解三角形专题 - （解析版）

第第页解三角形专题1.余弦定理知两边一角能求第三边（知三求三）a2＝b2＋c2－2bccos_A；b2＝c2＋a2－2cacos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C变形：知三边能求三角cos值（知三求三）cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)题型1已知两边及一角解三角形△ABC中，已知b＝1，a＝1，C＝120°，求c＝．已知△ABC中，A＝120°，b＝3，c＝5，则求a＝7.已知△ABC中，C＝120°，a＝3，c＝7，则求b＝5.题型2已知三边解三角形判定三角形的形状△ABC中，A,B,C对的边分别为a，b，c，a=4b=5c=6判定△ABC是锐角三角形、Rt△，还是钝角三角形大角对大边，最大角为C，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＞0∴△ABC为锐角三角形2.正弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R知三求三例1.A=60°，a=b=求B=45°例2.A=30°，a=1b=求B=60°或120°（思考）例1和例2几乎一样的条件，为什么一个构成了两个三角形，一个只能构成一个三角形？或者说，构成一个或多个三角形，需要满足什么样的条件？3.知识架构知三能求三，知二只能求范围知两边a+b＞ca-b＜c知两角相似三角形没有太大意义知一角一边知一角一临边：能不能构成三角形，能构成几个三角形（定角构圆）知一角一对边：另外两边相等时，周长和面积有最大值知一角一临边，有两解、一解、无解三种情况.①A为锐角时②A为直角或钝角时.知一角一对边：结论：另外两边相等时，周长和面积有最大值。（2020全国2卷）中，．（1）求；（2）若，求周长的最大值．（答案）（1）；（2）.（解析）（1）由正弦定理可得：，，，.法一：已知对角对边，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝，得,，B+C=60°的周长法二：由余弦定理得：，即.（当且仅当时取等号），，解得：（当且仅当时取等号），周长，周长的最大值为.例.在△ABC中，B＝60°，AC，则AB+2BC的最大值为．eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝，得,，A+C=120°AB+2BC重点题型已知对焦和对边，再加上面积条件，能求三角形周长，反之也成立。解题关键：1.面积求两边的乘积；2.余弦定理求两边的平方和例△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．求sinBsinC；若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．（1）由题设得，即.由正弦定理得.故.（2）由题设及（1）得，即.所以，故.由题设得，即.由余弦定理得，即，得.故的周长为.4.解题技巧一个式子没cos优先角化边有cos优先边化角三个未知角两角手牵手必换单身狗！几何图形，（两三角形或一个四边形的）直角=互余平角=互补还要注意运用特殊角/公共边知中线长（定比分点）用向量知角平分线长用等面积法知其他条件比如锐角三角形啥的当然这些还不够全，还需要学生自己积累充实例.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosCasinC﹣b﹣c＝0（1）求A；解：（式子中有cos，优先化角）（三个角都未知A和C手牵手在一起了，必换单身狗B！）换单约掉sinC∴

5.三角形面积公式S=====内接圆半径（系数2，二维，）多面体内接球半径（系数3，三维，）== ====△ABC中，△ABC中，△ABC中，△ABC中，△ABC中，△ABC中，△ABC中，∠BAC=60°，b=，中线AD=3，求c=3△ABC中，∠ACB=120°，b=5，中线CD=，求a=5（同上题）△ABC中，∠ABC=60°，a=3，D是边CD上靠近C的三等分点，BD=，求b=3（角平分线等面积法）△ABC中，∠BAC=120°，b=3，角平分线AD=1，求c=任意四边形ABCD面积练习题1.角平分线定理：△ABC中，AD为角平分线，求证解：设sin∠ADC=sin∠ADB=sinDsin∠CAD=sin∠BAD=sinα在△ABD中，在△ACD中，2.角平分线长：△ABC中，AD为角平分线，求证延长AC到E，使CE=CD，连接DE，则AE=AC+CD，∠E=，在AB边上取点F，使BF=BD，连接DF，则AF=AB－BD，∠BDF=∠BFD。则又于是，使得△AED∽△ADF，由角平分线定理得带入①得3.张角定理：在△ABC中，D是BC上的一点，连结AD。则有如果AD为∠BAC角平分线，则有∠BAC=120°时，

7.真题演练1.（2022年乙卷17）记的内角的对边分别为，已知．（1）证明：；（2）若，求的周长．【小问1详解】证明：因为，所以，所以，即，所以；【小问2详解】解：因为，由（1）得，由余弦定理可得，则，所以，故，所以，所以的周长为.2.（2021年新课标19）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.（1）证明：；（2）若，求.【详解】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理，得，因为，所以，即．又因，所以．（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理因为，如图，在中，，①在中，．②由①②得，整理得．又因为，所以，解得或，当时，（舍去）．当时，．所以．[方法二]：等面积法和三角形相似如图，已知，则，即，而，即，故有，从而．由，即，即，即，故，即，又，所以，则．[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合由（1）知，再由得．在中，由正弦定理得．又，所以，化简得．在中，由正弦定理知，又由，所以．在中，由余弦定理，得．故．[方法四]：构造辅助线利用相似的性质如图，作，交于点E，则．由，得．在中，．在中．因为，所以，整理得．又因为，所以，即或．下同解法1．[方法五]：平面向量基本定理因为，所以．以向量为基底，有．所以，即，又因为，所以．③由余弦定理得，所以④联立③④，得．所以或．下同解法1．3.（2022新高考Ⅱ卷）18．（12分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，以a，b，c为边长的三个正三角形的面积分别为，且．（1）求的面积；（2）若，求b．（1）（2）（1），（2）eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝4.（2022乙卷文）17．（12分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．（1）若，求C；（2）证明：（1）；（2）由可得，，再由正弦定理可得，，然后根据余弦定理可知，，化简得：，故原等式成立．5.（2021新高考Ⅱ卷）18．在中，角A，B，C所对的边长分别为．（1）若，求的面积；（2）是否存在正整数a，使得为钝角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【答案】当时，为钝角三角形．6.（2020全国Ⅰ卷文）18．（12分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.（1）若a=c，b=2，求的面积；（2）若sinA+sinC=，求C.（1）由题设及余弦定理得，解得（舍去），，从而.的面积为．（2）在中，，所以，故.而，所以，故.7.（2020全国Ⅱ卷文）17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，证明：△ABC是直角三角形．（1）由已知得，即．所以，．由于，故．（2）由正弦定理及已知条件可得．由（1）知，所以．即，．由于，故．从而是直角三角形．8.（2019全国Ⅲ卷理）18.（12分）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c。已知。求B；若为锐角三角形，且c=1，求面积的取值范围。（1）B=60°（2）A+C=120°，又是锐角三角形∴30°＜A＜90°，30°＜C＜90°9.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+cosA=0，a=2,b=2．（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且ADAC,求△ABD的面积．（1）由已知得tanA=在△ABC中，由余弦定理得（2）有题设可得故△ABD面积与△ACD面积的比值为又△ABC的面积为10.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）＝c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c，△ABC的面积为，求△ABC的周长．（1）2cosC（acosB+bcosA）＝c．2cosC（sinAcosB+sinBcosA）＝sinC．2cosCsinC＝sinCcosC=1/2C=60°（2）已知对角对边，由题设得，即.由余弦定理得，即，得.故的周长为.11.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosCasinC﹣b﹣c＝0（1）求A；（2）若a＝2，△ABC的面积为，求b，c．解：（式子中有cos，优先化角）（三个角都未知A和C手牵手在一起了，必换单身狗B！）换单约掉sinC（2）已知对角对边，由题设得，即.由余弦定理得，即，得.解得.12.（2019年新课标1理科17）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设（sinB﹣sinC）2＝sin2A﹣sinBsinC．（1）求A；（2）若a+b＝2c，求sinC．【详解】（1）即：由正弦定理可得：（2），由正弦定理得：又，整理可得：解得：或因所以，故.（2）法二：，由正弦定理得：又，整理可得：，即由，所以.

13.（2018年新课标1理科17）在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝2，求BC．（1）在中，由正弦定理得.由题设知，所以. 由题设知，所以. （2）由题设及（1）知，. 在中，由余弦定理得所以. 14.（2022年新课标18）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）若，求B；（2）求的最小值．（1）二倍角，交叉相乘；15.锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．求B（三角未知，AB在一起了换C）16.（2021.11泰安期中统考）b+c=2a，3bsinC=4csinA，D在射线AC上，满足cos∠ABD=2cosB，BE为∠ABD的角平分线，求