由于 221RO hR 所以所以 2nnjjuaO hx 3.4 3.4 SamarskiiSamarski

19、i格式格式 22221nnjjuRuaO hxRx nj njT 112,2,11jnjnjnu xtu xtu xtRh 11,jnjnjnjnu x tu x tu x tu xtah 1112,2,111jnjnjnjnjnu xtu xtu xtu xtu xtahRh 1,2Rha 2021/8/1427 2nnjjuaO hx 利用利用 njT 21(3.13)2212ahahh 3.4 3.4 SamarskiiSamarskii格式格式 2Oh 222nnnjjjuuaOhtx njT 112,2,11jnjnjnu xtu xtu xtRh 11,jnjnjnjnu x tu

20、 x tu x tu xtah nnjja 222nnnjjjuuuaOhttx SamarskiiSamarskii格式格式 稳定的条件为：稳定的条件为：2021/8/14283.5 3.5 指数型差分格式指数型差分格式 22(3.14)dud udadxdx 对（对（3.143.14）式积分可以得到）式积分可以得到 12(3.15)xduexa 其中其中 a 通解（通解（3.143.14）中有两个待定常数。）中有两个待定常数。 定态的对流扩散方程定态的对流扩散方程22,uuuatxx （3. 1）3. 1）2021/8/1429相应于相应于 ()jjxuu x上上 的的值值为为那么有那么有

21、 1ju x 1 3.5 3.5 指数型差分格式指数型差分格式 12(3.15)xduexa 1ju x 1121jhdejha 1121jhdejha 2 111221jjjhhdu xu xhaee 1112211jjjhdu xu xhdau xjhea 2021/8/14301 3.5 3.5 指数型差分格式指数型差分格式 12(3.15)xduexa 2 111221jjjhhdu xu xhaee 1112211jjjhdu xu xhdau xjhea 把把 12,代入通解有代入通解有 11111hhjjjhhu xe u xh eu xdeae 2021/8/14313.5 3

22、.5 指数型差分格式指数型差分格式 12(3.15)xduexa 11111hhjjjhhu xe u xh eu xdeae 上式改变写法有上式改变写法有 1111hhjjjhaeu xu xeu xdhe 改变其形式改变其形式 1111221(3.16)22 1hjjjjjhu xu xu xu xu xahedaheh 2021/8/1432对流扩散方程对流扩散方程(3.1)(3.14)(3.16)(3.1)(3.14)(3.16)式相比较，给出式相比较，给出（3.13.1）的差分格式的差分格式 1111122122 1nnnnnnnhjjjjjjjhuuuuuuuaheaheh 3.5

23、 3.5 指数型差分格式指数型差分格式 1111221(3.16)22 1hjjjjjhu xu xu xu xu xahedaheh 22(3.14)dud udadxdx 22,uuuatxx （3. 1）3. 1）2021/83.17)2nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahh coth22ahah ， 为为拟拟合合因因子子(3.17)(3.17)为逼近对流扩散方程为逼近对流扩散方程(3.1)(3.1)的指数型差分格式的指数型差分格式 11hhee 1111122122 1nnnnnnnhjjjjjjjhuuuuuuuaheaheh 3.5 3.5 指数

24、型差分格式指数型差分格式 22,uuuatxx （3. 1）3. 1）2222hhhheeee coth2h coth2ah a 2021/83.17)2nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahh coth22ahah ， 1111122(3.18)2nnnnnnnjjjjjjjnjuuuuuuuauhh + + 11221nnnjjjnjuuuuh 如果在（如果在（3.183.18）中不考虑）中不考虑 nju 3.5 3.5 指数型差分格式指数型差分格式 此格式为中心显式格式此格式为中心显式格式 截断误差为截断误差为: 2Oh 2021/8/1435 1111

25、122(3.18)2nnnnnnnjjjjjjjnjuuuuuuuauhh + + 11221nnnjjjnjuuuuh 考虑考虑 nju : :设设u u为对流扩散方程（为对流扩散方程（3.13.1）的光滑解，）的光滑解， 112,2,jnjnjnu xtu x tu xth 3.5 3.5 指数型差分格式指数型差分格式 利用利用TaylorTaylor展开有展开有 cothx 22,uuuatxx （3. 1）3. 1） 222njuO hx 31.345xxx coth22ahah ，2021/8/1436利用利用TaylorTaylor展开有展开有 31coth.345xxxx 应用到

26、应用到 1 有有 1 由此得由此得 ,jnu x t （3.173.17）的截断误差为的截断误差为 2Oh 3.5 3.5 指数型差分格式指数型差分格式 coth22ahah ，12ah 32132ahO hah 2O h 2O h 1111122(3.18)2nnnnnnnjjjjjjjnjuuuuuuuauhh + +2021/8/1437（3.173.17）的截断误差为的截断误差为 2Oh 22112 (3.19)2vah 利用（利用（3.193.19）可得）可得 3.5 3.5 指数型差分格式指数型差分格式 coth22ahah ，中心显示格式的稳定条件中心显示格式的稳定条件:1111

27、122(3.17)2nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahh 22,a (3. 4)(3. 4)212h ( (3 3. . 5 5) )1111122(3.3)2nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahh 中心显式中心显式2021/8/143822av （3.173.17）的稳定性条件为（的稳定性条件为（3.193.19） 3.5 3.5 指数型差分格式指数型差分格式 22112 (3.19)2vvah 利用（利用（3.193.19）可得）可得 222222a hvhv 21coth2ahv 1 1111122(3.17)2nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahh 22

28、ahv coth22ahah ，P1032021/8/1439考察指数格式考察指数格式SamarskiiSamarskii格式迎风格式之间的关系格式迎风格式之间的关系 111122 (3.20)1nnnnnnnjjjjjjjhuuuuuuuahahhe 取取h h充分小充分小， 1heh 由此可以看出由此可以看出， （3.203.20）式化为迎风差分格式（式化为迎风差分格式（3.93.9）P100P100 1hahe 设设a0a0，想把指数格式改写为：想把指数格式改写为： he 如果如果 212hh 22ahhh 12vhav 那么那么（3.203.20）式式化为化为SamarskiiP101av 1111122122 1nnnnnnnhjjjjjjjhuuuuuuuaheaheh 2021/8/1440考察指数格式考察指数格式SamarskiiSamarskii格式迎风格式之间的关系格式迎风格式之间的关系