交流电路的复数解法-2013

1、 一、交流电路的复数解法一、交流电路的复数解法 矢量图解法比较直观，运算简单。但在一些复矢量图解法比较直观，运算简单。但在一些复杂的电路中，特别是要用交流电路的基尔霍夫方程杂的电路中，特别是要用交流电路的基尔霍夫方程组才能解决的复杂电路，矢量图往往无法预先画出，组才能解决的复杂电路，矢量图往往无法预先画出，采用矢量图解法就甚感困难。这里我们介绍另一种采用矢量图解法就甚感困难。这里我们介绍另一种普遍性计算方法，即借助复数理论讨论简谐交流电普遍性计算方法，即借助复数理论讨论简谐交流电路，这种方法称复数解法。路，这种方法称复数解法。用复数表示，交流电路用复数表示，交流电路的各种公式都写成和直流电路十

2、分相似的形式的各种公式都写成和直流电路十分相似的形式，这，这是复数解法的一个很大优点。是复数解法的一个很大优点。复数复数复数的实部、虚部和模复数的实部、虚部和模 虚单位，数学上用虚单位，数学上用i i来代表它，因为在电工中来代表它，因为在电工中i i代表电流，所代表电流，所以改用以改用j j代表虚单位，即代表虚单位，即1j有向线段的复数表示有向线段的复数表示 如图如图4.54.5所示，有向线段所示，有向线段A A可用下面的复数可用下面的复数表示为表示为 A A= =a a+j+jb b 由图可见由图可见， 22bar 表示复数的大小，称为复数的模。有向线表示复数的大小，称为复数的模。有向线段与

3、实轴正方向间的夹角，称为复数的幅角，段与实轴正方向间的夹角，称为复数的幅角，用用 表示，规定幅角的绝对值小于表示，规定幅角的绝对值小于 。r180复数的直角坐标式复数的直角坐标式 ：)sin(cossincosjrjrrjbaAjreA 复数的指数形式复数的指数形式 ： 一、简谐量的复数表示法及一些重要概念一、简谐量的复数表示法及一些重要概念 复数法的基本原则是把所有的简谐量都用复数法的基本原则是把所有的简谐量都用对应的复数来表示。对应的复数来表示。 umtUtucosutjmeUU imtIticositjmeIIUI 同一段电路上的同一段电路上的 和和 的比值：的比值： UIjjmmtjm

4、tjmZeeIUeIeUIUiuiu 称为复电压，称为复电压， 称为复电流称为复电流 它是一个复数它是一个复数, ,它的模等于这段电路的阻抗它的模等于这段电路的阻抗 mmIUZ 它的辐角为它的辐角为 iu我们把这个复数记作我们把这个复数记作 ，即，即 ZjZeZ 复数复数 完全概括了这段电路本身的两个方面基本完全概括了这段电路本身的两个方面基本性质性质阻抗和位相差阻抗和位相差，它叫做这段电路的，它叫做这段电路的，知道了复阻抗，这段电路的性质就完全清楚了。知道了复阻抗，这段电路的性质就完全清楚了。 Z由上面可得：由上面可得： 或或 ZIU ZIU 该公式同直流电路的欧姆定律具有完全相同的该公式同

5、直流电路的欧姆定律具有完全相同的形式，可见引入复阻抗的概念是大有好处的。形式，可见引入复阻抗的概念是大有好处的。纯元件的复阻抗纯元件的复阻抗（1 1）电阻元件：）电阻元件：RZRZRR , 0,（2 2）电容元件：）电容元件：cjcjeCZCZjCC112,12（3 3）电感元件：）电感元件： LjLeZLZjLL22,上述结果表明：上述结果表明： 为正实数；为正实数； 为负虚数；为负虚数； 为为正虚数。正虚数。RZCZLZ 二、串联、并联电路的复数解法二、串联、并联电路的复数解法 1 1、串联电路、串联电路 （瞬时值关系）（瞬时值关系） tututu21 用相应的复电压来代替它们，则有用相应

6、的复电压来代替它们，则有 21UUU 设各段的复阻抗为设各段的复阻抗为 、 ，整个电路的复阻抗，整个电路的复阻抗为为 1Z2ZZ111ZIU 222ZIU ZIU 因为复电流因为复电流 是共同的，代入消去是共同的，代入消去 II21ZZZ 2 2、并联电路、并联电路 tititi21（瞬时值关系）（瞬时值关系） 用相应的复电流来代替它们，则有用相应的复电流来代替它们，则有: : 21III 设各分支的复阻抗为设各分支的复阻抗为 、 , ,整个电路的整个电路的 复阻抗为复阻抗为 1Z2ZZZUIZUIZUI 2211 因为复电压因为复电压 是共同的，代入消去是共同的，代入消去 UUZZZ2111

7、1交流串、并联电路交流串、并联电路 用复数法计算简单电路时，电路的电压、电用复数法计算简单电路时，电路的电压、电流关系与直流电路一样流关系与直流电路一样 n串联电路串联电路 21212121,ZZZZIZIZIUUUIIIZZZIIIUUU111,212121n并联电路并联电路 例题：求例题：求R R、L L、C C串并联电路的总阻抗串并联电路的总阻抗和相位差和相位差LjRCRjLCCjLjRZZZCLR211111 先算先算L L、R R 串联电路串联电路的复阻抗的复阻抗Z ZLRLR LjRZZZRLLRn再算总电再算总电路复阻抗路复阻抗 CRjLCLjRZ21n复阻抗复阻抗 RLRCLt

8、gLCCRRLLCCRRLtg)(111221221求阻抗和幅角求阻抗和幅角 用三角恒等式用三角恒等式 )(212212122111 jjjeZZeZeZZZCRjLCLjRZ利用复数运算规则利用复数运算规则222222)()1 ()(1CRLCLRCRjLCLjRZZ模模LCCRtgRLtg211211 幅幅角角xyyxtgytgxtg1111当电容当电容C C、电感、电感L L两类元件同时出现在一个电路中两类元件同时出现在一个电路中时，就会发生一种新现象时，就会发生一种新现象。通常就把这。通常就把这种电路叫做谐振电路，它在实际中有重要的应用。种电路叫做谐振电路，它在实际中有重要的应用。谐振

9、电路主要有串联谐振和并联谐振两种。谐振电路主要有串联谐振和并联谐振两种。R RL LC C音频信号发生器音频信号发生器谐振电路谐振电路R RL LC C音频信号发生器音频信号发生器在维持电压不变的情况下，若从在维持电压不变的情况下，若从低到高地改变音频讯号发生器的低到高地改变音频讯号发生器的频率频率 f 就会看到，小灯的亮度开始就会看到，小灯的亮度开始由小变大，到某个频率由小变大，到某个频率 f0 后发生后发生转折，又由大变小。这表示，转折，又由大变小。这表示，LCR电路中的电流电路中的电流 I 随频率不是随频率不是单调变化的，而是在单调变化的，而是在f=f0处有极大处有极大值值IM，或者说电

10、路的总阻抗，或者说电路的总阻抗Z在此在此时有个极小值时有个极小值Zm。这种现象叫做。这种现象叫做。 f0称为称为。2222)1()( CLRIUUUUCIIZULIIZUIRIZUCLRCCLLRRRCLUUURCL1tgtg1 -1 - )1(IU Z22CLRZ CLRIUZ 221)(0I/I02201)(CLRUI00RCL/1arctan根据以上结果，我们来分析串联谐振电路的主要特征：根据以上结果，我们来分析串联谐振电路的主要特征：1、谐振频率、谐振频率 发生谐振时，电路里的等效阻抗最小，电流最大。发生谐振时，电路里的等效阻抗最小，电流最大。00LC21 11ffLCCL或式中的式中

11、的0和和 f0 是由电路的是由电路的L、C值决定的。当外来交值决定的。当外来交流电的频率流电的频率 f 与电路的固有频率与电路的固有频率 f0 相同时，就会发生相同时，就会发生谐振现象。谐振现象。2、位相关系、位相关系 对于给定的对于给定的L、C、R，当改变交流电的频率，当改变交流电的频率 f 时，时，电路将表现出不同的性质，如下图所示：电路将表现出不同的性质，如下图所示：O Of0f22电感性电感性电容性电容性RCL/1arctan总电压与总电压与总电流的总电流的相位差相位差3、L及及C上的电压分配上的电压分配 当电路发生谐振时，在当电路发生谐振时，在L和和C上的电压大小相等，方上的电压大小

12、相等，方向相反，从整体上说它们的作用互相抵消，但它们的单向相反，从整体上说它们的作用互相抵消，但它们的单独作用却不能忽视。设电路的总电压为独作用却不能忽视。设电路的总电压为U，则，则.Q, CRRLQ QUURLUCRZIUQUURLZIURUICCLL值值称称为为式式中中0000011maxmaxmax, 由于由于R R0 0L L，Q Q值可以很大，可达几值可以很大，可达几十乃至几百。因此就出现了十乃至几百。因此就出现了分电压比总电压分电压比总电压大得多的现象大得多的现象，这种现象只能出现在，这种现象只能出现在LCRLCR串联串联电路之中，所以串联谐振又称为电路之中，所以串联谐振又称为。

13、使串联谐振电路产生谐振有两种途径：使串联谐振电路产生谐振有两种途径：一种是改变电源的一种是改变电源的频率频率，使其与电路的固有，使其与电路的固有频率相等；另一种是改变电路中的电感或电频率相等；另一种是改变电路中的电感或电容的数值，即改变电路的固有频率，使其与容的数值，即改变电路的固有频率，使其与电源频率相等。改变电感或电容使电路产生电源频率相等。改变电感或电容使电路产生谐振的过程，称为谐振的过程，称为调谐调谐。在收音机中就是利。在收音机中就是利用调节可变电容来调谐的。用调节可变电容来调谐的。Q值的意义值的意义 Q值是标志谐振电路性能好坏的一个纯值是标志谐振电路性能好坏的一个纯数，因此数，因此Q

14、值又称为电路的值又称为电路的， 1、Q值反映了电压分配情况；值反映了电压分配情况； 2、Q值反映频率选择性的好坏；值反映频率选择性的好坏； 3、Q值反映电路中储能和耗能的情况。值反映电路中储能和耗能的情况。Q=10Q=100Q=0.1Q=1I/I02201)(CLRUI0 CRRLQ 001交流电的功率交流电的功率 交流电在某一元件或组合电路中瞬间消交流电在某一元件或组合电路中瞬间消耗的功率耗的功率p(t) 与直流电路中一样，也等于与直流电路中一样，也等于u(t)和和i(t)的乘积：的乘积： p(t)=u(t)i(t)。 与直流电路不同的是，无论与直流电路不同的是，无论u(t)、i(t)还还是

15、是p(t)都随时间变化。都随时间变化。一、交流电的功率一、交流电的功率 瞬时功率瞬时功率平均功率平均功率有功功率有功功率简称功率简称功率)()()(titutPtItiocos)()cos()(tUtuo设：设：)cos(cos)(ttIUtPoo电压与电流的相位差是电压与电流的相位差是cos)()(1UIdttituTPTo)2cos(costUIUI)2cos(21cos21tIUIUoooo有效值有效值)cos(cos)(ttIUtPoo)2cos(21cos21tIUIUoooosin2sincos.2cos)2cos(tttsincossin2cos).1cos2(2ttt)sins

16、incos.(coscos2costtt）tt cos(cos2cos)2cos(cos)(tUIUItP称复阻抗的实部称复阻抗的实部R R为有功电阻或电阻，为有功电阻或电阻，称复阻抗的虚部称复阻抗的虚部X X为电抗。为电抗。jXRjZZZsincos电压与电流的相位差是电压与电流的相位差是根椐阻抗的定义根椐阻抗的定义IUZ它是复阻抗的模它是复阻抗的模cos)()(1UIdttituTPToRIZIP22cos有功功率只与复阻抗有功功率只与复阻抗的实部有关。的实部有关。纯电容元件：纯电容元件： 纯电感和纯电容的有功电阻都为零，不消耗能量，纯电感和纯电容的有功电阻都为零，不消耗能量，只是不断地与

17、电源交换能量。实际电路中，电容器与只是不断地与电源交换能量。实际电路中，电容器与电感的介质损失，也有相当的等效有功电阻。电感的介质损失，也有相当的等效有功电阻。002CCPR纯电阻元件：纯电阻元件：RIUIPRRRR20002LLPR纯电感元件：纯电感元件：普遍情况普遍情况 任意一个与外界有二联接点的电路（称为任意一个与外界有二联接点的电路（称为），它两端的电压与其中电流之间的位相差），它两端的电压与其中电流之间的位相差 .I0 ,cos : 1,cos0 ,2RPUIP这时用有效值表示任意值之间的到可以取22 UI/IIcos定义：IU,为电压、电流的有效值。为电压、电流的有效值。/cosU

18、IUIPII ,/称为有功电流和无功电流称为有功电流和无功电流二、功率因数二、功率因数视在功率视在功率UIS 实际的输出功率与用电器的功率因数密切相关。实际的输出功率与用电器的功率因数密切相关。如电动机、日光灯都是感性的，可用并联电容的方法如电动机、日光灯都是感性的，可用并联电容的方法来提高其功率因数。来提高其功率因数。应尽量设法消除无功电流在输电线上的消耗，提高功率因数。应尽量设法消除无功电流在输电线上的消耗，提高功率因数。（设备上所示的容量，即最大输出功率）（设备上所示的容量，即最大输出功率）额定电压、电流值额定电压、电流值提高功率因数的意义和方法提高功率因数的意义和方法 在电力系统中，由于输电线路有电阻，不可避免在电力系统中，由于输电线路有电阻，不可避免造成功率和电压这两个方面的损失。为了减小这两种造成功率和电压这两个