高中数学求值域的种方法

1、求函数值域的十种方法一. 直接法(观察法)：对于一些比拟简单的函数，其值域可通过观察得到。例1 .求函数y1的值域。【解析】I、x 0 , - .X 1 1，二函数y , x 1的值域为1,)。【练习】1. 求以下函数的值域： y 3x 2( 1 x 1)； f(x) 24 x ；X2 y; y x 11 , x 1,0,1,2。x 1【参考答案】1,5:2,):(，1巾(1,) ； 1,0,3 0二. 配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形 如F(x) af2(x) bf(x) c的函数的值域问题，均可使用配方法。例2 .求函数y x2 4x 2 ( x 1,1)的值

2、域。【解析】yx2 4x 2 (x 2)2 6 o 1 x 1 , 3x21 , 1 (x 2)2 9 , 3 (x 2)2 6 5, /3 y 5 o函数 yx2 4x 2 ( x 1,1)的值域为3,5。例3.求函数y 2x2 4x(x 0,4)的值域。【解析】此题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：f(x)x2 4x( f(x) 0)配方得：f (x) (x 2)2 4(x 0,4)利用二次函数的相关知识得f(x) 0,4，从而得出：y 0,2 o说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函 数本身定义域的限制，此题为：f(x) 0 o【分析与解】 此

3、题可看成第一象限内动点P(x, y)在直线x 2y 4上滑动时函数Igx lg y Igxy的最大值。利用两点(4,0)， (0,2)确定一条直线，作出图象易得:x (0,4), y (0,2),而 Igx lg y Igxy lgy(4 2y) lg 2(y 1)2 2，y=1 时，Igx lg y取最大值lg2 。【练习】2. 求以下函数的最大值、最小值与值域: y x2 4x 1 ; yx24x 1,x 3,4; yx2 4x 1,x 0,1;【参考答案】3,73)2 2 2 2'1 ；® I3® ；$6盲；G0,2 yx2 4x 1,x 0,5 ； 5 yx

4、2 2x 4x1x 4,4 y . x2 2x 3。三. 反函数法：反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数 的关系，求原函数的值域。适用类型：分子、分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型)，也可用于其它易反解出自变量的函数类型。例5.求函数y亘的值域。x 1分析与解：由于此题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出x，从而便于求出反函数。y互反解得x y ，故函数的值域为(，2)(2,) ox 12 yv【练习】2x 31. 求函数y 的值域。3x 22. 求函数y竺卫，c 0,x-的值域。cx dc【参考答案】(钊韦)；(自U® )四. 别离变量法:适用类型1:分

5、子、分母是一次函数的有理函数，可用别离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。例6:求函数解：2x 5丄上的值域。2x 51 7-(2x 5)-2 22x 572 ，2x 52x 50，y12，二函数=的值域为y|y ,适用类型2:分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为y k f(x)( k为常数)的形式。例7:求函数y分析与解：观察分子、分母中均含有x2x项，可利用别离变量法;那么有2x x y x x 1x2x 1 1x2 x 111x2(X 1)不妨令:1f(x) (x ?)34，g(x)3f(x) 0)从而 f(x) 7注意：在此题中假设出现应排除f(x)0，因为f

6、(x)作为分母.所以g(x)1y 3,1。另解：观察知道此题中分子较为简单,可令t , 1 1，求出t的值域,x xx x进而可得到y的值域。【练习】2x22x 31求函数y 2 2x 3的值域。x x 1【参考答案】1. 2,103五、换元法：对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方法将原函数转化为简单的熟悉的根本函数。其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换兀。例8:求函数y 2x ,1 2x的值域。 yt21 251t 1；。1 t2解：令 t .1 2x (t 0)，那么 x 一-23

7、 z8时,5ymax 4，无最小值。函数2x .1 2x的值域为(，5 o4解：因 1 (x 1)20，即(x 1)21o故可令 x 1 cos ,0, ，.y cos 1. 1 cos2sincos1- 2 sin()1 o4 0,5 ，444'sin(2-)1，0,2 si n( ) 1 1 辽44例9:求函数y、2。x 2故所求函数的值域为0,1T12的值域。例10.求函数y3x x-4rx 2x-的值域。1解：原函数可变形为:2x 11 x21 x2可令X=tan ，那么有2x1 x2k2时8时'ymaxk_2时，ymin8而此时tan有意义。故所求函数的值域为1 14

8、,41，x祛2的值域。解：y(sin x 1)(cosx 1)令 sin xcosx t，贝V sinxcosx -(t221)由 t sin x cosx 2 sin(x )且x12, 2可得：.2 - t .2 2当 t&时，ymax 3迈，当t2时,22故所求函数的值域为3 -2,- x 2。例11.求函数y (sin x1)(cosx42 23、2y ；飞例12.求函数y x 4的值域。解：由 5 x20，可得 |x| -.5故可令 x 、5cos ,0, 0当 -时，Ymax 4当 时，Ymin 45故所求函数的值域为：4 ,5,4 .10六、判别式法：把函数转化成关于X的一

9、次方程Fx,y 0 ;通过方程有实数根，判别式0，从而求得原函数的值域，形如盼：dx G ( ai、92 不a2xb2x c同时为零的函数的值域，常用此方法求解。例13:求函数y2X2 X 3的值域。X X 1解：由y2乞卫变形得(y 1)x2 (y 1)xX x 1当y 1时，此方程无解；当 y 1 时，T x R , (y 1)2 4(y 1)(y 3)0，1111解得 1 y ，又 y 1，二 1 y 33函数y笃一x_3的值域为y |1 y -X2 x 13七、函数的单调性法： 确定函数在定义域或某个定义域的子集上的单调性，求出函数的值域例14:求函数y x ,1 2x的值域。x增大时

10、,1 2x随x的增大而减少，1 2x随x的增大而增大,函数y1，2上是增函数。12； 2，函数y，1。例15.求函数y .，厂.、厂的值域。解：原函数可化为:2令y,v'T7, y2，显然y1,y2在1,上为无上界的增函数所以y yi y在1，上也为无上界的增函数所以当x=1时，y y1 y2有最小值、2，原函数有最大值 2.2V2显然y 0，故原函数的值域为(0,.2适用类型2:用于求复合函数的值域或最值。(原理：同增异减)2例16：求函数y logi(4x x)的值域。2分析与解：由于函数本身是由一个对数函数(外层函数)和二次函数(内层函数)复合而成，故可令：t(x)x2 4x(t

11、(x) 0)配方得：t(x) (x 2)2 4所以t(x) (0,4)由复合函数的单调性(同增异减)知：y 2,)。八、利用有界性：一般用于三角函数型，即利用 sinx 1,1,cosx 1,1等。例17：求函数y cosx的值域。sin x 3解：由原函数式可得：ysin x cosx 3y，可化为:即 sin x(x ) 绎VY 1T x Rsin x(x ) 1,1解得：上y 244故函数的值域为2：244注：该题还可以使用数形结合法cosx yco，利用直线的斜率解题1 2x例18:求函数y捋的值域。12xx 1 y解：由y二解得2X厂2 ,1 2X1 y1 y - 2X 0，二 0，

12、二 1 y 11 y函数y捋的值域为丫1,1九、图像法数形结合法：其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义, 如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目假设运用数形结合法，往往会更加简 单，一目了然，赏心悦目例19:求函数y|x 3|x 5|的值域。y.2x 2 (x3)解： y |x3|x 5|8( 3x 5)，82x 2 (x5)*-3o5x y|X 3|x5|的图像如下图，由图像知：函数y |x 3| |x 5|的值域为8,例20.求函数y 、X 22 、x 82的值域。解：原函数可化简得：y |x 2| |x 8|上式可以看成数轴上点 P X到定点A 2，B 8间的距离之和。由上图可知，当

13、点 P在线段AB上时，y |x 2| |x 8| | AB | 10当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y |x 2| |x 8| |AB| 10故所求函数的值域为：10,例21.求函数y “厂6x_13/x_45的值域。解：原函数可变形为:上式可看成X轴上的点P(x,O)到两定点A(3,2), B( 2, 1)的距离之和,由图可知当点P为线段与X轴的交点时，ymin |AB | .(3 2)2 (2 1)2 、43 , 故所求函数的值域为屈，例22.求函数yx2 6x 13x2 4x 5的值域。解：将函数变形为： y、厂3厂(0一2)22厂(0一1)2上式可看成定点A(3，2)到点P(

14、 x，0)的距离与定点B( 2,1)到点P(x,0)的 距离之差。即: y | AP| |BP |由图可知：(1)当点P在x轴上且不是直线 AB与x轴的交点时，如点P'， 那么构成ABP'，根据三角形两边之差小于第三边，有|AP'| |BP'| | AB| , (3 2)2 (2 1)2.26即:,26 y .26(2)当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有|AP| | BP| | AB| -.26综上所述，可知函数的值域为：(726,726例23、：求函数y 3 sinx的值域.2 cosx分析与解：看到该函数的形式，我们可联想到直线中两点求直线的斜 率的公式

15、k 宜1，将原函数视为定点(2，3)到动点(cosx,sinx)的斜率，又知 动点(cosx,sin X)满足单位圆的方程，从而问题就转化为求点(2，3)到单位圆连线的斜率问题，作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取 得，从而解得：点评：此题从函数本身的形式入手，弓I入直线的斜率，结合图形，从而使 问题得到巧解。例24.求函数y ,1 x . 1 x的值域。分析与解答：令 u ,1 x , v ,1 x，那么 u 0,v 0, u2 v2 2, u v y,原问题转化为：当直线u v y与圆u2 v22在直角坐标系uov的第一象限有公共点时，求直线的截距的取值范围。由图1知：当

16、u v y经过点(0, .、2)时，ymin2 ；当直线与圆相切时，ymax OD 2OC , 2 2 2。所以：值域为 2 y 2十：不等式法： 利用根本不等式 a b /ab, a b c 3$abc (a, b, c R )，求 函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和 为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例 25.求函数 y (sinx )2 (cosx)2 4 的值域。sin xcosx解：原函数变形为：当且仅当tanx cotx即当x k 时(k z)，等号成立4故原函数的值域为：5,)例26.求函数y 2sin xsin2x的值域。解： y 4sin xsin xcosx当且仅当sin2x 2 2sin2x，即当sin2 x -时，等号成立。y 833由y264可得：口8.33279故原函数的值域为：多种方法综合运用:例27.求函数y、门的值域。x 3解：令t x 2(t0)，那么t2 1(1)t 0时,12，当且仅当t=1，即