高中数学应用题

1、函数、不等式型1某商场销售某种商品的经验说明，该商品每日的销售量 y (单位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关系式 yI0(x 6)2，其中3<x<6，a为常数销售x 3价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.(I)求a的值；(n)假设该商品的成品为 3元/千克，试确定销售价格 x的值，使商场每日销售该商品 所获得的利润最大.解：(I)因为x=5时，y=11，所以a 1011,a2.2(n)由(I)可知，该商品每日的销售量y22-10(x 6),x3所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x) (x 3) 210(x 6)2210(x23)(x 6) ,3 xx 3

2、6 .30(x 4)( x 6),从而，f'(x)10(x 6)22(x 3)(x 6)于是，当x变化时，f '(X), f(x)的变化情况如下表:x(3, 4)4(4, 6)f'(x)+0-f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x=4是函数f(X)在区间(3, 6)内的极大值点，也是最大值点,所以，当x=4时，函数f(X)取得最大值，且最大值等于 42.答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.2、某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入本钱为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆.本年度为适应市场需求，方案提高产品档

3、次，适当增加投入本钱，假设每辆车投入本钱增加的比例为x (0v x v 1)，那么出厂价相应提高的比例为0.7 x，年销售量也相应增加.年利润=(每辆车的出厂价一每辆车的投入本钱)x年销售量(1) 假设年销售量增加的比例为0.4 x，为使本年度的年利润比上年度有所增加，那么投入成 本增加的比例x应在什么范围内？25(2) 年销售量关于x的函数为y 3240( x 2x )，那么当x为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？解：(1)由题意得：本年度每辆车的投入本钱为10X( 1+x);出厂价为13X( 1+0.7X );年销售量为 5000X (1+0.4X ),2分因此本年度的利润为 y

4、 13 (1 0.7x) 10 (1 x) 5000 (1 0.4x)(3 0.9x) 5000 (1 0.4x)即：y1800x2 1500x 15000(0 x 1),6 分2 5由 1800x2 1500x 15000 15000 ,得 0 x 工8 分， 6(2)本年度的利润为5f(x) (3 0.9x) 3240 ( x2x) 3240 (0.9x4.8x4.5x 5)3那么 f'(x) 3240 (2.7x2 9.6x 4.5) 972(9x 5)(x 3),10分'5由f (x) 0,解得x或x 3,95'5'当x (0,-)时，f (x) 0,

5、f(x)是增函数；当x (一,1)时，f (x) 0, f(x)是减函数.99当x 5时，f (x)取极大值f(5) 20000万元，12分99因为f (x)在(0, 1)上只有一个极大值，所以它是最大值，14分5所以当x -时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元.15分93、某民营企业生产 A, B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比,(注：利润其关系如图甲，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图乙 与投资单位：万元).y*甲乙(I)分别将 A, B两种产品的利润表示为投资 x(万元)的函数关系式;10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万

6、元解:(I)设投资为x万元,A产品的利润为f(x)万元,B产品的利润为g(x)万元.由题设 f (x)k1x, g(x) k?、x1 1由图知f(1) = !,故k1=丄44p55又 g(4), k22 4,15 /从而 f (x) x(x 0), g(x) . x(x 0) 44(n)设 af (x)产品投入x万元，那么B产品投入1x410-x万元,设企业利润为y万元.g(10 x)5 J0 x(0 x 10).10 x104t2;(t即 t10)5代2 时,ymax65,此时x163.7565B产品投入6.25万元，企业最大利润为65万元.164、如下图，一科学考察船从港口O出发，沿北偏东

7、 角的射线OZ方向航行,答:当A产品投入3.75万元，而在离港口 ,13 a ( a为正常数)海里的北偏东角的A处有一个供应科考船物资的小岛，其中1 2tan 3, cos .13 现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口O正东m ( ma )海3里的B处的补给船，速往小岛 A装运物资供应科考船，该船沿BA方向全速追赶科考船，并在C处相遇.经测算当两船运行的航向与海岸线OB围成的三角形 OBC的面积最小时,这种补给最适宜. 求S关于m的函数关系式 S(m)； 应征调m为何值处的船只，补给最适宜.【解】以O为原点，OB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，那么直线 OZ方程为设点A Xo, yo那么 x0

8、 v'T3asin寸彳3a =<133a, yo*;13acosT3a 2a,即 A 3a,2a ,上面的方程与S(m) S(m)当且仅当2a3a-6am )3m 7aB m,0，所以直线 AB的方程为y3x联立得点C(二am3m12OB |yc |(m 3a)7a23am3m 7a9(m49a2749a29(m7 a)答：S关于m的函数关系式(m14a3a(249a2928a2312分时，即14 a时取等旦3号，14分S(m) *OB|yc|3am23m 7 a(m!a)15分.在一年内，预计年销量Q14应征调m a处的船只，补给最适宜.35、某生产饮料的企业准备投入适当的广告

9、费，对产品进行促销3x 1(万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为 Q(x 0).生产此产品的年x 1固定投入为3万元,每生产1万件此产品仍需要再投入 32万元，假设每件售价为“年平均每 件本钱的150%与“年平均每件所占广告费的50%'之和.(1) 试将年利润 W万元表示为年广告费 x万元的函数；(2) 当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大，最大年利润为多少？3)50% x万元.(1)年生产本钱为(32Q3)万元，年收入为150%(32Q所以W2(32q3 x)(3223x 1x 1x)=x298x2(x 1)(x0) (7 分)(x 1)2100(x 1)2(x 1)64

10、=50(x32x 142(12 分)x 132当J 亠丄，7时,等号成立.2 x 1所以当年广告费投入 7万元时，年利润最大为42万元.(14 分)6、为迎接2021年上海世博会，要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为 60000cm2，四周空白的宽度为10cm，栏与栏之 间的中缝空白的宽度为 5cm，怎样确定广告矩形栏目高与宽的尺寸 (单位：cm)，能使整 个矩形广告面积最小b 20000a解：设矩形栏目的高为 acm，宽为bcm，那么ab 20000，0,b0)广告的高为(a 20)cm，宽为(3b 30)cm (其中a广告的面积 S (a 2

11、0)(3b 30)30(a 2b) 6060030(a40000) 60600a4000030 2 a 6060012000 6060072600当且仅当a 40000，即a 200时，取等号，此时b 100. a故当广告矩形栏目的高为200cm，宽为100cm时，可使广告的面积最小 7、某地发生特大地震和海啸，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质。每投放质量为m的药剂后，经过x天该药剂在水中X 2(0 x 4)释放的浓度y (毫克/升)满足y mf (x),其中f (x)4，当药剂在水中(x 4)x 2释放的浓度不低于 4 (毫克/升)时称为 有效净

12、化；当药剂在水中释放的浓度不低于4 (毫克/升)且不高于10 (毫克/升)时称为最正确净化。(I )如果投放的药剂质量为 m=4,试问自来水到达 有效净化一共可持续几天?II 如果投放的药剂质量为 m,为了使在7天从投放药剂算起包括 7天之内的自 来水到达最正确净化，试确定该投放的药剂质量m的值。x 8(0 x 4)解：(1)当 m=4时，y 4f(x)242分(X 4)x 2当药剂在水中释放的浓度不低于 4 毫克/升时称为 有效净化当 0 x 4 时，y x 8 4，得 x 4当x 4时，y4，解得4x8x 2故自来水到达 有效净化一共可持续5天62为了使在7天从投放药剂算起包括7天之内的自

13、来水到达 最正确净化即前4天和后3天的自来水到达 最正确净化当0 x 4 时，x4 m( 2)10在 0x4恒成立，得416mx 8在010x 4恒成立， 2 m9分403mx 8当4x 7 时，46m10 在 4 x7恒成立，同理得m10x 23即投放的药剂质量10m的值为一13分&某企业拟建造如下图的容器 不计厚度，长度单位：米，其中容器的中间为圆柱形,80左右两端均为半球形， 按照设计要求容器的容积为立方米，且I 2r 假设该容器的3建造费用仅与其外表积有关圆柱形局部每平方米 建造费用为3千元，半球形局部每平方米建造费用为cc 3千元设该容器的建造费用为y千元.1写出y关于r的函

14、数表达式，并求该函数的定义域；2 求该容器的建造费用最小时的r 解：1由题意可知r2I 4 r380 (I > 2r)，即 I3 3卑 4r > 2r，贝y 0 r < 2. 3r23容器的建造费用为2y 2 rl 3 4 r8042专孑)4 rc，r24r 02.r 8 rc，令 y4.5,(1)当 3 c < 4.5 时,y有最小值;(2)当 c 4.5时, 3笃2,当0 r此时当r 3笃 时y有最小值.20c 220 , y c 216分0，函数y为减函数，当r 2时0 ;当r20 时 y 0 , c 29、某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为位，且每

15、个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连经预算，摩天轮上的每个座位与 支点相连的钢管的费用为 8k元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时，相邻两座k米的圆.在这个圆上安装座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为(102仆 20)x 2 k元。假设座位等距离分100布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为丿元。(1)试写出y关于x的函数关系式，并写出定义域;(2)当k 100米时，试确定座位的个数，使得总造价最低?解：(1)设摩天轮上总共有 n个座位，那么k即nk y 8k_x(1024.x 20)xk210kx1024 Jx 20100100zK - X

16、k - 2XoIX域义定(2)当 k 100时，令 y 10010001024 匸 20f (x)1000 1024 .x,f (x)1000x31000 512x2x23 x"12564125642516 '(10 分)25(0,)1625 ( ,50)时，16时,f (x)f (x)0，即 f (x)在 x0，即 f (x)在 x25、(0,)上单调减，1625(,50)上单调增,1625100ymin在x时取到，此时座位个数为-16251664个。15分三角型10、如图是一幅招贴画的示意图，其中ABCD是边长为2a的正方形，周围是四个全等的弓形. O为正方形的中心，G为

17、AD的中点，点P在直线OG上，弧AD是以P 为圆心、PA为半径的圆的一局部， OG的延长线交弧 AD于点H.设弧AD的长为| ,APH(1)求l关于 的函数关系式;OP(2)定义比值OP为招贴画的优美系数，当优l美系数最大时，招贴画最优美证明：当角满足:tan()时，招贴画最优美.D解: (1) 当(2 2)时,4 2点P在线段OG上，AP.当sin(朮)时，点P在线段GH上，APaa.当n时,2AP a .sin( n )当sin综上所述，APsinn 3 n,LL)4 4.2分所以,弧AD的长| AP2asin2 a，故所求函数关系式为I,sin(2 )OPOGGH(-,n)时，4 2at

18、an( n )美.OPOGPGa a tanaatanacossinacos；sinn 3 n z(一，)时，2 4OP所以,从而,OPOPlf(acossin 'sin cos2sin cos2(cos sinn 3 n(C .(2).4 4(sin cos220，得(cos sin ) sincos10分因为 (上,与，所以 cos sin 0，从而 cos-4 4cos sin显然二所以2sincostantan( 十 14cossintan记满足ta n(nn的0 ,下面证明0是函数f()的极值点.设g()(cossin)(sincos ),(書).4 4那么g ()(coss

19、in| )0在(卫上恒成立，4 4从而g()在所以，当12分n 3 n(,)上单调递减.4 4n(:0)时，g( )0，即 f ()43 n(0盲)时，g() 0,即f() 0,故f()在°处取得极大值，也是最大值.所以，当满足tan(14分0 , f()在(-,°)上单调递增;4f ()在(0，3：)上单调递减.-n)时，函数f ()即取得最大值，此时招贴画最优4I16分11、如图，某兴趣小组测得菱形养殖区ABCD的固定投食点 A到两条平行河岸线l1、l2的距离分别为4m、8m,河岸线11与该养殖区的最近点 D的距离为1m, 12与该养殖区的最近点B的距离为2m.1如图甲

20、，养殖区在投食点A的右侧，假设该小组测得BAD60 ,请据此算出养殖区的面积；2如图乙，养殖区在投食点 算出养殖区的最小面积.A的两侧，试在该小组未测得12BAD的大小的情况下，估12图甲图乙【解】1如图甲，设AD与11所成夹角为，那么AB与I2所成夹角为60o,3 sin对菱形ABCD的边长“算两次得6osin 60tan解得2Ssi n60o所以，养殖区的面积sin9 11tansin60°42.3 (m2);2如图乙，设AD与11所成夹角为BAD120，80 ,那么AB与12所成夹角为6sin 180°10分180°3 sin对菱形ABCD的边长“算两次得t

21、an sjn解得2 cos ,所以，养殖区的面积S3sin9 112 tansin9 5 4cos sin12分sinS9 54cos9 5cos40 cos4由sinsin得514分经检验得，当5时，养殖区的面积Smin=27(m). 16分答: ( 1)养殖区的面积为42 3 m2 ; (2)养殖区的最小面积为 27m212、如图，现在要在一块半径为 形MNPQ，使点P在AB弧上， 边形MNPQ的面积为S.(1)求S关于0的函数关系式；解：在 OPQ 中， =，sin 0 sin(60o 0 sin 120o 雨1m.圆心角为60。的扇形纸板 AOB上剪出一个平行四边 点Q在OA上，点M,

22、N在OB上，设/BOP= 0, 平行四sin 0, PQ=狰n(60o - 0)(2)求S的最大值及相应PQ OP 2.0的值.2OQ = 2V32- S mnpq = 2S opq = OQ PQ sin 120 o = 3 sin 0 sin(60 o 0)=3cos(2 0- 60o)-中1y3-0 v 0c 60o 60o v 2 0 60o v 60o ? v cos(2 0 60o) w 1 - - 0 v Sw 6 0= 30o时，S的最大值为二"613、如图，实线局部的月牙形公园是由圆P上的一段优弧和圆 Q上的一段劣弧围成，圆 PP上的多边形和圆Q的半径都是2km，点

23、P在圆Q上，现要在公园内建一块顶点都在圆 活动场地.(1)如图甲，要建的活动场地为RST,求场地的最大面积;(2)如图乙，要建的活动场地为等腰梯形变化着的几何背景，变元在哪儿？想明白了，怎样表述?【解】(1 )SH丄RT于H ,如右图，过S作SRST= -SH2RT由题意，RST在月牙形公园里,ABCD，求场地的最大面积.RT左边的局部是一个大小不超过半圆的弓形,那么有 RTW 4, SHW 2,当且仅当RT切圆Q于P时(如下左图)，上面两个不等式中等号同时成立.此时，场地面积的最大值为S RST=! 422=4 (km2).(2)同(1)的分析，要使得场地面积最大，AD左边的局部是一个大小不

24、超过半圆的弓形,AD必须切圆Q于P,再设/BPA=那么有$边形ABCD2 sin2 sin( n2 ) 4(sinsincos ) 0令 y sinsincosy coscoscossin (sin2cos2cos11分cos12,0,_n3，14分函数y sinsin cos在 才处取到极大值也是最大值,3n时,场地面积取得最大值为3 3 ( km2).16分13、如图,代B是海面上位于西方向相距5 3.3海里的两个观测点,现位于A点北偏东45°, B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20.3海里的C点的救援船立即前往营

25、救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？解：由题意知 AB=53+-、3海里,DBA 906030 , DAB 45 ,ADB 105在DAB中，由正弦定理得DBsin DABABsin ADBDBAB ?sin DABsin ADB5(33)?si n45sin 1055(3 73) ?sin 45sin 45 cos60 sin 60 cos455、3(1 J3)(1 3)10 3 海里，又 DBCDBAABC 30(9060 )60 , BC 20、. 3 海里,在DBC中，由余弦定理得2 2 2CD2 BD2 BC2 2BD ?BC ?cos DBC=300 12

26、00 2 10、3 20.3 1 900230CD 30 (海里)，那么需要的时间t1 (小时)。14分3015分答：救援船到达D点需要1小时。数列型14、某企业在第1年初购置价值为120万元是设备 M M的价值在使用过程中逐年减少， 从第2年到第6年，每年初 M的价值比上年初减少 10万元；从第7年起，每年初 M的价 值是上年初价值的 75% .(1) 求第n年初M的价值an的表达式；(2) 设A a1a2an，假设An大于80万元，那么M继续使用，否那么须在第 n年初对nM更新，求须在第几年初对 M更新。解：(I)当n 6时，数列an是首项为120,公差为10的等差数列.3an 120 1

27、0(n 1) 130 10n;当n 6时，数列an是以a6为首项，公比为一为等比43 数列，又 a6 70，所以 an 70 ()n 6;4120 10(n 1)130 10n, n 6因此，第n年初，M的价值an的表达式为an3 n 6an 70 ()n6,n 74(II)设Sn表示数列an的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得当1n 6 时，Sn 120 n5n(n1)，An120 5(n 1) 1255n；当n7时，S6佝比 Lan)57070 -44 1(|n 6780210A3780 210(3)n 6n3780 210 (-)8 6 A8 宀因为an是递减数列，所以An是递减数列

28、，又3 6797696 8°47780 210 (-)68280, A64646所以须在第6年初对M更新.15、某开发商用 6000万元在市区购置一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑 面积为2000平方米。该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4000元，从第二层开始,每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元。(1) 假设该写字楼共x层，总开发费用为 y万元，求函数y=f(x)的表达式;(总开发费用=总建筑费用+购地费用)(2) 要使整幢写字楼每平方米开发费用最低，该写字楼应建为多少层？解：(1)由，写字楼最下面一层的总建筑费用为：4000 20008000000 (元)

29、800 (万元)，从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多：20 (万元)，800为首项，20为公差的等差数列100 2000200000 (元)写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以 所以函数表达式为： y f(x) 800x x(； 1 20 90002 *10x790x 9000 (x N );(2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为：10分5(10x2 790x 9000)g(x) 32000x50当且仅当90079x900 刚，即xx> 50 (2,90079)6950 (元)30时等号成立.12分10000x解:(1)对于曲线C1,因为曲线AOD的解析式为y (t,CO

30、St 1)2分所以点O到AD的距离为1 cost,而AB DC 33那么诃)(3 t) d cost) t cost 4(1 t JCOSXt,1 ,所以点D的坐标为14分答：该写字楼建为30层时，每平方米平均开发费用最低.解析几何型16、在综合实践活动中，因制作一个工艺品的需要，某小组设计了如下图的一个门(该图为轴对称图形),其中矩形ABCD的三边AB、BC、CD由长6分米的材料弯折而3成，BC边的长为2t分米(1 t )；曲线AOD拟从以下两种曲线中选择一种：曲线2G是一段余弦曲线(在如下图的平面直角坐标系中，其解析式为y cosx 1),此时记门的最高点O到BC边的距离为h(t);曲线C

31、2是一段抛物线，其焦点到准线的距离 为工，此时记门的最高点 0到BC边的距离为h2(t).8(1) 试分别求出函数 g(t)、h2(t)的表达式；(2) 要使得点O到BC边的距离最大，应选用哪一种曲线？此时,最大值是多少？294 2对于曲线 C2 ,因为抛物线的方程为x2y ,即yx2,所以点 D的坐标为4 94 2(t,-t2)2分所以点0到AD的距离为4t2,而AB DC 3 t,所以94 23h2(t)t2 t 3(1 t ) 7分923(2)因为h (t)1 si nt 0,所以h,(t)在1,上单调递减,所以当t 1时，ht)取2得最大值为3 C0S1 9分厂49又 h2(t) 9(t 8)因为 cos1 cos 339,而1161-,所以32t 3,所以当21cos1 3 -2t 时，h2 (t)取得最大值为 11分2 252应选用曲线C2,当t14分3 5时，点E到BC边的距离最大,最大值为一分米2217、某校兴趣小组运用计算机对轮船由海上驶入内陆海湾进行了一次模拟试验如图，内陆海湾的入口处