专题：简单的线性规划(含答案)

1、高考复习专题：简单的线性规划专题要点简单的线性规划： 能从实际问题中抽象出二元一次不等式组。理解二元一次不等式组表示平面的区域，能够准确的画出可行域。能够将实际问题抽象概括为线性规划问题，培养应用线性规划的知识解决实际问题的能力。线性规划等内容已成为高考的热点，在复习时要给于重视,另外，不等式的证明、繁琐的推理逐渐趋于淡化 ,在复习时也应是注意。考查主要有三种：一是求给定可行域的最优解；二是求给定可行域的面积；三是给出可行域的最优解，求目标函数（或者可行域）中参数的范围。多以选择填空题形式出现，不排除以解答题形式出现。考纲要求了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；了解

2、线性规划的意义并会简单应用。典例精析线性规划是高考热点之一 ,考查内容设计最优解 ,最值 ,区域面积与形状等 ,通常通过画可行域 ,移线 ,数形结合等方法解决问题。考点 1：求给定可行域的最优解xy1例 1. （ 2012 广东文） 已知变量 x 、 y 满足约束条件 xy1 , 则 zx 2 y 的最小值为 （）x10A 3B 1C 5D 6解析 :C. 画出可行域 , 可知当代表直线过点x1A时, 取到最小值 . 联立,yx 1解得 x1, 所以 zx 2y 的最小值为5 .y2xy 3例 2（. 2009 天津）设变量 x，y 满足约束条件：xy1 .则目标函数 z=2x+3y2xy3的

3、最小值为（ A）6（ B）7（C）8（D）23xy 3解析：画出不等式xy1表示的可行域，如右图，2x y 3让目标函数表示直线2xzB 自目标函数取到最小值，解方程组y在可行域上平移，知在点33xy34 3 7，故选择 B.2 xy得 ( 2,1) ，所以 zmin3精品文库86A4 x-y=1x+y=32x-y=32B-551015-2yy发散思维： 若将目标函数改为求zz的取值范围；或者改为求x的取值范围；-4x3或者改为求 zx 2y2 的最大值；或者或者改为求zx1 2y 2 的最大值。方法思路： 解决线性规则问题首先要作出可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，数形结合找出目标函数

4、达到最值时可行域的顶点（或边界上的点） ，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决。2xy20练习 1 . （ 2012 天津） 设变量 x, y 满足约束条件x2 y40 , 则目标函数 z3x2 y 的最小值为x10（）A 5B 4C 2D3【解析】做出不等式对应的可行域如图, 由 z 3x2y 得 y3 xz , 由图象可知当直线y3 xz 经3 xz 的截距最大 , 而此时2222过点 C (0,2) 时 , 直线 y22z 3x2 y 最小为 z3x2 y4,选B.0 x1，练习 2在约束条件0 y2，下， x12 y2的最小值为 _2y x 1，解析在坐标平面内画出题中的不等式组

5、表示的平面区域，注意到 x12 y2可视为该区域内的点(x，y) 与点 (1,0)之间距离，结合图形可知， 该距离的最小值等于点|1 1|(1,0)到直线 2yx 1 的距离，即为5 2 5255 .答案5练习 3、（ 2011 广东文、理数）已知平面直角坐标系xOy 上的区域 D 由不等式组给定若 M（ x， y）为 D 上的动点，点A 的坐标为，则 z=?的最大值为（）A、3B、4C、 3D、 4欢迎下载2精品文库解答：解：首先做出可行域，如图所示：z= ? = ，即 y= x+z 做出 l0： y= x，将此直线平行移动，当直线 y= x+z 经过点 A 时，直线在 y 轴上截距最大时，

6、 z 有最大值因为 A（， 2），所以 z 的最大值为4 故选 Bxy2，练习 4. （ 2011 福建）已知O是坐标原点，点A( 1,1) ，若点一个动点，则)OA· OM的取值范围是 (A 1,0B 0,1 C0,2D【分析】由于 OA· OM x y，实际上就是在线性约束条件 x y 的最大值和最小值M(x， y) 为平面区域x1，上的y2 1,2 xy2，x1，下，求线性目标函数zy2【解析】 画出不等式组表示的平面区域 ( 如图 ) ，又 OA· OM x y，取目标函数 z x y，即 y x z，作斜率为 1 的一组平行线当它经过点 C(1,1) 时

7、， z 有最小值，即zmin 1 1 0；当它经过点B(0,2) 时， z 有最大值，即zmax 0 22.z 的取值范围是 0,2，故选 C.，即 OA· OM的取值范围是 0,2考点 2：求给定可行域的面积x0例 3在平面直角坐标系中，不等式组x3y4 表示的平面区域的面积为（）3xy43243ABCD2334答案 c欢迎下载3精品文库考点 3：给出最优解求目标函数（或者可行域）中参数xy20,例 4 (2012广州一模文数 )在平面直角坐标系中，若不等式组xy20, 表示的x t平面区域的面积为 4，则实数 t 的值为A1B 2C 3D 4答案 Bxy10练习 5. （ 200

8、9福建卷文） 在平面直角坐标系中，若不等式组x10（为常数）所表示的平面axy10区域内的面积等于 2，则 a 的值为A. -5B. 1C. 2D. 3解析 解析 如图可得黄色即为满足x1 0与 x y1 0的可行域，而 axy 1 0 的直线恒过（ 0，1），故看作直线绕点（ 0，1）旋转，当 a=-5 时，则可行域不是一个封闭区域，当a=1 时，面积是 1；a=2 时，面积是3 ；当 a=3 时，面积恰好为2，故选 D.2x2 y190，练习 6. 设二元一次不等式组xy 8 0,所表示的平面区域为，使函数yx(0， 1) 的图Ma aa2x y 14 0象过区域 M的 a 的取值范围是

9、c（A） 1,3(B)2,10 (C) 2,9(D)10 ,9x 2y 0练习 7设 z x y，其中 x、 y 满足 x y0，若 z 的最大值为6，则 z 的最小值为0 ykA 3B 3C 2D 2解析 如图所示，作出不等式组所确定的可行域OAB，目标函数的几何意义是直线 x yz 0 在 y 轴上的截距，由图可知，当目标函数经过点Ax y 0，时，取得最大值，由解得 A( k， k)，故最大值为 z k k 2k，由yk，题意，得 2k6，故 k 3.当目标函数经过点B 时，取得最小值， 由x 2y 0，y 3，解得 B(6,3)，故最小值为 z 6 3 3.故选 A.答案 A练习 8.

10、 （ 2012 课标文） 已知正三角形 ABC的顶点 A(1,1),B(1,3),顶点 C 在第一象限 , 若点 ( x, y) 在 ABC内部 , 则 zx y 的取值范围是（）A (1- 3,2)B (0,2)C( 3-1,2)D(0,1+3)欢迎下载4精品文库【命题意图】本题主要考查简单线性规划解法, 是简单题 .【解析】有题设知 C(1+3 ,2),作出直线 l0 :xy0 , 平移直线 l 0 ,有 图 像 知 , 直 线 l :zx 过y B点 时 ,zmax =2, 过 C时, zmin =13 , zxy 取值范围为 (1-3,2),故选 A.xy30练习 9. （ 2012

11、福建文） 若直线 y2x 上存在点 ( x, y) 满足约束条件x2y30 , 则实数 m 的最大值xm为（）A -1B 13D2C【答案】 B20 与 y 2x 的交点为 (1,2) , 所以只有 m1才能符合条件 ,B 正确 .【解析】 xy3【考点定位】 本题主要考查一元二次不等式表示平面区域, 考查分析判断能力. 逻辑推理能力和求解能力 .xy30练习 10. （ 2012 福建理） 若函数 y 2x图像上存在点 (x, y) 满足约束条件x2 y30 , 则实数 m 的xm最大值为（）A 1B 1C 3D222【答案】 B【解析】 xy30 与 y2x 的交点为 (1,2), 所以只

12、有 m1才能符合条件 ,B 正确 .【考点定位】 本题主要考查一元一次不等式组表示平面区域, 考查分析判断能力、 逻辑推理能力和求解计算能力考点四：实际应用与大题例 5（ 2009 四川卷理） 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料 3 吨、B原料 2 吨；生产每吨乙产品要用A 原料 1 吨、 B 原料 3 吨。销售每吨甲产品可获得利润5 万元，每吨乙产品可获得利润 3 万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过 13 吨， B 原料不超过18 吨，那么该企业可获得最大利润是A. 12 万元B. 20 万元C. 25 万元D. 27 万元解析：设甲、乙种两种产品各需生产x

13、、 y 吨，可使利润 z 最大，故本题即3xy13已知约束条件2x3 y183 y 的最大值，求目标函数 z 5 xx 0 y 0可求出最优解为x3，故zmax15 12 27 ，故选择。y4D练习 11. （ 2012四川理） 某公司生产甲、乙两种桶装产品. 已知生产甲产品 1 桶需耗 A原料 1千克、 B原料 2 千克;生产乙产品 1 桶需耗 A原料 2千克 , B原料 1 千克.每桶甲产品的利润是300 元, 每桶乙产品的利润是 400 元 . 公司在生产这两种产品的计划中, 要求每天消耗 A 、 B 原料都不超过12 千克 . 通过合理安排生产计划 , 从每天生产的甲、乙两种产品中,

14、公司共欢迎下载5精品文库可获得的最大利润是（）A 1800 元B 2400 元C2800 元D3100 元答案C 解析 设公司每天生产甲种产品X 桶 , 乙种产品Y 桶 , 公司共可获得利润为Z 元/ 天 , 则由已知 , 得Z=300X+400YX2Y122XY12且0XY0画可行域如图所示, 目标函数 Z=300X+400Y可变形为Y= 3xz这是随 Z 变化的一族平行直线44002xy12x4Z max1200 16002800解方程组x2y12y即 A(4,4)4 点评 解决线性规划题目的常规步骤: 一列 ( 列出约束条件 ) 、二画 ( 画出可行域 ) 、三作 ( 作目标函数变形式的

15、平行线 ) 、四求 ( 求出最优解 ).练习 12. (2012 广州二模文数 )甲、乙、丙三种食物的维生素含量及成本如下表所示：食物类型甲乙丙维生素 C （单位 / kg ）300500300维生素 D （单位 / kg ）700100300成本（元 / kg ）543某工厂欲将这三种食物混合成100kg 的混合食物，设所用食物甲、乙、丙的重量分别为xkg、 ykg、 zkg.（ 1）试以 x, y 表示混合食物的成本 P ;（ 2）若混合食物至少需含 35000 单位维生素 C 及 40000 单位维生素 D ，问 x, y, z 取什么值时，混合食物的成本最少？(本小题主要考查线性规划等

16、知识, 考查数据处理能力、运算求解能力和应用意识)（ 1）解：依题意得xy z100, 2 分P5x4y 3z.由 xy z100 ，得 z100xy ，代入 P5x4 y 3z ，得 P3002xy . 3分x0, y 0, z0,(1) 解 :依题意知 x 、 y 、 z 要满足的条件为300 x500 y300z35000,6分700 x100 y300z40000.x0, y0,把 z100 xy 代入方程组得100xy 0,y2xy50,9分2x-y=50y25.如图可行域（阴影部分）的一个顶点为A37.5,25 . 10 分让目标函数 2x y300P 在可行域上移动 ,Ay= 25由此可知 P3002xy 在 A37.5,25处取得最小值 . 11 分