空间解析几何-第3章-常见的曲面2

1、2021-12-16空间解析几何空间解析几何第第3章章 常见的曲面常见的曲面2本章主要内容本章主要内容1柱面柱面2 锥面锥面3 旋转曲面旋转曲面4 曲线与曲面的参数方程曲线与曲面的参数方程5 椭球面椭球面6 双曲面（单叶双曲面，双叶双曲面）双曲面（单叶双曲面，双叶双曲面）7 抛物面（椭圆抛物面，双曲抛物面）抛物面（椭圆抛物面，双曲抛物面）8 二次直纹面二次直纹面9 作图作图五种典型的五种典型的二次曲面二次曲面3.5 五种典型的二次曲面五种典型的二次曲面 椭球面椭球面双曲面双曲面单叶双曲面单叶双曲面双叶双曲面双叶双曲面抛物面抛物面椭圆抛物面椭圆抛物面双曲抛物面双曲抛物面二次曲面的定义：二次曲面的

2、定义：三元二次方程所表示的曲面称之为三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面二次曲面相应地平面被称为相应地平面被称为一次曲面一次曲面讨论二次曲面形状的讨论二次曲面形状的截痕法截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌加以综合，从而了解曲面的全貌以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面1.对称性：主平面:三坐标平面主轴:三坐标轴中心:坐标原点2.顶点:(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)轴:2a,2b,2c ( )半轴:a

3、,b,c截距:a, b, c,ybzc1 222222 czbyax3.5.1 3.5.1 椭球面)0, 0, 0(cba,ax3.范围：4.4.主截线：主截线：平行截割法：平行截割法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截口）的形状，然后加以综合，从而了解考察其交线（即截口）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌。曲面的全貌。1222222 czbyax椭球面椭球面 与三个坐标面的交线与三个坐标面的交线截口是曲面与平面的交线截口是曲面与平面的交线ozyx22221:0yzyOzbcx面椭球面椭球面22221:0 xzxOzacy面

4、22221:0 xyxOyabz面1222222 czbyax椭球面椭球面 与三个坐标面的交线与三个坐标面的交线1 222222 czbyax5.5.平截线：平截线：用用z = hz = h截曲面截曲面用用y = my = m截曲面截曲面用用x = nx = n截曲面截曲面abcyx zo用平行于用平行于xoyxoy坐标面的平面截割椭球面，得截线的方程为：坐标面的平面截割椭球面，得截线的方程为：2222221(5)xyhabczh ，(5)(5)无图形；无图形； 由于由于h h是变化的，是变化的，(5)(5)表示一族椭圆，椭圆面可以看成由表示一族椭圆，椭圆面可以看成由一个椭圆变动而生成的，其在

5、变动中始终保持所在的平一个椭圆变动而生成的，其在变动中始终保持所在的平面与坐标面面与坐标面xoyxoy平行平行. .ch ch ch 221cha221chb), 0 , 0(c，(5)(5)表示两个点表示两个点 ；( (5)5)表示一个椭圆，两半轴长分别为表示一个椭圆，两半轴长分别为椭球面的几种特殊情况：椭球面的几种特殊情况：,)1(ba 1222222 czayax旋转椭球面旋转椭球面 012222yczax由椭圆由椭圆 绕绕 轴旋转而成轴旋转而成z122222 czayx方程可写为方程可写为,)2(cba 1222222 azayax球面球面.2222azyx .)(12122222 z

6、zzccayx截面上圆的方程截面上圆的方程方程可写为方程可写为旋转椭球面旋转椭球面与与椭球面椭球面的的区别区别：与平面与平面 的交线为圆的交线为圆.1zz )| (1cz 三、椭球面的参数方程2222221xyzabccoscoscos sin,0222sinxaybzc上海科技城椭球体玻璃幕墙上海科技城椭球体玻璃幕墙 应用实例：应用实例：3.5.2 3.5.2 双曲面双曲面单叶双曲面单叶双曲面 双叶双曲面双叶双曲面xyoz xyoz单叶双曲面单叶双曲面1222222 czbyax一、单叶双曲面一、单叶双曲面1 1 对称性（对称性（symmetricsymmetric）2 2 顶点、与坐标轴的

7、交点和截距顶点、与坐标轴的交点和截距 (vertex and intercept)(vertex and intercept)（1 1）单叶双曲面与）单叶双曲面与x x，y y轴分别交于（轴分别交于（a a，0 0，0 0），）， （0 0，b b，0 0）而与）而与z z轴无实交点轴无实交点. . 上述四点称为单叶双曲面的实顶点，上述四点称为单叶双曲面的实顶点， 而与而与z z轴的交点（轴的交点（0 0，0 0，cici） 称为它的两个虚交点称为它的两个虚交点. .（2 2）截距：分别用）截距：分别用y=0,z=0y=0,z=0和和x=0,z=0 x=0,z=0，代入得代入得x,yx,y轴上

8、的截距为轴上的截距为: : ， ；在在z z轴上没有截距轴上没有截距. .axby xyoz3 3 图形的范围图形的范围由方程由方程 知，即曲面存在于椭圆柱面知，即曲面存在于椭圆柱面 之外，从而曲面与之外，从而曲面与z z轴无交点，轴无交点，并且在并且在xoyxoy面的上面的上, ,下半空间延到无穷远下半空间延到无穷远. .22221xyab22221xyab xyoz1222222 czbyax2021-12-164 4 主截线主截线与三坐标平面与三坐标平面z = 0z = 0，y = 0y = 0和和x = 0 x = 0交于三条曲线交于三条曲线012222zbyaxxoyxoy面上的面上

9、的椭圆叫做腰椭圆叫做腰椭圆椭圆 012222xczby012222yczaxyozyoz面面上的双曲上的双曲线线 xozxoz面上面上的双曲线的双曲线 有共同的虚有共同的虚轴和虚轴长轴和虚轴长 (1)(1)用用z = h z = h 截曲面截曲面结论：单叶双曲面可看作由一结论：单叶双曲面可看作由一个椭圆的变动（大小位置都改个椭圆的变动（大小位置都改变）而产生，该椭圆在变动中，变）而产生，该椭圆在变动中，保持所在平面与保持所在平面与xOy xOy 面平行，面平行，且两对顶点分别在两定双曲线且两对顶点分别在两定双曲线上滑动上滑动. .2222221,.z hxyhCabczh椭圆：用平行于坐标面的

10、平面截割用平行于坐标面的平面截割y z5 5 平截线平截线y = hy z(2)(2)用用y = h y = h 截曲面截曲面用平行于坐标面的平面截割用平行于坐标面的平面截割当当 时时hb2222221.y hxzhCacbyh ，：截线为双曲线截线为双曲线(2)(2)用用y = h y = h 截曲面截曲面 用平行于坐标面的平面截割用平行于坐标面的平面截割当当 时时hb2222221.y hxzhCacbyh ，：截线为双曲线截线为双曲线y = h yx zo用平行于坐标面的平面截割用平行于坐标面的平面截割(2)(2)用用y = h y = h 截曲面截曲面当当 时时hb2222221.y

11、hxzhCacbyh ，：截线为双曲线截线为双曲线 用平行于坐标面的平面截割用平行于坐标面的平面截割(2)(2)用用y = h y = h 截曲面截曲面当当 时时hb2222221.y hxzhCacbyh ，：截线为双曲线截线为双曲线y = h yx zo当当 时时hb22220.y hxzCacyh，：截线为直线截线为直线用平行于坐标面的平面截割用平行于坐标面的平面截割(2)(2)用用y = h y = h 截曲面截曲面2222221.y hxzhCacbyh ，：(0 , b , 0)用平行于坐标面的平面截割用平行于坐标面的平面截割(2)(2)用用y = h y = h 截曲面截曲面当当

12、 时时hb22220.y hxzCacyh，：截线为直线截线为直线当当 时时hb当当 时时hb当当 时时hb2222221xyzabc单叶双曲面：单叶双曲面：用用y = h y = h 截曲面截曲面2222221.y hxzhCacbyh ，：2222221.y hxzhCacbyh ，：22220.y hxzCacyh，：byzo 22221,:0yzbcx222221.xyzbc 当当 时时, ,ab2222221xyzabcbyzox单叶旋转双曲面单叶旋转双曲面 当当 时时, ,ab2222221xyzabc22221,:0yzbcx 222221.xyzbc分析：分析：这一族的椭圆方程

13、为这一族的椭圆方程为2222221,xyhabczh 即即 22222222111,.xyhhabcczh从而椭圆焦点坐标为从而椭圆焦点坐标为22221,0,.hxabcyzh 消去参数消去参数 h h 得得222221,0.xzabcy二、双叶双曲面1222222 czbyax双叶双曲面双叶双曲面xyoz特别的特别的a=b时时 为旋转双曲面为旋转双曲面1222222czbyax双叶双曲面的性质1 1 对称性（对称性（symmetricsymmetric）2 2 与坐标轴的交点及截距与坐标轴的交点及截距(vertex and intercept)(vertex and intercept) （

14、1 1）双叶双曲面与）双叶双曲面与x x轴、轴、y y轴不交，而与轴不交，而与z z轴交于（轴交于（0 0，0 0，c c），此为其实顶点），此为其实顶点. . （2 2）用）用x=0,y=0 x=0,y=0代入，得曲线在代入，得曲线在z z轴上的轴上的截距，而在截距，而在x,yx,y轴上无截距轴上无截距. .xyoz3 3 图形范围图形范围 ，易知，易知 ，即，即 或或 所以曲面分成两叶，一叶在所以曲面分成两叶，一叶在 的上方，另一叶在的上方，另一叶在 平面的下方，曲面在面的上半空间下半空间延伸到无穷。平面的下方，曲面在面的上半空间下半空间延伸到无穷。 2222221xyzabc 0122c

15、zcz czcz czxyoz用用y = 0 y = 0 截曲面截曲面用用x = 0 x = 0 截曲面截曲面用用z = 0 z = 0 截曲面截曲面4 4 主截线主截线2222010.yzxCcay双曲线，：2222010.xzyCcbx双曲线，：无交点无交点xy zo5 5 平截线平截线当当 时时, ,hc 当当 时时, ,hc0,0, c交点坐标交点坐标2222221,.z hxyhCabczh：截线为椭圆截线为椭圆（1 1）用用 截曲面截曲面zh hcyx zo结论：双叶双曲面可看作由结论：双叶双曲面可看作由一个椭圆的变动（大小位置一个椭圆的变动（大小位置都改变）而产生，该椭圆在都改变

16、）而产生，该椭圆在变动中，保持所在平面与变动中，保持所在平面与xOy xOy 面平行，且两轴的端点面平行，且两轴的端点分别在两定双曲线上滑动分别在两定双曲线上滑动. .（2 2）用用 截曲面截曲面yt2222221,.y tzxtCcabyt：截线为双曲线截线为双曲线yx zo2222221,.x tzytCcbaxt ：截线为双曲线截线为双曲线（3 3）用用 截曲面截曲面xtyx zo五五 单叶双曲面和双叶双曲面的方程的识别：单叶双曲面和双叶双曲面的方程的识别： 1 1两种双曲面的方程的左边都是两种双曲面的方程的左边都是x x，y y，z z的平方项，有正的平方项，有正有负，右边是有负，右边

17、是1 1或或1. 1. 把方程的右边都化成把方程的右边都化成1 1，则左边有两项正，一项负的，则左边有两项正，一项负的，就表示单叶双曲面就表示单叶双曲面. . 而左边有两项负，一项正的，就表示而左边有两项负，一项正的，就表示双叶双曲面双叶双曲面. . 把方程的左边都化成两项正，一项负，则右边是把方程的左边都化成两项正，一项负，则右边是1 1的就的就表示单叶双曲面，而右边是表示单叶双曲面，而右边是1 1的，就表示双叶双曲面的，就表示双叶双曲面. . 2 2绘图时要注意区分绘图时要注意区分“实轴实轴”和和“虚轴虚轴”，并且保证对坐，并且保证对坐标轴的标注要符合右手系的原则标轴的标注要符合右手系的原

18、则. . 分析：分析： 1222222 czbyax1222222 czbyax0222222 czbyax单叶单叶：双叶双叶：yx zo 在平面上，双曲线有渐进线。在平面上，双曲线有渐进线。 相仿，相仿，单叶双曲面单叶双曲面和和双叶双曲面双叶双曲面有有渐进锥面渐进锥面。 用用z=z=h h去截它们，当去截它们，当| |h h| |无限增大无限增大时，时， 双曲面双曲面的截口椭圆与它的的截口椭圆与它的渐进锥渐进锥面面 的截口椭圆任意接近，即：的截口椭圆任意接近，即：双曲面和锥面任意接近。双曲面和锥面任意接近。渐进锥面：渐进锥面：锥2021-12-163.5.3 3.5.3 抛物面抛物面椭圆抛物

19、面椭圆抛物面双曲抛物面双曲抛物面xyzo1、椭圆抛物面、椭圆抛物面 方程：方程：)(2222同号与qpzqypx设设p、q0,则则 0z图形在图形在xoy平面上方平面上方与与xoy面的交线面的交线0022:220zqypxc为点（为点（0，0，0）与平面与平面 )0(0 zz交线线1、椭圆抛物面、椭圆抛物面22222,0 xyz a bab22222222,2,xyabzabxya z当时yoz例例 将抛物线将抛物线 绕它的对称轴旋转绕它的对称轴旋转22:0ypzxyoxz例例 将抛物线将抛物线 绕它的对称轴旋转绕它的对称轴旋转22:0ypzxy.oxz例例 将抛物线将抛物线 绕它的对称轴旋转

20、绕它的对称轴旋转22:0ypzx旋转抛旋转抛物面物面222xypz二、椭圆抛物面的性质二、椭圆抛物面的性质1 1 对称性（对称性（symmetricsymmetric） 2 2 有界性有界性(bounded(bounded 3 3 顶点及截距顶点及截距(vertex and intercept)(vertex and intercept) 0 yx0 yz0 zxxyzo2 2用用y = 0 y = 0 截曲面截曲面3 3用用x = 0 x = 0 截曲面截曲面1 1用用z = 0 z = 0 截曲面截曲面xzyO00,0,0zC顶点：22020.yxa zCy抛线，：物物22020.xyb

21、zCx抛线，：物物4.4.主截线主截线Cx0Cy0 两条主抛物线具两条主抛物线具有相同的顶点有相同的顶点, ,对对称轴和开口方向称轴和开口方向002222zbyax其为点其为点（0，0，0） 0222yzaxxozxoz 面上的抛物线面上的抛物线 主抛主抛物线物线0222xzby yozyoz 面上的抛物面上的抛物线线 有相同的定点（有相同的定点（0 0，0 0，0 0）相同的对称轴相同的对称轴z z轴，开口均轴，开口均向向z z轴正方向轴正方向xzyO1 1用用z = k (kz = k (k00) )截曲面截曲面结论：椭圆抛物面可看作结论：椭圆抛物面可看作由一个椭圆的变动（大小由一个椭圆的

22、变动（大小位置都改变）而产生，该位置都改变）而产生，该椭圆在变动中，保持所在椭圆在变动中，保持所在平面与平面与xOy xOy 面平行，且两面平行，且两对顶点分别在两主抛物线对顶点分别在两主抛物线上滑动上滑动5. 5. 平截线平截线22221,22.z kxyCa kb kzk椭圆： 当当 时，为原点；时，为原点； 0k 当当 时，时， 为椭圆，其顶点为（为椭圆，其顶点为（0 0， ，k k），），（ ，0 0，k k）. . 两半轴长为：两半轴长为： , ., .椭圆抛物面是由椭圆抛物面是由xoyxoy平面上方的一系列平面上方的一系列“平行平行”的椭圆构成的，的椭圆构成的，这些椭圆的顶点（这些

23、椭圆的顶点（ ，0 0，k k）, ,（0 0， ，k k）分别在抛物线（分别在抛物线（2 2）和（）和（3 3）上变化）上变化. . 0kkb 2ka 2ka 2kb 2kb 2ka 222221,22.z kxyCa kb kzk椭圆：xzyO用用y = ky = k截曲面截曲面结论：取这样两个抛物线，结论：取这样两个抛物线，它们所在的平面互相垂直，它们所在的平面互相垂直，它们的顶点和轴都重合，且它们的顶点和轴都重合，且两抛物线有相同的开口方向，两抛物线有相同的开口方向，让其中一条抛物线平行于自让其中一条抛物线平行于自己（即与抛物线所在的平面己（即与抛物线所在的平面平行），且使其顶点在另一

24、平行），且使其顶点在另一个抛物线上滑动，那么前一个抛物线上滑动，那么前一抛物线的运动轨迹是一个椭抛物线的运动轨迹是一个椭圆抛物面圆抛物面. .222222.y kyxazCbyk抛线，：物物用用z = 0 z = 0 截曲面截曲面用用y = 0 y = 0 截曲面截曲面用用x = 0 x = 0 截曲面截曲面 22222xyzab用用z = h z = h 截曲面截曲面用用y = k y = k 截曲面截曲面用用x = t x = t 截曲面截曲面xzy0平行截割法平行截割法主截口主截口辅助截口辅助截口例例 已知椭圆抛物面已知椭圆抛物面S S的顶点在原点，对称面为的顶点在原点，对称面为xOzxOz面与面与yOzyOz面，且过点面，且过点 和和 ，求