现代控制理论 第45章PPT学习教案

1、会计学1例 设 21xxx则 不定正半定负定正定221221221212221)()53()()4()()(xxxVxxxVxxxxVxxxV三：二次型函数的正定性设标量函数V（x）为二次型函数，即V（x）=xTQx，并设Q为对称阵： jiijnnnnnnqqqqqqqqqqqQ2122221112113：正半定性和负半定性 设有标量函数V（x），对域S中的某些非零状态x及x=0，有 V（x）=0，而对于S中的其余状态有V（x）0，则称标量函数V（x）在域S内是正半定的。如果- V（x）是正半定的，则V（x）是负半定的 赛尔维斯特准则：对于二次型函数V（x）=xTQx，若Q的所有主子式大于零，

2、则Q是正定的，V（x）也是正定的；或者Q的特征值均为正值，则Q是正定的，V（x）也是正定的。 第1页/共90页赛尔维斯特准则：对于二次型函数V（x）=xTQx，若Q的所有主子式大于零，则Q是正定的，V（x）也是正定的；或者Q的特征值均为正值，则Q是正定的，V（x）也是正定的。 1：系统 设所研究的系统为 ),(txfx 式中x为n维状态向量，在给定的初始条件下， 方程有唯一解 2：平衡状态 满足 0 x 的状态即 0),(txfe对于线性定常系统 Axx 当A可逆时，有唯一平衡状态 0ex第2页/共90页3：稳定性 以S（k）表示平衡状态周围半径为k的球域 kxxekxxxxxxneee212

3、2221)()()(设对应于每一个球域S（），都存在球域S（），使得当t t0时，从初始条件S（）出发的轨迹都超出不了S（），则称这一系统的平衡状态在李雅普诺夫意义下是稳定的。如果与t0无关，则称平衡状态为一致稳定的平衡状态 线性定常系统，如果是稳定的，则必是一致稳定的 ( )S( )S2x1xex第3页/共90页4：渐近稳定性 如果平衡状态在李雅普诺夫意义下是稳定的，且从球域S（）出发的任意一个解，当t时，收敛于平衡状态，则称此类平衡状态为渐近稳定的，如果与t0无关，则平衡状态为一致渐近稳定的 线性定常系统，如果是渐近稳定的，则必是一致渐近稳定的 5：大范围稳定性 不管初始偏差有都大，系统总

4、是稳定的，则称系统是大范围稳定的。不管初始偏差有都大，系统总是渐近稳定的，则称系统是大范围渐近稳定的。大范围渐近稳定的系统只能有一个平衡状态。为了满足稳定条件，初始偏差有一定限制，则称系统是小范围稳定的。对于线性系统，若在小范围稳定，则必大范围稳定；若在小范围渐近稳定，则必大范围渐近稳定 6：不稳定性 如果对于某个实数0和任一实数0，不管它们有多小，在球域S（）中，总存在一个初始状态x0，使得从这一初始状态出发的轨迹最终会超出球域S（），这时的平衡状态是不稳定的 第4页/共90页主要理论 1：对于一个系统，若能构造出一个正定的标量函数V（x），并且它对时间的一阶导数是负定的，则系统在状态空间的

5、原点处是渐近稳定的 2：对于一个系统，若V（x）在原点附近的邻域内是正定的，并且它对时间的一阶导数也是正定的，那么系统在原点处是不稳定的 李雅普诺夫第一法-间接法李雅普诺夫第二法-直接法第5页/共90页22d ydymfkyFdtdt0,1Fm12,xy xy Fkmyf在讨论稳定性时,设12212xxxkxfx 22122111( ,)22E x xxx1212( ,)0(0)( ,)0(0)E x xxE x xx系统稳定212221 12( ,)dE x xx xkx xfxdt 第6页/共90页定理一：设系统的动态方程为 ( )xf x原点为一个平衡状态，即： (0)0f如果存在一个具

6、有连续一阶偏导数的标量函数V（x），满足如下条件 （1） 是正定的( )V x（2） 是负定的( )V x则系统在原点处的平衡状态是一致渐近稳定的 如果当 x( )V x 时 则系统是一致大范围渐近稳定的。 如果除原点外，在系统的轨迹上再没有任何一点，其 ( )V x恒为零，则条件（2）可改为( )V x是负半定的 第7页/共90页定理二：设系统的动态方程为： ( )xf x原点为一个平衡状态，即： (0)0f如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数V（x），满足如下条件 （1） 是正定的( )V x（2） 是负半定的( )V x则系统在原点处的平衡状态是一致稳定的 如果当 x( )V x 时

7、 则系统是一致大范围稳定的。 第8页/共90页设系统状态方程为 )()(22212122221121xxxxxxxxxx坐标原点是系统的一个平衡状态，试确定该系统的稳定性 解：取 2221)(xxxV为一正定的标量函数 222212211)(2)(2)(xxxxxxxV为一负定的标量函数，且 )(,xVx系统是一致大范围渐近稳定的。 第9页/共90页系统动态方程为 0)1 (1222221axxxaxxx坐标原点是系统的一个平衡状态，试确定该系统的稳定性 解：取 2221)(xxxV为一正定的标量函数 22222211)1 (2)(2)(xaxxxxxxV为负半定的，系统是稳定的 定理三：设系

8、统的动态方程为 ( )xf x原点为一个平衡状态，即： (0)0f如果在平衡状态的某个邻域内，存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数V（x），满足如下条件： （1） 是正定的 ( )V x（2） 是正定的( )V x则系统在原点处的平衡状态是不稳定的 类似地，若 ( )V x除原点外，不恒为零，条件（2）可改为正半定。第10页/共90页设有如下系统 21221xxxxx试判断系统的稳定性 解：x=0为系统的平衡状态，取 2221)(xxxV为一正定的标量函数 2222112)(2)(xxxxxxV为正半定的，但除了坐标原点外，在状态轨迹上 不恒为零，系统是不稳定的 )(xV第11页/共90页一：

9、线性定常系统李雅普诺夫函数的求法设线性定常系统 Axx 若A为n阶非奇异矩阵，则系统有唯一的平衡状态x=0 取一个可能的李氏函数 PxxxVT)(P为正定实对称矩阵 xPAPAxxPxPxxxVTTTT)()(令 QxxxVPAPAQTT)()(若Q是正定对称矩阵，则系统是渐近稳定的 定理：线性定常系统渐近稳定的充要条件是：给定一个正定实对称矩阵Q，存在正定实对称矩阵P，使ATP+PA=-Q成立。第12页/共90页21211110 xxxx试确定系统平衡状态的稳定性解解：x=0为系统的平衡状态，取Q=I，由：ATP+PA=-Q 设 121212322121211PppppPP为正定矩阵 )22

10、3(21)(222121xxxxPxxxVT系统是一致大范围渐近稳定的 推论：如果 QxxxVT)(沿任意一条轨迹不恒为零，上述定理中的Q可取为正半定矩阵 第13页/共90页设系统状态方程为： uKxxxKxxx0010120010321321求系统稳定时K的取值范围 解 令u=0，detA0，故原点是系统的平衡状态。取 100Q由于只有在原点处才有 0)(23xQxxxVT故Q可取为正半定矩阵。由ATP+PA=-Q，得 21260122122630612212212260122122KKKKKKKKPKKKKKKK第14页/共90页二：线性时变系统李雅普诺夫函数的求法xtAx)(设线性时变系

11、统系统的平衡状态x=0 取一个可能的李氏函数 xtPxtxVT)(),(P（t）为正定实对称矩阵， xtAtPtPtPtAxxtPxxtPxxtPxtxVTTTTT)()()()()()()()(),(令 xtQxtxVtAtPtPtPtAtQTT)(),()()()()()()(若Q（t）是正定对称矩阵，则系统是渐近稳定的 定理：线性时变系统渐近稳定的充要条件是：给定一个正定实对称矩阵Q（t），存在正定实对称矩阵P（t），使黎卡提矩阵微分方程 )()()()()()(tQtAtPtPtAtPT成立 第15页/共90页三：线性系统稳定性的几个结论 设线性系统 xtAx)(系统的平衡状态x=0状

12、态方程的解为 )(),()(00txtttx渐近稳定系统一致渐近稳定一致稳定系统稳定0000000000000,0),(exp),()4(, 0),()3(,),()2(,)(),() 1 (tttcttcNtttttttttNttttttNtt四：线性定常系统稳定性的特征值判据 定理：线性定常系统 Axx 渐近稳定的充分必要条件是状态矩阵A的所有特征值都位于左半复数平面。即 Rei0 （i=1、2、n） i为A的特征值 第16页/共90页取Vx(k)=xT(k)Px(k)，P为正定实对称矩阵。 )()()()() 1() 1()(kxPPGGkxkPxkxkPxkxkxVTTTT令 PPGG

13、QT定理：线性定常离散系统渐近稳定的充分必要条件是：给定一个正定实对称矩阵Q，存在一个正定实对称矩阵P使GTPG-P=-Q成立，此时V（X）=xTPx。若V（x）=-xTQx沿任一解序列不恒为零，那么Q可取为正半定矩阵。设 x(k+1)=G x(k)，x=0为平衡状态。 ( )( )( )TV x kxk Qx k 第17页/共90页设 )(00) 1(21kxkx试确定系统在平衡点处大范围渐近稳定的条件解：取Q=I，由GTPG-P=-Q得 2221110011P根据P为正定实对称矩阵的要求，得 1121第18页/共90页定义：称一个系统外部稳定（BIBO）是指对任何一个有界输入u(t),即：

14、u(t)K1 ), 0tt的任意输入u(t)，对应的输出y(t)均为有界，即 20( ) ,)y tKtt 定理：对零初始条件的连续时间线性时变系统，tt0,+）则t0时刻系统BIBO稳定的充分必要条件为，存在一个有限正常数K3 ，使对一切tt0,+)脉冲响应矩阵H(t,)所有元均满足关系式 03( , )1,2,1,2,tijth tdKimjr 证明考虑SISO情形充分性0001132( )( , ) ( )|( , )| ( )|( , )|tttttty tg tudg tudKg tdK KK 1.有界输入、有界输出稳定(BIBO)外部稳定第19页/共90页必要性 采用反证法，即系统

15、BIBO稳定，却存在某个t1使10| ),(|1ttdtg可以取),(sgn)(1tgtu有1010| ),(|)(),()(111ttttdtgdutgty矛盾推论：对零初始条件r维输入和m维输出连续时间线性时不变系统，令t0=0,则系统BIBO稳定的充分必要条件为：存在一个有限正常数K3，使脉冲响应矩阵H(t)所有元均满足关系式 03( )1,2,1,2,ijhdKimjr 定理：对零初始条件的连续时间线性时不变系统，系统BIBO稳定的充分必要条件为：真或严真传递函数矩阵G(s)的所有极点均具有负实部。第20页/共90页( )cG ssa(0)xaxuycxc ( )ath tce线性定常

16、系统分析系统是否BIBO稳定解传递函数脉冲响应00| ( )|0cahdaa系统BIBO稳定的充要条件是0a 等价于传递函数的极点位于左半复平面第21页/共90页定义：称连续时间线性时不变系统在t0为内部稳定，是指由时刻t0任意非零初始状态引起的零输入响应Xou(t)对tt0,+)有界，并满足渐近属性，即： 0)(limtXout定理：对n维连续时间线性时不变自治系统 0)0(0txxAxx 内部稳定的充分必要条件为 0limAtte或矩阵A所有特征值均具有负实部，即：Rei(A)0。 2. 外部稳定与内部稳定性之间的关系定理：对连续时间线性时不变系统，内部稳定BIBO稳定，反之不成立。若系统

17、能控且能观测，则内部稳定BIBO稳定。 第22页/共90页系统方程为06211101xxuyx分析系统的内部稳定性与外部稳定性解det()0IA260(2)(3)01223 系统位于原点的平衡状态不是渐近稳定的传递函数1221( )()63sG sc sIAbsss系统是BIBO稳定的容易判断,系统是能观测、不能控的第23页/共90页1：克拉索夫斯基法设非线性控制系统 )(xfx 其中x为n维列向量，f（0）=0，即x=0为系统的平衡状态，且设f（x）对x在整个状态空间是可以求导的，系统的雅可比矩阵为 nnnnnnxfxfxfxfxfxfxfxfxfdxxdfxJ212221212111)()

18、(克拉索夫斯基指出：如果存在一个对称正定矩阵W,使S（x）=WJ（x）+ WJ（x）T是负定的，那么平衡状态x=0是一致渐近稳定的，系统的李雅普诺夫函数为：)(,xVx则平衡状态x=0是一致大范围渐近稳定的。( )( )( )TTV xx Wxfx Wf x如果 ( )( )( )TTV xx Wxfx Wf x这是因为( )( )( )( )( )TTV xfx Wf xfx Wf x( )( )TTdfdxdfdxWf xfx Wdxdtdxdt( )( )TTxJx WWJ xx第24页/共90页3221211xxxxxx确定平衡状态x=0的稳定性 解 223221131101)()(x

19、xJxxxxxf取W=I 2262112)()()(xxJxJxST为对称负定阵，且( )( )( )TTV xx Wxfx Wf x这是因为( )( )( )( )( )TTV xfx Wf xfx Wf x)(,xVxx=0是一致大范围渐近稳定的。( )( )TTdfdxdfdxWf xfx Wdxdtdxdt( )( )TTxJx WWJ xx第25页/共90页2 变量梯度法设连续时间非线性时不变系统 0)(txfx Xe=0为系统孤立平衡状态， 为V(x)的梯度12121212( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnTnndxdxdxdV xV xV xV xV xd

20、txdtxdtxdtdxdtdxV xV xV xV xxdtxxxdxdt 11( )( )( )nnV xxVV xV xVx第26页/共90页(1)设V(x)的梯度为 1111 112211 122( )( )( )nnnnnnnnnV xxVa xa xa xV xV xVa xa xa xx(2)设V(x) 为有势场，则旋度rotV(x)=0，即 jiijVVijxx0)(0)(xxVdtxdVT(3) (4)由(2),(3)定出V(x) 123211311111000(0)(,0)(,)1122000( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnttxTnxxxxxxx

21、 xxxxxxxnnV xV x dtV xxdtV xVxdxV x dxV x dxVx dx(5)(6)判断V(x)计算结果的正定性第27页/共90页设非线性系统123221xxxxx 分析原点的稳定性解11 11222221 1222( )2a xa xV xaa xa x( )( )TV xV xx 224121121121221 1(2)(2)x x aaxxaa x根据负定性要求2112112aax210a1202a321 1112221 122( )2a xxa xV xa xx21122112211202VVaaaaxx第28页/共90页12211120(0)()112200

22、( )xxxxxxV xVVdxV dxV dx2121242421 11121221211111122122212Taaa xxa x xxxxxa正定)(,xVxx=0是一致大范围渐近稳定的。根据负定性要求2112112aax210a1202a321 1112221 122( )2a xxa xV xa xx21122112211202VVaaaaxx第29页/共90页nnnnnnnninnxaxaxaxxaxaxaxxfxaxaxax22112222121212121111)(3：阿塞尔曼法其中f（xi）为非线性单值函数，f（0）=0，故x=0为系统的平衡状态。 阿塞尔曼指出：若以线性函

23、数取代非线性函数， 即令f（xi）=k xi，可对线性化后的系统建立李雅普诺夫函数V（x），若dV（x）/dt在k1kk2区间内是负定的，则当非线性函数不超过上述区间时，非线性系统的平衡状态x=0是大范围渐近稳定的。设系统的动态方程为：第30页/共90页设 )(212221xfxxxxf(x1)如图所示，判断x=0的稳定性 解：令f(x1)=2x1 线性化后的系统方程为 1222122xxxxx2221)()(xxxVQxxxVT令得 83414145QQ为正定对称阵 222121832145)(xxxxxV第31页/共90页认为非线性系统的李雅普诺夫函数就是V（x），则 21 1121222

24、11122122211112122111111115113133( )()()2224224()()133224()()11 3322 42()1 3312 42TV xx xx xx xx xx f xx xx f xxf xf xxx xx xxxxf xf xxxxxf xx Q为正定对称阵 222121832145)(xxxxxV根据 )(xV负定的要求，稳定时要求 982. 6)(573. 011xxf只要非线性特性在此范围内，系统是大范围渐近稳定的 阿塞尔曼法的特点是很简单，但这一分析结果不一定总是正确的，即使如此，工程上仍作为试探非线性系统稳定性的一种方法 第32页/共90页李雅

25、普诺夫第二法的几点说明 第二法给出的是稳定性的充分条件，因此，一个系统满足稳定条件时，它一定稳定；如果不满足稳定条件，则不能作出不稳定的结论 V（x）不是唯一的，因此满足稳定性条件的各种方案有相应的稳定范围，它们不一定相同。第二法的应用中，没有一种方案是通用的 以上讨论，均假设x=0为平衡点，如果平衡点不在原点，通过适当的坐标变换，将它移到原点 李雅普诺夫函数除了提供稳定性判据外，还可用于线性和非线性系统的瞬态性能分析和参数选择 第33页/共90页3：实际系统按线性化模型判定稳定性李雅普诺夫第一法 实际系统如果非线性不严重，或者偏差不大，在分析稳定性时，可按线性化模型应用线性系统的稳定条件进行

26、分析，那么分析结果是否符合实际系统的真实情况呢？李雅普诺夫小偏差理论： 若线性化系统特征方程式的所有根均为负实数或具有负的实部，则实际系统是渐近稳定的，线性化过程中被忽略的高于一次的微量项对稳定性结论没有影响 若线性化系统特征方程式的所有根中，即使有一根为正实数或具有正的实部，则实际系统是不稳定的，线性化过程中被忽略的高于一次的微量项不会使系统变成稳定 若线性化系统特征方程式的所有根中，有至少一个为零或实部为零，而其余均为负实数或具有负的实部，则实际系统的稳定性不能按线性化模型来判断，实际系统的稳定性与线性化过程中被忽略的高于一次的微量项有关 第34页/共90页性能指标极值型 非极值型 综合的

27、目的极点配置 镇定问题渐近跟踪与干扰抑制解耦控制系统综合是指:在给定被控对象和外部输入信号的情况下,通过设计控制器的结构和参数,使系统满足预先规定的性能指标要求第35页/共90页状态反馈是指从状态变量到控制端的反馈 设原系统动态方程为 xAxBuyCxDu引入状态反馈后，控制律为 ()()xABK xBvyCDK xDv定理：用状态反馈任意配置系统闭环极点的充要条件是：系统完全能控 系统的动态方程为 uvKxKuBCAx xyD第36页/共90页证明：充分性，以传递函数为严真的单输入系统为例，因系统能控不妨设 0121101112112021222130313231012,1010000010

28、00001010nnnnmmmm nAbaaaaCD 110nkkkK即系统为能控标准形。设反馈向量)()()()(10000100001011221100nnkakakakabKA引入状态反馈后而b、C阵不变，即系统的动态方程仍为能控标准形，由能控标准形与传递矩阵的关系知： 第37页/共90页而b、C阵不变，即系统的动态方程仍为能控标准形，由能控标准形与传递矩阵的关系知： 控制系统的闭环极点由特征式 )()()(| )(|0011111kakakabKAInnnn确定，通过选择K阵，可任意配置系统的闭环极点 必要性：反证法，如果系统不能控，说明有些变量不受u的控制，引入反馈后，通过u来影响它

29、们是不可能的。对于单输入、单输出系统状态反馈不影响传递矩阵的零点。状态反馈保持系统的能控性，而不保持系统的能观测性。 从以上证明过程中可得出结论第38页/共90页有一系统的传递函数为 )2)(1(10)()(ssssUsY要求用状态反馈的方法，使闭环极点为-2，-1j 解：系统的能控标准形实现为 3213213210010100320100010 xxxyuxxxxxx设K=k0，k1，k2，则 01223)2()3()(kkkbKAI根据希望闭环极点的位置，特征多项式为 464)1)(1)(2(23jj可得：K=4，4，1 s1s1s1103244 4uvy1x2x3x3x 第39页/共90

30、页极点配置算法1step1. 判别（A，b）能控性 step2.计算由期望闭环特征值 *1,n决定的特征多项式 *0*11*1*1*)()(sssssnnnini step3.设状态反馈阵01nKkkk计算引入反馈后系统的特征多项式det()sIAbK step4.由*1*110det()nnnsIAbKsss确定K第40页/共90页极点配置算法2 step1. 判别（A，b）能控性 step3.计算矩阵A特征多项式1110det()nnnsIAsss可见在原系统中引入非奇异线性变换 xPx12121121111101nnnnaaaaaPbAbA bAba则 1,APAPbPb为能控标准形 s

31、tep2.计算由期望闭环特征值 *1,n决定的特征多项式 *0*11*1*1*)()(sssssnnninistep4 *001111,nnK 针对能控标准形,采用 uvK xvKPx 可实现按希望的极点配置 第41页/共90页step4 *001111,nnK step5 其中 针对能控标准形,采用 uvK xvKPx 可实现按希望的极点配置 KKP12121121111101nnnnaaaaaPbAbA bAba第42页/共90页设系统传递函数为1( )(6)G ss s1) 利用输出反馈1(6)s s uyvk21( )6sssk由于只有一个系数可选择,系统各项性能指标难以兼顾,若0.7

32、07可取18k 则%4.3%4.243bnvK2) 利用状态反馈11221200116001xxuxxxyx 若取0.70735 2nb则希望的特征多项式2222702450nnssss1s1x1s2x 2x6y1x u第43页/共90页2) 利用状态反馈1su1x1s2x 2x6y1x 若取0.70735 2nb则希望的特征多项式2222702450nnssss设01Kkk2010()(6)6sIAbKskskk与希望的特征多项式比较642066K v642450( )( )(6)sG s H ss s64206611221200116001xxuxxxyx 1(6)s s uyv64245

33、0s 40.83vK 1x1x 1su16s yv642066 第44页/共90页状态反馈和输出反馈的比较 反馈原理反馈原理：状态反馈为系统结构信息的完全反馈，输出反馈则是系统结构信息的不完全反馈。扩展状态反馈和扩展输出反馈的等价性等价性。 反馈功能反馈功能：状态反馈在功能上远优于输出反馈。改善输出反馈的途径改善输出反馈的途径：扩展输出反馈（动态输出反馈）反馈实现上反馈实现上，输出反馈要优越于状态反馈。解决状态反馈物理实现的途径解决状态反馈物理实现的途径：引入状态观测器第45页/共90页定理:状态反馈系统能控的充要条件是原系统能控. 0()IIABKBIA BKI()rankIABKBrank

34、IA B证状态反馈可能改变系统的能观测性例如12012311Abc 系统能控且能观测,引入状态反馈3 1k 12012001Abkbc 系统能控,但不能观测22( )25sG sss2( )1G ss第46页/共90页输出反馈指从输出端到状态变量导数的反馈 BCAGx xuy设原系统动态方程为 CxyBuAxx 引入输出反馈后，系统的动态方程为 ()xAGC xBuyCx定理：用输出反馈任意配置系统闭环极点的充要条件是：系统完全能观测 可利用对偶原理来证明 第47页/共90页试选择反馈矩阵G，使下述系统极点配置在-5，-8 0110010102cBA解：系统能观测，设 12gGg2212()(

35、1)IAGcgg希望的特征多项式 4013)8)(5(2解得 213401Gs1s12132401u1u2y-1x2x1x 2x 第48页/共90页在工程实践中，也可以采用从输出端到控制端的反馈，即：u=v-Hy 系统的动态方程为 CxyBvxBHCABuAxx)(sICABHuvxy第49页/共90页对于单输入、单输出线性定常系统 cxybuAxx 如果存在状态反馈矩阵K，使状态反馈系统在李雅普诺夫意义下是渐近稳定的，则称系统是可以用状态反馈镇定的。可镇定的充分条件：线性定常系统引入状态反馈能镇定的充分条件是系统为完全能控. 定理：线性定常系统引入状态反馈能镇定的充要条件是系统不能控的状态分

36、量是渐近稳定的 第50页/共90页定理：线性定常系统引入状态反馈能镇定的充要条件是系统不能控的状态分量是渐近稳定的 证明：对不能控系统按能控性进行结构分解,即令11121221200CCCCCCxxAAbuxxAxyccx引入状态反馈12Kkk即cuvK xvK P xcxP x1112111112121122222000AAAb kAb kbAbKkkAA111122detdetdetsIAbKsIAb ksIA第51页/共90页状态反馈镇定算法1.判断能控性. 若能控,可指定n个实部为负的期望特征值，按极点配置算法，计算反馈矩阵；若不完全能控，则按能控性进行结构分解 即令cxP x1112

37、1221200CCCCCCxxAAbuxxAxyccx.对能控部分,可指定n个实部为负的期望特征值，按极点配置算法，计算反馈矩阵1k.计算状态反馈阵10ccKKPkP第52页/共90页一：开环状态观测器为了实现状态反馈，有时需要对状态进行估计，开环估计方法如下：BuxAxCBAuyx 二：全维观测器全维观测器是指重构状态向量的维数与原系统相同 KCBAuyv状态观测器利用观测器实现状态反馈的系统为： 第53页/共90页在观测器的设计中，为使 尽快地接近x（t），可利用y（t）和 之间的差作为误差反馈信息，观测器结构如下：)( tx)( )( txCtyuyBsIAx Cy 写出观测器动态方程为

38、 ()()xAxBuG yyxAGC xBuGy原系统的状态方程： BuAxx定义状态向量的真实值与估计值之间的偏差为误差状态向量，即：xxx()xxxAGC x第54页/共90页定理：若系统（A、B、C）是能观测的，其状态可用n维状态观测器进行估计 ()xAGC xBuGy矩阵可以按给定极点的位置来选择，所定极点的位置，将决定误差向量趋于零的速率。定理：状态观测器存在的充分必要条件是：系统能观测或者系统虽不能观测但不能观测子系统的特征值均具有负实部 证明：考虑到 ()xAGC x状态观测器存在的充分必要条件是AGC的特征值均具有负实部系统能观测时AGC的特征值能任意配置系统不能观测时，可对系

39、统按能观测性进行分解，由于能观测子系统的特征值可以任意配置，因而的特征值均具有负实部的充要条件是不能观测子系统的特征值均具有负实部AGC第55页/共90页设系统动态方程为 01020231xxuyx 试设计一个状态观测器，其中矩阵A-Gc的特征值（观测器极点）为-10，-10。解 12gGg2112()(23)622IAGcggg希望的特征多项式 10020)10(228.523.5G观测器方程 ()xAGc xbuGyyuxx5 .235 . 810349117第56页/共90页原系统及其状态观测器结构图如下 xyuxx02103210yuxx5 .235 . 8103491175 . 85

40、 .23s1s110 x21xy1x 2x20 x2x u23- -s1s120 x2 x1 x10 x21 x2 x32- -第57页/共90页CxyBuAxx 一个n维的能观测系统由于y可以直接提供一部分状态，故只需要估计其余的状态即可。1：建立n-m维子系统动态方程 设ARnn，BRnr，CRmn，系统（A、B、C）能观测,rankC=mnDPC为一个nn矩阵，D的选择应使P可逆，例如当1100DDDDCICICCCCxPx1111112221220BAAAPAPBPBCCPIBAA考虑到12CCC2rankCm时,可取0DI120IPCC第58页/共90页xPx111111222122

41、0BAAAPAPBPBCCPIBAA系统的动态方程为 21212122211211210 xxIyuBBxxAAAAxx2x可直接有y提供，只须估计 1x第59页/共90页21212222212121111xyxAuBxAxuBxAxAx2：降维观测器设计 方程改写为 1111211122112122222222xA xvyA xvA xB uA yB uyxA xB uyA yB u系统的动态方程为 21212122211211210 xxIyuBBxxAAAAxx2x可直接有y提供，只须估计 1x第60页/共90页故降维观测器方程为 11112111()xAG AxvG y令 1111zx

42、G yxzG y111211121212211121111()()()zAG AzBG B uAG AAG AG yxzG y 111211121112212()AG AxA yB uG yG A yG B u这是一个n-m维观测器，整个状态向量的估计值为： 11120zG yIGxxzyyIx 而系统原状态向量x的估计值为 1 xP x方程改写为 1111211122112122222222xA xvyA xvA xB uA yB uyxA xB uyA yB u第61页/共90页3：G1阵的选择 1111111121111112111()()()xxA xvAG AxvG yAG Axx通

43、过G1阵的选择，使 11121()AG A的极点任意配置，极点的位置决定误差向量 )(11xx 衰减到零的速率，而 2x直接有y提供，不存在估值误差。 故降维观测器方程为 11112111()xAG AxvG y令 1111zxG yxzG y111211121212211121111()()()zAG AzBG B uAG AAG AG yxzG y 111211121112212()AG AxA yB uG yG A yG B u这是一个n-m维观测器，整个状态向量的估计值为： 11120zG yIGxxzyyIx 而系统原状态向量x的估计值为 1 xP x第62页/共90页定理：有m个输

44、出的任一m维能观测系统（A、B、C），可通过状态变换而写成如下形式：21212122211211210 xxIyuBBxxAAAAxx其状态可用n-m维龙伯格观测器进行估计 1112111212122111211112()()()0zAG AzBG B uAG AAG AG yIGxxzyIx （n-m）m矩阵G1可以选得使 11121()AG A极点的位置决定误差向量衰减到零的速率。观测器结构图如下： 的极点任意配置1112111212122111211()()()zAG AzBG B uAG AAG AG yIH0Ixyuz1P x第63页/共90页已知系统： 10121001xxuyx

45、试构造一降维观测器解 系统完全能观测 令 11101222110PP1100101111APAPBPBCCP 设降维观测器的特征值为-10，G1=g11121()IAG Ag希望的特征多项式为+10，故G1=10，降维观测器为： 1112111212122111211112()()()109110110001zAG AzBG B uAG AAG AG yzzuyIGzxxzyIyx 第64页/共90页原系统状态向量估计值为 111122110zxP xy 原系统及其降维观测器如下 s1z 0zz10110921211101 x2 xs11x 10 x1xs12x 20 x2x21uyxyuxx

46、12110001109110zzuy 原系统降维观测器第65页/共90页带状态观测器的状态反馈系统： 现提出两个问题：1，用状态估计进行状态反馈和用x进行状态反馈对系统特性的影响是否一致，或者说系统的闭环传递矩阵是否一致？2，进行状态反馈设计时的K阵和观测器设计时的G阵能否分开设计？显然利用x进行状态反馈时，控制系统的传递矩阵为 BBKAsIC1)(用状态估计进行状态反馈(A、B、C)状 态 观 测器Kx yuv()xAxBuxAGC xBuGyyCxuvKx第66页/共90页0 xABKxBvGCABKGCxBxxyCx ()()xAxBKxBvxAGC xB vKxGyyCx用状态估计进行

47、状态反馈()xAxBuxAGC xBuGyyCxuvKx为了计算传递矩阵，作坐标变换 IIIPIIIP001变换前 1110ABKBABCCGCABKGCB 变换后 11111111000ABKBKBAPA PBPBAGCCC PC 第67页/共90页传递矩阵为 1111111()()000()()BsIABKC sIABCsIAHCC sIABKB考虑到当R、T可逆时，有1111100TSTRRTSR111()()0()sIABKBKsIAsIAHC系统的传递矩阵与用x进行状态反馈时的传递矩阵相同。 11()0()sIABKsIAHC变换前 1110ABKBABCCGCABKGCB 变换后

48、11111111000ABKBKBAPA PBPBAGCCC PC 第68页/共90页另外，系统的特征多项式 1det()det() det()sIAsIABKsIAGC它由（A-BK）、（A-GC）的特征多项式的乘积组成，可见只要系统（A、B、C）能控、能观测，则可按极点配置的需要选择K，按观测器动态特性的需要G，两者可分开进行设计，这个原理称为分离定理 传递矩阵为 1111111()()000()()BsIABKC sIABCsIAHCC sIABKB系统的传递矩阵与用x进行状态反馈时的传递矩阵相同。 变换前 1110ABKBABCCGCABKGCB 变换后 11111111000ABKB

49、KBAPA PBPBAGCCC PC 第69页/共90页设系统的传递函数为 )6(1)(sssG希望利用状态反馈使闭环极点为-4j6，求实现这个反馈的二维及一维观测器。 解 1：建立能观测标准形实现 xyuxx10016100系统也是能控的 2：求状态反馈阵K，设K=k1，k2，系统特征方程式：06)6()(2112kksksbKAsI希望的特征方程式0528)64)(64(2ssjsjsK=2，40 3：求二维观测器，设其极点为s1=s2=-10，G=g1，g2T 221()(6)0sIAGcsgsg希望的特征方程式 010020)10(22sssG=100，14T第70页/共90页观测器方

50、程 ()xAGc xBuGy系统结构图 )6(1ssuy240vs11 x1001 xs12 x2 x100201414-01001100120014xxuy 第71页/共90页系统能观测标准形实现 xyuxx100161004：求一维观测器，设其极点为s1=-10，G1=g 11121()0sIAG Asg希望的特征方程式 s+10=0G1=10 降维观测器方程1112111212122111211112()()()0zAG AzBG B uAG AAG AG yIGxxzyIx 12104010zzuyxzyxxy 第72页/共90页系统结构图 s1z 40z2 x1010101 x)6(

51、1ssyu240v-12104010zzuyxzyxxy 第73页/共90页一.渐近跟踪问题( )cgsy( )g sre所谓渐近跟踪问题,是指要求( )( )ty tr t即lim ( )lim( ( )( )0tte tr ty t( )( )( )( )( )( )( )( )gcrgcgcrds dsn sds dsns n sds实现渐近跟踪的条件的所有根,实部为负( )( )( )( )0gcgcds dsns n s( )rds在右半闭平面的零点,也是( )( )gcds ds的零点( )11( )( )( )( )1( )( )( )1( )( )rgccrgcn sE sR

52、snsn sg s gsdsdsds第74页/共90页二.内模原理为了实现渐近跟踪,要求( )( )gcds ds复现( )rds在右半闭平面的零点令( )rs是( )R s不稳定极点构成的多项式1( )rs称为内模,让内模在系统中复现,称为内模原理( )cgsy( )g sre1( )rs( )11( )( )1( )( )1( )1( )( )1( )( )( )( )rgcrcrgrcn sE sR snsn sdsg sgssdssds由于( )rds在右半闭平面的零点被( )rs约去,只要用( )cgs镇定系统,使( )( )( )( )( )0grcgcdss dsns n s的根

53、均具有负实部,即可实现渐近跟踪.( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )grcrgrcgcrdss d sn sdss d sns n sd s第75页/共90页三.干扰抑制所谓干扰抑制问题,是指要求( )0( ( )0)ty tr t( )cgsy( )g sref令( )fs是( )F s不稳定极点构成的多项式1( )fs称为内模,( )cgsy( )g sref1( )fs( )( )( )( )( )( )1( )( )1( )1( )( )1( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )ggfgcfcfgfcgfcfgfcgc

54、fnsdsnsg sY sF snsn sdsg sgssdssdsnss dsnsdss dsns n sds由于( )fds在右半闭平面的零点被( )fs约去,只要用( )cgs镇定系统,使( )( )( )( )( )0gfcgcdss dsns n s的根均具有负实部,即可实现干扰抑制.让内模在系统中复现,如图所示第76页/共90页四.渐近跟踪和干扰抑制令( ) s是( )R s不稳定极点之最小公分母1( ) s称为内模,让内模在系统中复现,可实现渐近跟踪和干扰抑制( )F s( )cgsy( )g sref1( ) s第77页/共90页五.状态空间设计法令( ) s是( )R s不稳定极点之最小公分母12121011( )mmmmmssasasa sa( )F s121210( )mmmmmssasasa sa内模其实现为cccccxA xb uyx01210100000100,000101ccmAbaaaa 第78页/共90页让内模在系统中复现KcKccccxA xb erecxyffxAxbub fxuycxdu()ccccccccccccxA xb eA xb rcxduA xb cxb d