多元函数的概念、极限与连续

1、17-2 多元函数的概念、多元函数的概念、 极限和连续极限和连续 21.柱面柱面:复复 习习1 222222 czbyax2. 椭球面椭球面3. 椭圆锥面椭圆锥面 22222xyzab4. 椭圆抛物面椭圆抛物面2222xyzab5. 双曲抛物面双曲抛物面 2222xyzab3第二节多元函数的概念、极限和连续 第七七章 一、平面区域一、平面区域 二、多元函数的概念二、多元函数的概念 三、二元函数的极限三、二元函数的极限四、二元函数的连续性四、二元函数的连续性 4一、平面区域一、平面区域1.1.平面点集平面点集: :坐标平面上具有某种性质坐标平面上具有某种性质 P 的点的集合的点的集合, ,称为平

2、面点集称为平面点集. .如：如： ( , ) ( , )Ex yx yP 记记作作：具具有有性性质质 221( , )14Ex yxy 2( , )0,0Ex y xy oxyoxy425),(0 PU |0PPP.)()(| ),(2020 yyxxyx：0P),(000yxP ),(000yxP 0P ),(0 PU： xyo 0P几何意义：几何意义：0(, )U P 表示表示xoy面上以面上以),(000yxP 不包括圆周上的点不包括圆周上的点.60Pxyo 0P00(, ),U P 记记作作：00(, )U P 则则：.)()(0),( 2020 yyxxyx 00|PPP 注意注意:

3、 (1)如果不强调邻域的半径如果不强调邻域的半径,0()U p则则用用表表示示, ,00()U p去去心心邻邻域域用用表表示示. .0(2) (, )U p 在在圆圆平平面面上上表表示示形形邻邻域域. . 0(, )( , ) U Px y 2200()()xxyy 即即0(, )U p 在在空空间间表表示示球球形形邻邻域域： ,0()( , , ) U Px y z 222000()()()xxyyzz 7在讨论实际问题中也常使用方邻域在讨论实际问题中也常使用方邻域, ,平面上的方邻域为平面上的方邻域为。0P因为方邻域与圆因为方邻域与圆邻域可以互相包含邻域可以互相包含. . 0U( ,)(

4、, ) Px y 0,x x 0y y 83. 内点和开集内点和开集设有点集设有点集 E 及一点及一点 P : 若存在点若存在点 P 的某邻域的某邻域 U(P) E ,E则称则称 P 为为 E 的的内点；内点；pp 若存在点若存在点 P 的某邻域的某邻域 U(P) E = ,则称则称 P 为为 E 的的外点外点 ; 若点集若点集 E 的点都是的点都是内点，内点，则称则称 E 为为开集；开集；41),(221 yxyxE94. 边界点与边界边界点与边界设有点集设有点集 E 及一点及一点 P : 若对点若对点 P 的任一邻域的任一邻域 U(P) 既含既含 E中的内点也含中的内点也含 EE则称则称

5、P 为为 E 的的边界点边界点 .的外点的外点 ,显然显然, E 的内点必属于的内点必属于 E , E 的外点必不属于的外点必不属于 E , E 的的边界点可能属于边界点可能属于 E, 也可能不属于也可能不属于 E . p E 的边界点的全体称为的边界点的全体称为 E 的的边界边界, 记作记作 E ;10D5. 开区域及闭区域开区域及闭区域 若集若集 D 中任意两点都可用一完全属于中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连的折线相连 , 开区域连同它的边界一起称为开区域连同它的边界一起称为闭区域闭区域.则称则称 D 是是连通的连通的 ; 连通的开集称为连通的开集称为开区域开区域 ,简称简称区域

6、区域 ;。 。例如，在平面上例如，在平面上开区域开区域 xyo ( , )0 x yxy 22( , ) 14x yxy xyo2111闭区域闭区域 xyoxyo21 ( , )0 x yxy 22( , ) 14x yxy 点集点集 是开集，是开集， 整个平面整个平面 是最大的开区域是最大的开区域 , 也是最大的闭区域；也是最大的闭区域；但非开区域但非开区域 .11oxy ( , )1x yx 12 对区域对区域 D , 若存在正数若存在正数 K , 使一切点使一切点 P D 与某定点与某定点 A 的距离的距离 AP K , 则称则称 D 为为有界区域有界区域 , 无无界区域界区域 .否则称

7、为否则称为6. 有界区域及无界区域有界区域及无界区域例如：例如：.41| ),(22 yxyxxyo0| ),( yxyxxyo137. n 维空间维空间n 元有序数组元有序数组的全体称为的全体称为 n 维空间维空间,L12(,)nx xx(1) n维空间的维空间的记号记号为为;nRKRR RRn KK12(,)R,1,2,nkx xxxkn n 维空间中的每一个元素维空间中的每一个元素称为空间中的称为空间中的称为该点的第称为该点的第 k 个个坐标坐标 .一个一个点点, 当所有坐标当所有坐标称该元素为称该元素为 nR中的零元中的零元,记作记作O . K12(,)nx xxkx数数0kx 时时，

8、(2) n维空间中维空间中两点间距离公式两点间距离公式 K12R( ,)nnxx xx 中中的的点点K12( ,)nyy yy 与与点点的的距离距离记作记作( , ),x yxy 或或规定为规定为 14(2) n维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式 ),(21nxxxP),(21nyyyQ设两点为设两点为2221122( , )()()()nnx yx yxyxyxy = =KK2221122|()()()nnPQxyxyxy 与零元与零元 O 的距离为的距离为K12R(,)nnxx xx 中中的的点点K22212nxxxx 特殊地当特殊地当 时，便为数轴、平面、时，便为数轴、平面、空

9、间两点间的距离空间两点间的距离3, 2, 1 n注注: n维空间中邻域、区域等概念维空间中邻域、区域等概念也可类似定义也可类似定义15二、多元函数的概念二、多元函数的概念 1.定义定义 设设D是平面上的一个点集，是平面上的一个点集， 如果对于每个点如果对于每个点，DyxP ),(变量变量z按照一定的对应法则总有确定的值按照一定的对应法则总有确定的值和它对应，和它对应，则称则称z是变量是变量yx、的的二元函数，二元函数，类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数D称为定义域称为定义域. 函数值记为：函数值记为：),(,00),(0000yxfzzyxyyxx .1)sin(2y

10、xyz )1 ,2( z记为：记为：),(yxfz （或记为（或记为 ）.)(Pfz 如如则则当当2 n时，时，n元函数统称为多元函数元函数统称为多元函数. 211)12sin( . 21 16 013222yxyx 22242yxyx222)3arcsin(),(yxyxyxf xoy., 42| ),(222yxyxyxD 17114 . 12222 yxyxz) 2ln( . 2 yxyxz 04 : . 122 yxD0122 yx 4122 yx0 . 2 yxD：02 yx xy 2 xyoyx2 y=x+2 y=x -2xyo12.41: ),(22 yxyx.2,: ),( x

11、yxyyx183.二元函数几何意义二元函数几何意义 一元函数的图象是平面上的曲线一元函数的图象是平面上的曲线,二元函数的图二元函数的图形则是三维空间的曲面形则是三维空间的曲面.如二元函数如二元函数 的图形就的图形就是抛物面是抛物面,因此因此,二元函数在几何上表示三维空间的二元函数在几何上表示三维空间的一张曲面一张曲面.22yxz oxyzSD),(yxfz 192222azyx .),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 22yxz xyzoxyzo20三、将平面区域表示为不等式三、将平面区域表示为不等式-平行线穿越法平行线穿越法1.如果平面区域为：如果平面区域为：)(2xy

12、 abD)(1xy oDba)(2xy )(1xy o, bxa ).()(21xyx X型区域的特点型区域的特点：区域边界相交不多于区域边界相交不多于两个两个交点交点.穿过区域穿过区域且且平行于平行于y轴的直线轴的直线与与其中函数其中函数 、 在区间在区间a,b上上连续连续.)(1x )(2x X型型212.如果区域为：如果区域为：)(2yx )(1yx Dcdocd)(2yx )(1yx Do, dyc ).()(21yxy Y型型Y型区域的特点型区域的特点：区域边界相交区域边界相交不多于两个交点不多于两个交点.穿过区域穿过区域且且平行于平行于x轴的直线轴的直线与与想得到想得到X-型区域型

13、区域时，时， 就就把区域投影在把区域投影在x轴轴上；上；想得到想得到Y-型区域型区域时，时， 就就把区域投影在把区域投影在y轴轴上上.一般地一般地:称这种判断区域类型的方法为：称这种判断区域类型的方法为：平行线穿越法平行线穿越法22, bxa dyc ，321DDDD 1D3D2D321DDD、xoyDcadb23例例3 .用不等式组表示平面区域用不等式组表示平面区域D，其中，其中2:(1)1,2,2.Dyxxyx 围围成成解解oxy作图，作图，:D则则212.21xyxx 122(2)1,(1) ,1.yx yxy 围围成成21yx 2xy 2x 24例例4 .用不等式组表示平面区域用不等式

14、组表示平面区域D，其中，其中2:(2)1,(1) ,1.Dyx yxy 围围成成oxy1yx 2(1)yx 1y 解解作图作图:D则则01.11yyxy 反过来反过来,给出平面区域给出平面区域D,会作出图形会作出图形.2522: 24-,Dxxyx 作出作出D的图形的图形.解解22,0yxxx 24-yx 0.y oxy22(1)1,xy ( , )sin ,(4,)(,).2f x yxyff xy xy 求求、解解(4,)2f 4sin2 2，(,)f xy xy ()sin().xyxy 224xy 263(1)( ).zyfxyzxf xz 并并且且1 1时时, , ,求求及及解解3(

15、1):yzxzyfx 将将1 1时时, ,代代入入得得3(1)1,fxx 31,xt 令令3(1) ,xt 3( )(1)1f tt 3233 ,ttt ( )f x 3233 ,xxx 3(1)1,fxx 又又3(1)zyfx 1.yx 27小结小结1.平面点集、平面点集、n维空间相关概念维空间相关概念邻域邻域0(, )U P .)()(| ),(2020 yyxxyx2.二元函数的概念二元函数的概念 3.会求函数的定义域及函数值会求函数的定义域及函数值.4.会用不等式组表示平面区域会用不等式组表示平面区域.5.得到得到X-型区域、型区域、 Y-型区域的型区域的一般方法：一般方法：(1)想得到想得到X-型区域型区域时，时，就就把区域投影在把区域投影在x轴轴上；上；(2)想得到想得到Y-型区域型区域时，时，就就把区域投影在把区域投影在y轴轴上上.286.判断区域类型的方法是：判断区域类型的方法是：将将D投影到投影到x轴上，轴上，若投影区间为若投影区间为a,b,则则; bxa 用一组用一组平行于平行于y轴轴且且与与y轴同方向的直线轴同方向的直线穿越穿越D， 入口入口线线