第五章 微分方程模型

1、第五章第五章 微分方程模型微分方程模型5.1 传染病模型传染病模型5.2 经济增长模型经济增长模型5.3 正规战与游击战正规战与游击战5.4 药物在体内的分布与排除药物在体内的分布与排除5.5 香烟过滤嘴的作用香烟过滤嘴的作用5.6 人口预测和控制人口预测和控制5.7 烟雾的扩散与消失烟雾的扩散与消失5.8 万有引力定律的发现万有引力定律的发现动态动态模型模型 描述对象特征随时间描述对象特征随时间(空间空间)的演变过程的演变过程 分析对象特征的变化规律分析对象特征的变化规律 预报对象特征的未来性态预报对象特征的未来性态 研究控制对象特征的手段研究控制对象特征的手段 根据函数及其变化率之间的关系

2、确定函数根据函数及其变化率之间的关系确定函数微分微分方程方程建模建模 根据建模目的和问题分析作出简化假设根据建模目的和问题分析作出简化假设 按照内在规律或用类比法建立微分方程按照内在规律或用类比法建立微分方程5.2 经济增长模经济增长模型型发展经济发展经济 提高生产力提高生产力增加投资增加投资 增加劳动力增加劳动力 提高技术提高技术 建立产值与资金、劳动力之间的关系建立产值与资金、劳动力之间的关系 研究资金与劳动力的最佳分配，使投资效益最大研究资金与劳动力的最佳分配，使投资效益最大 调节资金与劳动力的增长率，使经济调节资金与劳动力的增长率，使经济(生产率生产率)增长增长1. 道格拉斯道格拉斯(

3、Douglas)生产函数生产函数 产值产值 Q(t)(),()(0tLtKFftQF为待定函数为待定函数资金资金 K(t)劳动力劳动力 L(t)技术技术 f(t) = f0)(/0ygfLQz10,)(yyg0,LQKQ模型假设模型假设静态模型静态模型),(),(0LKFfLKQ每个劳动每个劳动力的产值力的产值LQz 每个劳动每个劳动力的投资力的投资LKy z 随着随着 y 的增加而增长，但增长速度递减的增加而增长，但增长速度递减yg(y)01. 道格拉斯道格拉斯(Douglas)生产函数生产函数含义？含义？0,2222LQKQ)/(0LKLfQ Douglas生产函数生产函数10),(LKf

4、LKQ10),(LKfLKQQK 单位资金创造的产值单位资金创造的产值QL 单位劳动力创造的产值单位劳动力创造的产值 资金在产值中的份额资金在产值中的份额1- 劳动力在产值中的份额劳动力在产值中的份额更一般的道格拉斯更一般的道格拉斯(Douglas)生产函数生产函数0, 1,0,),(00fLKfLKQ1. Douglas生产函数生产函数1,QLQQKQLKQLQKQLK0,0LSKS1,QLQQKQLKrwLK1w , r , K/L 求资金与劳动力的分配比例求资金与劳动力的分配比例K/L(每个每个劳动力占有的资金劳动力占有的资金) ，使效益，使效益S最大最大资金和劳动力创造的效益资金和劳动

5、力创造的效益wLrKQS资金来自贷款，利率资金来自贷款，利率 r每个劳动力付工资每个劳动力付工资 w 2）资金与劳动力的最佳分配（静态模型）资金与劳动力的最佳分配（静态模型）1KLQQLKwrQQLKLyKLKy,3) 经济经济(生产率生产率)增长的条件增长的条件 (动态模型动态模型)要使要使 Q(t) 或或 Z(t)=Q(t)/L(t) 增长增长, K(t), L(t)应满足的条件应满足的条件模型模型假设假设 投资增长率与产值成正比投资增长率与产值成正比(用一定比例扩大再生产用一定比例扩大再生产) 劳动力相对增长率为常数劳动力相对增长率为常数)(0yLgfQ yyg)(LyfdtdK00,Q

6、dtdKLdtdLteLtL0)(LydtdyLdtdKLyfdtdK0LydtdyLdtdKyfydtdy0Bernoulli方程方程11)1(0100)()(tefyfty0010000000,/QKLKfQLKy00010KKfy11)1(000)1(1)(teKKfty)(11/10)1(00AeKKdtdQt成立当AKKt),/1)(1ln()1 (1000yygyLgfQ)()(0dtdLygfdtdyygLfdtdQ)()(00成立A 0产值产值Q(t)增长增长dQ/dt 03) 经济增长的条件经济增长的条件)1 (10120yfLyf)()(000LKfyfLLyftZ)(0/

7、100)1(00BeKKdtdydtdZt成立B 0成立时当BKK,1/000劳动力相对增长率小于初始投资增长率劳动力相对增长率小于初始投资增长率每个劳动力的产值每个劳动力的产值 Z(t)=Q(t)/L(t)增长增长dZ/dt03) 经济增长的条件经济增长的条件dtdyyfdtdZ10 过滤嘴的作用与它的材料和长度有什么关系过滤嘴的作用与它的材料和长度有什么关系 人体吸入的毒物量与哪些因素有关，其中人体吸入的毒物量与哪些因素有关，其中哪些因素影响大，哪些因素影响小。哪些因素影响大，哪些因素影响小。模型模型分析分析 分析吸烟时毒物进入人体的过程，建立吸分析吸烟时毒物进入人体的过程，建立吸烟过程的

8、数学模型。烟过程的数学模型。 设想一个设想一个“机器人机器人”在典型环境下吸烟，在典型环境下吸烟，吸烟方式和外部环境认为是不变的。吸烟方式和外部环境认为是不变的。问题问题5.5 香烟过滤嘴的作用香烟过滤嘴的作用吸烟有害健康吸烟有害健康-安装过滤嘴安装过滤嘴模型模型假设假设1）l1烟草长，烟草长， l2过滤嘴长，过滤嘴长， l = l1+ l2， 毒物量毒物量M均匀分布，密度均匀分布，密度w0=M/l12）点燃处毒物随烟雾进入空气和沿香烟）点燃处毒物随烟雾进入空气和沿香烟穿行的数量比是穿行的数量比是a :a, a +a=13）未点燃的烟草和过滤嘴对随烟雾穿行的）未点燃的烟草和过滤嘴对随烟雾穿行的

9、毒物的毒物的(单位时间单位时间)吸收率分别是吸收率分别是b和和 4）烟雾沿香烟穿行速度是常数）烟雾沿香烟穿行速度是常数v，香烟燃，香烟燃烧速度是常数烧速度是常数u， v uQ 吸一支烟毒物进入人体总量吸一支烟毒物进入人体总量ulTdttlqQT/,),(01模型建立模型建立0 x1llt=0, x=0，点燃香烟，点燃香烟0) 0 ,(wxwq(x,t) 毒物流量毒物流量w(x,t) 毒物密度毒物密度即：时刻即：时刻t t单位时间通过截面单位时间通过截面x x处的毒物量处的毒物量即：时刻即：时刻t t截面截面x x处处单位长度烟草中单位长度烟草中的毒物量的毒物量1) 求求q(x,0)=q(x)v

10、xlxlxqlxxbqxxqxq,)(,0,)()()(11lxlxqvlxxqvbdxdq11),(0),(000)0(uwHaHq0 x1llxx)(xq)(xxqxv考察考察(x， )xx根据守恒定律这两处流量之差等于这一段根据守恒定律这两处流量之差等于这一段未点燃的烟草或过滤嘴对毒物的吸收量未点燃的烟草或过滤嘴对毒物的吸收量lxleeaHlxeaHxqvlxvblvbx1)(010,0,)(11),()(tutuwtHlxleetaHlxutetaHtxqvlxvutlbvutxb1)()(1)(,)(,)(),(11vlvutlbeetutauwtlq21)(),(),(t时刻，香烟

11、燃至时刻，香烟燃至 x=ut1) 求求q(x,0)=q(x)2) 求求q(l,t)tvtxqbtxwttxw),(),(),(0)()0 ,(),(wxwetutauwvbtwvutxbaaaeawtutwvbuta1,1),(03) 求求w(ut,t)毒物在烟草中的密度逐渐增加。增加量等于毒物在烟草中的密度逐渐增加。增加量等于单位长度烟雾中的毒物被吸收的部分单位长度烟雾中的毒物被吸收的部分120( , )bllbutabutvvvvauwq l teeeaea vblavluleebavawdttlqQ121/001),(vlvutlbeetutauwtlq21)(),(),(vbutaae

12、awtutw01),(rervblarr1)(,1),(2raMeQvl4) 计算计算 Q11vblar结果结果分析分析),(2raMeQvlrervblarr1)(,12/1)(rr vblaaMeQvl2112烟草烟草为什么有作用为什么有作用?1）Q与与a,M成正比，成正比， aM是毒物集中在是毒物集中在x=l 处的吸入量处的吸入量2) 过滤嘴因素，过滤嘴因素， , l2 负指数负指数作用作用vle2vlaMe2是毒物集中在是毒物集中在x=l1 处的吸入量处的吸入量3） (r) 烟草的吸收作用烟草的吸收作用b, l1 线性线性作用作用vblavbleebavawQ12021vlbeQQ2)

13、(21vblavleebavawQ12011带过滤嘴带过滤嘴不带过滤嘴不带过滤嘴21QQb结果结果分析分析4) 与另一支不带过滤嘴的香烟比较，与另一支不带过滤嘴的香烟比较，w0, b, a, v, l 均相同，吸至均相同，吸至 x=l1扔掉扔掉提高提高 -b 与加长与加长l2，效果相同，效果相同5.6 人口预测和控制人口预测和控制)(),(,0),0(tNtrFtFmrFtrp),( 年龄分布对于人口预测的重要性年龄分布对于人口预测的重要性 只考虑自然出生与死亡，不计迁移只考虑自然出生与死亡，不计迁移人口人口发展发展方程方程的人口）年龄人口分布函数rtrF(),(人口密度函数),( trp人口

14、总数)(tN最高年龄)(mr),(),(trptrtprp11,),(),(),(),(),(),(drdtdttrptrtrpdttrpdttrpdttdrrp人口发展方程人口发展方程死亡率),(trdrtrp),(人数年龄,drrrt死亡人数内),(dttt人数年龄,11drdrrdrrdtt1drdt 一阶偏微分方程一阶偏微分方程drdttrptr),(),(drdttdrrp),(10),(),0(0),()0 ,(),(),(0ttftprrprptrptrtprp人口发展方程人口发展方程已知函数（人口调查）已知函数（人口调查）生育率（控制人口手段）生育率（控制人口手段）0tr)(0

15、rprt )(tfrt rt )(),(rtrrtertfrtetrptrprrtrdssdss,)(0,)(),(0)()(0rdstsptrF0),(),(mrdstsptN0),()(21),(),(),()(rrdrtrptrktrbtf),()(),(trhttrb211),(rrdrtrh21),()(rrdrtrbt生育率的分解生育率的分解性别比函数女性 )(),(trk生育数女性 )(),(trb育龄区间,21rr21),(),(),()()(rrdrtrptrktrhttf 总和生育率总和生育率h生育模式生育模式)(),(rhtrh01r2rrrtertfrtetrptrpr

16、rtrdssdss,)(0,)(),(0)()(021),(),(),()()(rrdrtrptrktrhttf人口发展方程和生育率人口发展方程和生育率)(t总和生育率总和生育率控制生育的多少控制生育的多少),(trh生育模式生育模式控制生育的早晚和疏密控制生育的早晚和疏密),(),(trptrtprp)(tf)(0rp),(trp)(t 正反馈系统正反馈系统 滞后作用很大滞后作用很大mrdrtrrptNtR0),()(1)(tdrtrdetSt0),()()(/ )()(tStRt mrdrtrptN0),()(人口指数人口指数1）人口总数）人口总数2）平均年龄）平均年龄3）平均寿命）平均寿

17、命t时刻出生的人，死亡率按时刻出生的人，死亡率按 (r,t) 计算的平均存活时间计算的平均存活时间4）老龄化指数）老龄化指数控制生育率控制生育率控制控制 N(t)不过大不过大控制控制 (t)不过高不过高5.7 烟雾的扩散与消失烟雾的扩散与消失现象现象和和问题问题炮弹在空中爆炸，烟雾向四周扩散，形成圆形炮弹在空中爆炸，烟雾向四周扩散，形成圆形不透光区域。不透光区域。不透光区域不断扩大，然后区域边界逐渐明亮，不透光区域不断扩大，然后区域边界逐渐明亮，区域缩小，最后烟雾消失。区域缩小，最后烟雾消失。建立模型描述烟雾扩散和消失过程，分析消失建立模型描述烟雾扩散和消失过程，分析消失时间与各因素的关系。时

18、间与各因素的关系。问题问题分析分析无穷空间由瞬时点源导致的扩散过程，用二阶偏无穷空间由瞬时点源导致的扩散过程，用二阶偏微分方程描述烟雾浓度的变化。微分方程描述烟雾浓度的变化。观察的烟雾消失与烟雾对光线的吸收，以及仪观察的烟雾消失与烟雾对光线的吸收，以及仪器对明暗的灵敏程度有关。器对明暗的灵敏程度有关。gradCkq模型模型假设假设1）烟雾在无穷空间扩散，不受大地和风）烟雾在无穷空间扩散，不受大地和风的影响；扩散服从热传导定律。的影响；扩散服从热传导定律。2）光线穿过烟雾时光强的减少与烟雾浓）光线穿过烟雾时光强的减少与烟雾浓度成正比；无烟雾的大气不影响光强。度成正比；无烟雾的大气不影响光强。3）

19、穿过烟雾进入仪器的光线只有明暗之）穿过烟雾进入仪器的光线只有明暗之分，明暗界限由仪器灵敏度决定。分，明暗界限由仪器灵敏度决定。模型模型建立建立1）烟雾浓度）烟雾浓度 的变化规律的变化规律),(tzyxC热传导定律：单位时间通过单位法热传导定律：单位时间通过单位法向面积的流量与浓度梯度成正比向面积的流量与浓度梯度成正比 21QQ 222222)(zCyCxCkgradCdivktCVdVttzyxCtzyxCQ),(),(2tttsdtdnqQ1VSn1Qq流量通过,ttt内烟雾改变量sVdVqdivdnq曲面积分的奥氏公式曲面积分的奥氏公式gradCkq1）烟雾浓度）烟雾浓度 的变化规律的变化

20、规律),(tzyxCktzyxektQtzyxC423222)4(),(),()0 ,(zyxQzyxC0,222222tzyxzCyCxCktC 初始条件初始条件Q炮弹释放的烟雾总量炮弹释放的烟雾总量 单位强度的点源函数单位强度的点源函数 对任意对任意t, C的等值面是球面的等值面是球面 x2+y2+z2=R2; RC 仅当仅当 t, 对任意点对任意点(x,y,z), C01）烟雾浓度）烟雾浓度 的变化规律的变化规律),(tzyxC00)(IlI)()(lIlCdldI2）穿过烟雾光强的变化规律）穿过烟雾光强的变化规律光强的减少与烟光强的减少与烟雾浓度成正比雾浓度成正比方向的烟雾浓度沿方向的

21、光强沿llCllI)()(00)(Ill的光强为未进入烟雾lldssCeIlI0)(0)(1),(dztzyxCe观测结果为暗仪器灵敏度，当,1/0II3）仪器灵敏度与烟雾明暗界限）仪器灵敏度与烟雾明暗界限烟雾浓度连续变化烟雾浓度连续变化烟雾中光强连续变化烟雾中光强连续变化lldssCeIlI0)(0)(仪器仪器z- 设光源在设光源在z=- , 仪器在仪器在z= ,则观测到的则观测到的明暗界限为明暗界限为不透光区域有扩大、不透光区域有扩大、缩小、消失的过程缩小、消失的过程穿过烟雾进入仪器的光线只有明暗之穿过烟雾进入仪器的光线只有明暗之分，明暗界限由仪器灵敏度决定。分，明暗界限由仪器灵敏度决定。

22、不透光区域边界不透光区域边界tkQkttr4ln4)(ktyxektQ4224adxeax24）不透光区域边界的变化规律）不透光区域边界的变化规律1),(dztzyxCektzyxektQtzyxC423222)4(),(很小）(11ln1),(dztzyxCktyxektQdztzyxC4224),(222ryx对任意对任意t, 不透光区域边界是圆周不透光区域边界是圆周不透光区域不透光区域边界半径边界半径)(41最大值，eQrrekQttm0,42rkQttr(t)rm0t1t2ttkQkttr4ln4)(结果分析结果分析1127 .2tett观测到不透光区域边界达到最大的观测到不透光区域边界达到最大的时刻时刻t1，可以预报烟雾消失的时刻，可以预报烟雾消失的时刻t2mrtQ,11tk5.8 万有引力定律的发现万有引力定律的发现背景背景航海业发展航海业发展天文观测精确天文观测精确“地心说地心说”动动摇摇哥白尼：哥白尼：“日心说日心说”伽里略：落体运动伽里略：落体运动开普勒：行星运动三定律开