几种典型带电体的场强和电势公式.

1、几种电荷分布所产生的场强和电势1、均匀分布的球面电荷（球面半径为R，带电量为 q）E (r )41qr（球面外，即r）电场强度矢量：0r 3 ,RE(r )0。 （球面内，即）r RU r41q，（球外）电势分布为：0r1qU r。 （球内）4R02、均匀分布的球体电荷（球体的半径为R,带电量为 q）E(r )1qr，（球体内，即r）R3R电场强度矢量：4 01qrE( r )。（球体外，即r）4r 3R0U r41q， （rR 即球外）电势分布为：0r1q 3R2r2U rR即球内）8R3。 （ r03、均匀分布的无限大平面电荷（电荷面密度为 ）电场强度矢量： E( x)(i )（平板两侧的

2、场强与距离无关。）20电势分布为：U rr0 r其中假设 r0 处为零电势参考点。若选取原点（即带20电平面）为零电势参考点。即U 00。那么其余处的电势表达式为：U xxx02 0U xxx02 04、均匀分布的无限长圆柱柱面电荷（圆柱面的半径为 R，单位长度的带电量为 。）E(r )r，（rR,即在柱面外）20 r 2电场强度矢量E(r )0。 （r，即在柱面内）RU rlnra, （rR 即柱体外）电势分布为：20rln raU r。 （rR 即柱体内）20R其中假设 r a 处为零电势参考点。 且 ra 处位于圆柱柱面外部。（即 ra >R）。若选取带电圆柱柱面处为零电势参考点。

3、 （即 U R0 ）。那么，其余各处的电势表达式为：U r 00r R即在圆柱面内U rlnrrR即在圆柱面外R205 、均匀分布的无限长带电圆柱体（体电荷密度为 、半径为 R。）E rr0rR圆柱体内电场强度矢量：2 02E rR 2rrR圆柱体外2 0 rU rr 20rR圆柱体内电势：40其中假R2R2RrR圆柱体外U r2lnr4 00设圆柱体轴线处为零电势参考点。即U r00 。6、均匀分布的带电圆环（带电量为q ；圆环的半径为 R 。）在其轴线上 x 处的电场强度和电势电场强度矢量：E x1qxx0 。其中x为轴线方向的单位340x2R 220矢量。讨论：（ a）当xR 或 x时E

4、 p ( x)q i。此时带电圆40 x 2环可视为点电荷进行处理。（b）当 xR 或 x0 时E p (0) 0 。即，带电圆环在其圆心处的电场强度为零。电势：U x1q。其中电势的零参考点位于无穷远处。4 0x2R212带电圆环在其圆心处的电势为：U ( x) x 0q。40 R7、均匀分布的带电直线（其中，线电荷密度 ，直线长为 l ）（1）在直线的延长线上，与直线的端点距离为d 的 P 点处：电场强度矢量：E pdli11i。40 d ldd40l dU p d4ln ld。0d（2）在直线的中垂线上，与直线的距离为d 的 Q点处：电场强度矢量为：EQ dlj2lj。d l 24d 2

5、40dl240d 22电势：2lld 222U Q dln22lnll4d。4l 240l2d 20l4d 2l22（3）在直线外的空间中任意点处：电场强度矢量：E rEx i E y j 。其中：Ex4Sin0E y4Cos02Sin 1。1Cos 2或者改写为另一种表示式:即 :E p ( r, z)Er r 0Ez k。其中：Err1140 ( zl ) r 2( zl )2r 2( zl )2( zl ) r 2(zl )2r 2(zl )2222222Ez114l )2l )20r 2( zr 2( z22zlr 2( zl ) 2电势：U p4ln22。ll ) 20zr 2( z

6、22（4）若带电直线为无限长时， 那么，与无限长带电直线的距离为d 的 P 点处：电场强度矢量：E p d20 dd 0或E p r20 r 2r。电势：U p dlnd 0或 U p rr0。其中假设d0 或（ r 0）2d2ln00r为电势的零参考点。（5）半无限长带电直线在其端点处： （端点与带电直线的垂直距离为d）电场强度矢量：EEx iEyj。 其中ExEy40 d。8、电偶极子 P 的电场强度和电势（1）在电偶极子的延长线上x 处：其中（ X >> l ）12P或 E r12P。电场强度矢量： E x0 x340 r 34电势：U x1P或U r1P。x24r2400（

7、 2）在电偶极子的中垂线上y 处：其中（ Y >> l）电场强度矢量：E y1P。40 y3电势：U y1qq。4r00r（3）在空间中任意点r 处：其中（ r >> l ）电场强度矢量：（采用平面极坐标系）E r12pCosr 0PSin0其大小为 EP3Cos21 ，40r 3r 34 0 r 2方向为arctg Etg 1Etg 11 tg。其中为 E 与 r 0 之间的夹角。ErEr2电势： U r1P Cos1P r。4o r 24 0r 3电场强度矢量的另一种表达式为：1?E0r 3pe 3 rpe r4式中： r?r 0为矢径 r 方向的单位矢量。上式电场

8、强度矢量的表达式就是将电场强度E 矢量分解在电偶极矩Pe 和矢径 r的方向上。可以证明：该表达式与电场强度的平面极坐标表达式是相等的。若采用二维笛卡尔坐标系（平面直角坐标系）：因为各物理量之间的关系为：r 2x2y 2，Cosxx。rx2y 2所以电势的表达式为：U r1Px。40 x2y232而电场强度的表达式为：EEx iE yj。其中：U1P 2x2y 2， E yU13Pxy。Ex55x40x2y22y40 x2y22其大小为： E221P 4x2y 2。ExE y4x 2y 220若采用三维笛卡尔坐标系（即三维直角坐标系）则有如下关系式：r 2x2y 2z2， Coszx2zz2。r

9、y 2那么，电势的表达式为：U r1P z。40x2y2z232而电场强度的表达式为：EE x iE yjEzk。其中：ExUP3 x z5；E yUP3 y z5;x 42222y 42220xyz0xyz2UP2z2x 2y2。Ez2225z40 xyz29、带电圆盘在其轴线上距离圆心为x 点处：电场强度矢量：E p ( x)1xi。x22 0R 2对上式结果进行讨论：（a）当 xR 或 x时 E p (x)4q2i 或 E p (r )q0r2 r 00 x4此时带电圆盘可视为点电荷进行处理。（b）当 xR或x0时 ，则E p ( x)i。2即此时带电圆盘可视为无限0大带电平板进行处理。电势：U p ( x)R2x2x。20带电圆盘在其圆