2013高考数学理一轮复习基础达标演练-9.8直线与圆锥曲

1、HUOVE9CIANSHIXIJNLIAN 炉活页限时训练 04 執学备选；阶拂魂第 A 级基础达标演练 （时间：40 分钟满分：60 分） 一、选择题（每小题 5 分，共 25 分） 1. （2012 荆州二检）过点（0,1）作直线，使它与抛物线 y2= 4x 仅有一个公共点，这 样的直线有（）. A. 1 条 B . 2 条 C . 3 条 D . 4 条 解析 结合图形分析可知，满足题意的直线共有 3 条：直线 x= 0,过点（0,1）且 平行于 x 轴的直线以及过点（0,1）且与抛物线相切的直线（非直线 x= 0）. 答案 C 2. （2012 铜川模拟）过抛物线 y2 = 4x 的焦

2、点作直线交抛物线于点 A（x1，y”，B（x2, y2），若|AB|= 7,则 AB 的中点 M 到抛物线准线的距离为（ ）. 5 7 A.2 B.2 C. 2 D. 3 解析 由题知抛物线的焦点为（1,0），准线方程为 x= 1由抛物线定义知：AB| P P =AF|+|BF| = X1 + 2+ x2 + 2 = X1 + X2+ p，即 X1 + X2 + 2= 7，得 X1 + x2 = 5，于是弦 5 5 7 AB 的中点 M 的横坐标为 2，因此 M 到抛物线准线的距离为 2+ 1= 2. 答案 B 2 2 3设双曲线 a2 b2= 1（a0, b0）的一条渐近线与抛物线 y= x

3、2+ 1 只有一个公 共点，则双曲线的离心率为（）. 5 5 A.4 B. 5 C. 2 D. 5 b 2 2 x_ y_ _ b i i y y=ax x， 解析 双曲线 a2 b2= 1 的一条渐近线为 y= ax,由方程组 2 消去 y 得, HUOVE9CIANSHIXIJNLIAN 炉活页限时训练 04 執学备选；阶拂魂第 Ly=x + 1 x2ax+1=0 有唯一解，所以二 a24= 0,a=2 答案 D4 3 3 A.5 B.5 C. 5 D. 5 y2 解析 设点 A（X1, y”、B（X2, y2）.由题意得点 F（1,0）,由4消去 y 得 x2 5x+ 4= 0, x=

4、1 或 x= 4,因此点 A(1, 2)、B(4,4), F 云二(0, 2), F 目二 F 只 FE X 3+( 2 2X 4 4 2X 5 = 5,选 D. (3,4), coscosJ JAFBFB= |F云|尸厂答案 D 5. （2011 宜春模拟）已知 A，B 为抛物线 C： y2= 4x 上的两个不同的点，F 为抛物 线 C 的焦点，若 FA= 4FB，贝 U 直线 AB 的斜率为（ ）. 2 3 3 4 A. 3 B. 2 C. 4 D. 3 解析 由题意知焦点 F（1,0），直线 AB 的斜率必存在，且不为 0,故可设直线 AB 的方程为 y= k（x 1）（k 工 0），代

5、入 y2= 4x 中化简得 ky2 4y4k= 0，设 A（x1，y1）， B(x2, y2),则 y1 + y2 =4 4,y1y2= 4,又由 社4FB 可得 y1= 4y2, 4 联立式解得 k= 3. 答案 D 、填空题（每小题 4 分，共 12 分） 2 2 6. （2011 北京东城检测）已知 F1、F2为椭圆 25+ 9 = 1 的两个焦点，过 F1的直线 交椭圆于 A、B 两点若|F2A|+ IF2B 匸 12,则|AB|=ca2 + b2 ,e= a= a = 4. （2011 全国）已知抛物 C： y2 = 4x 的焦点为 F, 直线 y= 2x 4 与 C 交于 A, B

6、 两点，贝 U cos/ AFB =( ). 2X 5 解析 由题意知(AFi|+ AF2|)+ (|BF1|+ |BF2|)= AB|+ AF2| + |BF2= 2a+ 2a,又由 可得 AB|+ (|BF2|+ AF2|)= 20,即 |AB 匸 8. 答案 7. (2012 东北三校联考)已知双曲线方程是 X2 2 二 1,过定点 P(2,1)作直线交双 曲线于 Pi, P2两点，并使 P(2,1)为 P1P2的中点，则此直线方程是 _ . 2 y1 2 y2 厂八八 解析 设点 p p1(X1,y1),P2(X2,y2),则由 X1 = 1,血一2 = 1,得 k = X2X1 =

7、y2 + y1 2X 4 二T 二 4,从而所求方程为 4X y 7 二 0将此直线方程与双曲线方程联立得 14X2 56X+ 51 = 0, A 0,故此直线满足条件. 答案 4X y 7= 0 8. (2011 河南洛阳、安阳统考)已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点为 F(0, 1)，直线 I 与抛物线 C 相交于 A, B 两点.若 AB 的中点为(2, 2),则直线 I 的方程为 _ . 2 解析 由题意知，抛物线的方程为X = 4y,设 A(X1, y1), B(X2, y2)，且 X1工 X2, X1= 4y1, 2 两式相减得 X1 X2= 4(y1 y2), y1 y2 X

8、1 + X2 1 X1 X2= 4 = ， 直线 I 的方程为 y+ 2= (X 2),即 y= X. 答案 X+ y= 0 、解答题(共 23 分) 9. ( )(11 分)设 F1, F2分别是椭圆 E： X2+ b2= 1(0v bv 1)的左，右焦点，过 F1 的y2 y1 2 X2 + X1 直线 I 与 E 相交于 A, B 两点，且 AF2|, AB|, BF2成等差数列. (1)求 AB|； (2)若直线 I 的斜率为 1,求 b 的值. 思路分析 第(1)问由椭圆定义可求；第(2)问将直线 I 与椭圆联立方程组，利用 弦长公式求解. 解 (1)由椭圆定义知|AF2|+ AB|

9、+ |BF2|= 4, 4 又 2AB= |AF21+ |BF2|,得 AB=3. (2)l 的方程为 y=x+ c, 其中 c= 1- b2. y=x+ c, J 2 设 A(x1, y1), B(x2, y2)，则 A, B 两点坐标满足方程组 2也“ 化简得(1 lx +b2= 1, + b2)x2 + 2cx+ 1-2b2= 0. 2 2c 1 2b 则 X1 + X2= 1 + b2, X1X2= 1 + b2 因为直线 AB 的斜率为 1 , 4 所以 |AB|= 2x2 X1|,即 3 二 2x2 X1|. 8 4(1 b2)4(1 2b2) 8b4 返 则 9= (X1 + X

10、2)2 4x1X2= 1 + b2 2 1 + b2 = 1 + b2 2，解得 b= 2 【点评】解决直线与圆锥曲线的问题时，用到最多的是方程思想，即列方程组、 通过判别式、根与系数的关系来研究方程解的情况，进一步研究直线与圆锥曲线 的关系，同时处理范围与最值问题时也要用到函数思想 10. (12 分)(2011 陕西)设椭圆 C: (1)求 C 的方程； 4 求过点(3,0)且斜率为 5 的直线被 16 解(1)将(0,4)代入 C 的方程得 R = 1,二 b= 4, c 3 a2 b2 9 16 9 又 e e= a= 5 得 a2 = 25, 即卩 1 1 a2 = 25,- a a

11、 = 5 5, 2 2 C 的方程为 25+ 16= 1. x_ y2 3 a2+ b2= 1(a b 0)过点(0,4)，离心率为 5. C 所截线段的中点坐标. 4 4 (2)过点(3,0)且斜率为 5 的直线方程为 y=5(x3), 设直线与 C 的交点为 A(xi, yi), B(X2, y2), 4 将直线方程 y=5(x 3)代入 C 的方程，得 x2 x 32 2 25+ 25 = 1,即 x 一 3x 一 8= 0. 4 4 12 xi + x = 3, yi + y2 = 5(x1 + x2 6) = 5(3 6)= 5 . x + xz 3 yi + y2 6 - 2 =

12、2, 2 = 5. i3 6、 即中点为 2, 5 . B 级综合创新备选 (时间：30 分钟 满分：40 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 10 分) 2 X 2 1. ()直线 y= kx+ 1,当 k 变化时，此直线被椭圆4 + y2= 1 截得的最大弦长是 () A 4 B. 3 C. 2 D 不能确定 2 b0） 的左顶点 A 且斜率为 1 的直线与椭 圆的另一个交点为 M，与 y 轴的交点为 B,若|AM|= |MB|，则该椭圆的离心率为 解析 由题意知 A 点的坐标为（a,0）, l 的方程为 y= x+ a,/B 点的坐标为（0, 2 2 x y_ 一 4. （2012 金

13、华模拟）已知曲线 a b = 1（a 0,且 ab）与直线 x+y- 1 = 0 相交 T T 1 1 于 P、Q 两点，且 OPOQ= 0（0 为原点），则 a b 的值为 _ - 2 2 4 4 a）,故 M 点的坐标为 答案 3 a- 2 a-2, 代入椭圆方程得 a2= 3b2, c2二 2，0 于. 3 2 2 x y 2 解析 将 y= 1 x 代入 a - b = 1，得(b a)x + 2ax (a+ ab) = 0.设 P(xi ,yi),Q(x2, 2xi X2 (X1 + X2) + 1. 2a+ 2ab 2a 所以 a b a b + 1 = 0,即 2a+ 2ab 2

14、a + a b= 0, 1 1 即 b a= 2ab,所以 a b= 2. 答案 2 三、解答题(共 22 分) 5. (10 分)(2012 株洲模拟)已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点在 x 轴上， ABC的三个顶点都在抛物线上，且厶 ABC 的重心为抛物线的焦点，若 BC 所在直 线 I 的方程为 4x+ y 20= 0. (1) 求抛物线 C 的方程； (2) 若 O 是坐标原点，P, Q 是抛物线 C 上的两动点，且满足 PO 丄 OQ,证明： 直线 PQ 过定点. (1)解 设抛物线 C 的方程为 y2 = 2mx, 4x+ y 20= 0, 由 y2= 2mx, 得 2y2

15、+ my 20m = 0, / A0,. . m0 或 mv 160. m 设 B(xi, yi), C(X2, y2),贝U yi + y? = 2 , r yTi 曲 m -xi + X2 = 5 4 + 5 4 = 10+ 8. 再设 A(X3, y3),由于 ABC 的重心为 F 2，0 , Um X3= 8 10, 解得 m 2a y2)，贝 U xi + X2 二 ， Xix2 = a+ ab a b . OP OQ =X1X2+ yiy2= xix2 + (1 xi)(1 X2)= 匸 X1 + X2 + X3 m = ， yi + y2 + y =0, 3 y3= 2. 11m

16、 =2m 8 - 10 . m= 8,抛物线 C 的方程为 y2 = 16x. (2)证明 当 PQ 的斜率存在时，设 PQ 的方程为 y= kx+ b,显然 0, 0, T PO 丄 0Q,. kpokoQ= 1,设 P(xp, yp), Q(XQ, yo),A XPXQ + ypyo = 0, 将直线 y= kx+ b 代入抛物线方程，得 ky2 16y+ 16b= 0, 2 2 , 2 16b ypyQ b 二 ypyQ= k 从而 XPXQ= 162 = k2, 2 b 迤 k2+ V 二 0, T kM0, bM0, 直线 pQ 的方程为 y= kx 16k, pQ 过点(16,0)

17、； 当 pQ 的斜率不存在时，显然 PQ 丄X轴，又 PO 丄 OQ, y= |X|, POQ 为等腰三角形，由:y2= 16X, 得 P(16,16), Q(16, 16),此时直线 PQ 过点(16,0), 直线 PQ 恒过定点(16,0). 6. (12 分)(2011 福建)已知直线 I: y= X+ m, m R, (1) 若以点 M(2,0)为圆心的圆与直线 I 相切于点 P,且点 P 在 y 轴上，求该圆的方 程； (2) 若直线 l 关于 X 轴对称的直线为 I,问直线 I与抛物线 C：x2二 4y 是否相切？ 说明理由. 解 法一 (1)依题意，点 P 的坐标为(0, m). 0 m 因为 MP 丄 l，所以越X 1 二一 1, 解得 m= 2,即点 P 的坐标为(0,2). 从而圆的半径 r = |MP 匸 2 0 2+ 0 2 2= 2 .2, 故所求圆的方程为(X 2)2 + y2 = 8. (2)因为直线 l 的方程为 y= X+ m, 所以直线 l的方程为 y= X m, y= Xm, 由 x2= 4y 得 X2 + 4X+ 4m= 0. T点 A 在抛物线上，二 =