【土木建筑】钢结构稳定理论-2-PPT课件

1、1-小挠度理论欧拉临界力(弹性)2-大挠度理论屈曲后性能(弹性)3-有初弯曲时(弹性)4-有初偏心时(弹性)3-有初弯曲时(弹塑性)4-有初偏心时(弹塑性)1）理想轴压杆的欧拉临界力Euler critical load基本假设：v同一材料制成的等截面直杆，两端铰接；v荷载作用在截面形心上；v平截面假定，仅考虑弯曲变形（忽略剪切变形）；v材料为弹性；v构件变形非常微小（小挠度理论 ）。yyy/ 232)(1 1y 则力矩平衡方程为：yEIEIyPM 0 PyyEI 为二阶齐次常微分方程EIPkyky22 0 该微分方程的通解为：kxBkxAycossinA,B为待定系数，由边界条件确定kxAy

2、Byxsin , 0 000sin 0klAylx0 A否则方程的解为0，没有意义。0sin kllnkn 即2lnEIP由此可得临界力公式为：与之对应的挠曲线为：222lEInPcrnlxnAysinv参数kn或Pcrn在数学上称为固有值、本征值或特征值(eigenvalue)。v在参数取特征值时，方程有非0解，所以数学上也叫求解特征值问题。221lEIP2224lEIP2239lEIP轴向压力横向挠度最低的临界力即为欧拉临界力221lEIPPElxnAysin2）边界效应与计算长度的概念 (boundary conditions and effective length concept)（

3、求解两端为任意支承情况时的临界力）PQMBMAPQMAPQPQMxxyy任意一截面弯矩(对A点取矩)：AMQxyPMlMMQBA弯矩与曲率的关系AMQxPyyEI yEIM 则有二阶常系数微分方程：其中：则方程的通解为：DCxkxBkxAycossin其中A、B、C、D为四个由边界条件确定的待定系数。对通解求导，可得其各阶导数：kxBkkxAkykxBkkxAkyyCkxBkkxAkyysincos cossin sincos3322 各种支承情况的边界条件为： 铰支： 固支： 自由端：0 , 0 0 , 00 , 02ykyyyyyy剪力Q0，由前面的微分方程得：再求一次导数得：AMPyyE

4、I 0 2yky杆件两端各有两个边界条件，共四个，正好形成四个方程EIPk 其中v工况一：两端嵌固轴心压杆有：0 , 0 , 0 , 000lxlxxxyyyy00sincos0cossin00010010CklBkklAkDClklBklACBkAkDCBA001sincos1cossin0101010klkklklklklk为使关于A、B、C、D的齐次方程组有非0解，则其系数行列式应为0。0)2cos2sin2(2sin2klklklkl则：因此有：由第一式得：第二式为超越方程，需采用数值解法或图解法 在坐标系中分别画出曲线 和 ，其交点即为方程的解。22 02sinklkltgkl或22

5、min2224422lEIPlEInPEIPlnknklcrcrn2kltgy 2kly 取最小值得：22)2/(4634. 4 4934. 443. 12lEIPklcr结合上述两个方程的解，取小值，得两端嵌固杆的临界力为：224lEIPcrv工况二：一端铰接、一端嵌固的轴心压杆有：0 , 0 , 0 , 000lxlxxxyyyy0cos0sin0sincos0cossin01012CklAClklACklBkklAkDClklBklABkDBkltgklklklklklklkl0cossin01cossin采用图形曲线法得：lkkl43. 143. 122222)7 . 0()43. 1

6、/(43. 1 lEIlEIEIlPcrv工况三：一端嵌固、一端自由的轴心压杆有：0 , 0 0 , 0200lxlxlxxxykyyyy0cos00)sincos( sincos0cossin0020 , 023322klBkDBCklBkklAkkklBkklAkklBkklAkCAkDBCA0cos0cos00cos1122klklkklk)3 , 2 , 1( 212nnkl222)2(2) 12(lEI PEIln Pcrv工况四：一端嵌固、另一端侧向可动但不转动的轴心压杆有：0 , 00 , 0200lxlxlxxxykyyyy0sin00)sincos( sincos0sinco

7、s000 , 0233klBkDBCklBkklAkkklBkklAkCklBkklAkCAkDBCA0sin0sin00sin11klklkklk)3 , 2 , 1( nnkl222lEI PEIln Pcrv工况五：一端铰支、一端侧向可动但不转动的轴心压杆有：0 , 00 , 0200lxlxlxxxykyyyy220 , 0 , 0233)2(0cos0)sincos( sincos0sincos00lEIPklCklBkklAkkklBkklAkCklBkklAkBDBcrCDB注：从上述五种工况的结果可以看出，临界力Pcr可表达为：220202)( lEIPlllEIPcrcrl0

8、有效长度、或计算长度；l实际杆长；杆件计算长度系数。临界应力：其中：屈曲临界应力与长细比的关系：22202202202EilEAIlEAlEIAPcrcrilil0超过屈服点fy时以虚线表示1）大挠度方程基本假设：v同一材料制成的等截面两端铰接直杆；v荷载作用在截面形心上；v平截面假定，仅考虑弯曲变形；v材料为弹性；v构件曲率与变形的关系：因此大挠度方程为：232)(1 /yy 0)(1 232PyyyEI/ 与小挠度理论相同2）大挠度理论的解 应采用特殊的变换和数值解法才能求解。 （大多数非齐次微分方程都没有解析解） 可以得到大挠度理论轴心受压构件的荷载挠度曲线3）几点结论v当P比例极限p时

9、，欧拉公式不再适用。 因为前面推导时用到了 ，E为弹性模量，应该是不变的；而弹塑性阶段时模量将发生变化。v临界长细比（为弹性失稳和弹塑性失稳的分界点）若令：ppppcrEE22v轴心压杆弹塑性失稳的计算理论 切线模量理论，1889，Engesser. F, Et 双模量理论，1895，Engesser. F, EtErE Shanley理论，1946，Shanley. F. R, 广泛用于解决稳 定的分岔失稳问题，或板的非弹性屈曲。 Shanley证明：切线模量屈曲荷载是弹塑性屈曲荷载的下限，而双模量屈曲荷载为其上限。实际试验结果更接近于切线模量理论。2）切线模量理论 Tangent Modu

10、lus Theory, 1889年Engesser提出v基本假设基本假设构件是挺直的；构件两端铰接，荷载沿构件轴线作用；构件的弯曲变形很微小；弯曲前的平截面在弯曲后仍为平面；在弯曲时全截面没有出现反号应变。最后一条假设认为：达到弹塑性失稳荷载Pt后，构件微弯时荷载还略有增加，而且增加的平均轴向应力正好抵消因弯曲而在11截面右侧边缘产生的拉应力。即：凹面压应力增加为max； 凸面压应力增加量正好为0。作用于11截面上的压力为：hEEttmaxmax ttAtAPPPdAdAP)(作用于11截面上的内力矩为： 2max2max2maxyIEIEzdAChdAzhdAzhCzdAzMttAAAAi全

11、截面对形心轴的面积矩为0任意截面i上的内力（弯矩和轴力）对原点的平衡方程为：代入前面推导得到的轴力和弯矩，则求解微分方程，得：其中Pt和Et均为未知，需要迭代求解。0PyMPyMii0 PyIyEtEtttPEElIEP22tttPEP3）双模量理论 Double Modulus Theory, 1895年Engesser提出v补充基本假设上述假设最后一条变为： 弯曲时凹面产生正号应变，凸面产生负号应变； 即凹面为继续加载区，凸面为卸载区。v 加载区变形模量为Et（它与截面平均应力r相对应）； 卸载区变形模量为E 弯曲轴远离形心轴向移动v 在加载区距弯曲轴z1处：v在卸载区距弯曲轴z2处：1m

12、ax1max111max1111/CEECzttr2max2max222max2222/CEECzr212121PPPdAdAdAdAPrAAArAv 1-1截面上的压力：认为由上式可以求出中性轴的位置01121222max2111max12121AAAAdAzCdAzCdAdAPP )()(2121212221212222max21211max1222111212121yEIIEEIIEIEIEdAzEdAzEdAzCdAzCdAzdAzMtttAAtAAAAiv 1-1截面上的内力矩：任意截面i上的内力（弯矩和轴力）对原点的平衡方程为：代入前面推导得到的轴力和弯矩，则求解微分方程，得：其中

13、 为折算模量。0PyMPyMii0 )(21PyyEIIEtErrtrPEElIElEIIEP222212)(IEIIEEtr21注：若求 ,故需反复迭代计算；对于矩形截面 对于工字形截面腹板很薄时，绕强轴的Pt小于Pr，曾认为双模量理论更为完善，但研究表明Pt更接近试验结果。 原因是：非理想轴心压杆都存在微小缺陷，屈曲时弯曲凸面不出现反号应变。rrrtrPEEP2)(4ttrEEEEEttrEEEEE24）Shanley理论 1946年v使用由三部分组成的力学模型：两根l/2长的刚性杆和中间连接的弹塑性铰；v弹塑性变形全部集中在弹塑性铰处发生；v铰的应力应变关系为双折线；v铰模型如图，铰的弹

14、性模量为E，切线模量为Et，铰的肢长为h，肢距h，每肢面积为A/2；v当P达到临界时，由直杆变为微弯，引起铰的左右肢杆应变为1和2，两肢变形如图 ；v构件挠度为4)(22222112lhhhlldv铰链处外力矩：v铰链处内力矩：v若弯曲凹面和凸面的变形模量为E1和E2，则v所以内力矩4)(21lPdPMehPPhPhPMi221212/2/222111AEPAEP4)(2211EEAhMiv由内外力矩平衡，即相等得：v讨论如下：讨论如下：)( 212211aEElAhP当构件发生弹性屈曲时，E1E2E，则：当构件在弹塑性状态屈曲时，并采用切线模量理论时，E1E2Et，则lAhEPEEtttPE

15、ElAhEP与切线模量理论结果一致当构件在弹塑性状态屈曲时，并采用双模量理论时：E1Et，E2E。因为 则： 其中： 是Shanley模型的折算模量。经比较可知EtErE，因此PtPrPE；EEEPP2221121ErttEttrPEEEEEPEEEElAhP22与双模量理论结果一致ttrEEEEE2Shanley模型柱屈曲后性能研究。 前提是建立荷载P与挠度d之间的关系。 令： ,并利用前面的 代入(a)式得： (b) 下面想办法消去2。 考虑到模型达到Pt后荷载仍在继续增加，因此 (c)12EEld421由(b)(c)两式得：分析如下： d0时，P=Pt，这是分岔屈曲荷载。切线模量屈曲荷载

16、Pt是弹塑性屈曲荷载的下限。 d时， 由于 i. 说明双模量理论屈曲荷载为上限。rttEttPEEEPEEEP22 当d为有限值时，PtP0.8，对弱轴d曲线轧制，b/h0.8，对强轴轧制，对两主轴a曲线除a、c、d以外的其他截面情况b曲线c曲线yyyy焊接，轧制边，对y轴焊接，轧制边，t40，对强轴轧制，400.8焊接，板件宽厚比20,对两主轴焊接,轧制边，对两主轴轧制，t80，对强轴，b/h0.8235yf6）国外的柱子曲线(美国稳定协会、欧洲规范)1）格构式轴心压杆的种类2）剪力对临界力的影响和换算长细比概念v剪力的产生dxdyPdxdMQ失稳后，任意一点M=P y，则在垂直于挠曲线方向

17、存在剪力v杆件的整体横向变形y由两部分组成： 一部分是由弯矩M引起的yM； 另一部分是由剪力Q引起的yQ；即：QMyyy前面求解轴心受压构件的临界力只考虑了弯曲变形，这对于实腹式构件来说，由于剪应力很小，完全可以忽赂剪切应变能，以简化计算。但对于格构式柱，确定其绕虚轴的临界力时，由于缀材变形较大，就不能忽略剪力的影响。v剪力Q与剪切角dyQ/dx的关系： 剪切角：dxdyPQGAQkdxdyQ/1式中：k1剪力不均匀系数，随截面形式的不同而不同； 为单位剪力作用下的剪切角； G钢材剪切模量。GAk 11(a) 221221dxydPAGkdxyddxdyPAGkdxdyQQv由弯曲引起的曲率变

18、化为：(b) ,22EIPydxydPyyEIPyMMM 即v考虑剪切变形后的微分方程 将(a)(b)两式相加得：2212222)(dxydAGPkEIPyyydxddxydMQ或011122yAGPkEIPdxyd令AGPkEIPk1211则：得：则得临界力为：0 2yky21min)1 ()(lAGPkEIPlkklnkl2222222211)1 (lEIlEIlEIlEIPcrv临界应力222211lEIEAPcrcrv换算长细比讨论：根号下一项对一般实腹柱而言很小，可以忽略； 但对于格构柱影响很大，需要考虑，即需要考 虑单位剪切角的影响。222202222222011 )1 ()1 (

19、 EAlEIEAlEI即：令：3）双肢缀条柱（求解单位剪切角和0）v横杆cd的变形横杆cd的变形由两部分组成：斜杆ad伸长引起的平行四边形位移1；cd边受压引起的cd杆变形2 。一般=3050时，2可以忽略。斜杆ad所受拉力：斜杆ad几何长度：斜杆ad伸长：cosQsinasincosaEAQd所以横杆的变形为：sincoscos1sincoscos21ddEAaQaEAQv单位剪切角和0令Q1时，单位剪切角sincos12121dEAaa所以换算长细比为：sincos112220dEAEAsincos112220dEAEA当Ad、Ab较小时，0，即 这也是1907年魁北克大桥倒塌的原因(弦杆

20、缀条太弱)。当=3050时，sin cos2 0.36，则v讨论22202EEcrdAA27204）双肢缀板柱v剪力Q引起的位移单肢水平位移v柱肢的水平变形：一般缀板刚度要求大于柱肢刚度的6倍以上，所以b可以忽略。bccccEIQaaQEI48223133v单位剪切角cQEIaa242/21v换算长细比cEIaEA241222021202222222222220 )2/(1224241cccciaAIaIAaEIaEA其中 为单肢长细比。cia11）钢结构设计规范法v以构件极限荷载为准则的设计方法v允许部分截面发展塑性fffffAPRyycrRyycrRcr11其中 为轴心受压柱的稳定系数；

21、为钢材强度设计值（按厚度分为三组）； 为材料抗力分项系数(近似概率法,95保证率,1.087,1.111)ycrfRyffRv规范采用稳定名义应力的表达形式fAP且根据柱缺陷的不同，把柱子分为a、b、c、d四类，根据不同的稳定系数曲线加以确定。初始缺陷包括初弯曲（初偏心）和十四种不同模式的残余应力等。 O0.4abcd40801201602000.20.60.81.0焊接：t40,轧制边，对弱轴轧制：t80,b/h0.8，对弱轴d曲线轧制，b/h0.8，对强轴轧制，对两主轴a曲线除a、c、d以外的其他截面情况b曲线c曲线yyyy焊接，轧制边，对y轴焊接，轧制边，t40，对强轴轧制，400.8焊

22、接，板件宽厚比20,对两主轴焊接,轧制边，对两主轴轧制，t80，对强轴，b/h0.8235yf2）冷弯薄壁型钢规范法v采用边缘屈服的Perry公式；v取l/1000的初弯曲；v只有一条柱子曲线；v稳定系数由边缘纤维屈服时的平均应力与钢材屈服强度的比值确定：v构件稳定设计公式采用统一形式：yffAP肚松衯宸&愮鐝D)? $?d悡!餯怉 扈鋹A 嘬貑 d?噡1/2019骞寸15鏈?-CRM鍦氱敤.files/imgr_logo.gif 冣杁9/ERP鏂噡1/2019骞寸15鏈?-CRM鍦氱敤.files/logo.gif冟?A/ERP鏂噡1/2019骞寸15鏈?-CRM鍦敤.files/l

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24、9骞寸15鏈?-灏忕櫧榧犲拰ERP.files/ /ERP鏂噡1/2019骞寸15鏈?-灏忕櫧榧犲拰ERP.files/0830.gif 冪阇?/ERP鏂噡1/2019骞寸15鏈?-灏忕櫧榧犲拰ERP.files/biaoshi.gif 冭賏?;/ERP鏂噡1/2019骞寸15鏈?-灏忕櫧榧犲拰ERP.files/cio.gif冩?=/ERP鏂噡1/2019骞寸15鏈?-灏忕櫧榧犲拰ERP.files/email.gif 冩?A/ERP鏂噡1/2019骞寸15鏈?-灏忕櫧榧犲拰ERP.files/imgr_logo.gif冭聖杁/ERP鏂噡1/2019骞寸15鏈?-灏忕櫧榧犲拰ERP.file

25、s/logo.gif 冩碝?D/ERP鏂噡1/2019骞寸15鏈?-灏忕櫧榧犲拰ERP.files/logo_compute.gif 冭?疘:/ERP鏂噡1/2019骞寸17鏈?-鏂版湇鍔粡娴庢诞鐜?files/ F/ERP鏂噡1/2019骞寸17鏈?-鏂版湇鍔粡娴庢诞鐜?files/astd_oct.gif 冮烜?E/ERP鏂噡1/2019骞寸17鏈?-鏂版湇鍔粡娴庢诞鐜?files/biaoshi.gif 凅?C/ERP鏂噡1/2019骞寸17鏈?-鏂版湇鍔粡娴庢诞鐜?files/email.gif冮?G/ERP鏂噡1/2019骞寸17鏈?- 潕肚松衯?雎挥=?牓2d?h糖 =M 痞 ?(瘣滸?( h?棧哐锒$*?z 3蓚W 傯= %u旄 冏?塧 ?腦?U Z