管理决策分析之效用函数

1、广西大学数学与信息科学学院广西大学数学与信息科学学院运筹管理系运筹管理系问题：问题：某公司拟推出一种新产品，经预测该产品在某公司拟推出一种新产品，经预测该产品在市场看好的情况下，可以获利市场看好的情况下，可以获利10万；在市场万；在市场前景较差时，将亏损前景较差时，将亏损1万元。市场看好和较万元。市场看好和较差的概率分别为差的概率分别为0.6和和0.4，是否推出该新产，是否推出该新产品？品？若另有一产品可稳获利若另有一产品可稳获利2万元，推出哪种产万元，推出哪种产品更好？品更好？这是一个这是一个随机决策随机决策问题。问题。在随机决策中，决策系统（在随机决策中，决策系统（，A，F）中的）中的决策

2、方案均是在状态空间背景中加以比较，决策方案均是在状态空间背景中加以比较，并按照某种规则，选出决策者最满意的行动并按照某种规则，选出决策者最满意的行动方案。方案。在本章中，我们用在本章中，我们用事态体事态体表示在随机性状态表示在随机性状态空间中的行动方案，方案的比较表示为事态空间中的行动方案，方案的比较表示为事态体的比较，并引入体的比较，并引入效用效用的概念，用以衡量事的概念，用以衡量事态体（行动方案）的优劣。态体（行动方案）的优劣。3.1.1事态体及其关系事态体及其关系 1事态体的概念事态体的概念 定义定义3.1 具有两种或两种以上有限个可能结果的方案具有两种或两种以上有限个可能结果的方案（或

3、事情），称为事态体。（或事情），称为事态体。事态体中各可能结果出现的概率是已知的。事态体中各可能结果出现的概率是已知的。事态体即随机性状态空间中的行动方案。事态体即随机性状态空间中的行动方案。设某事态体的设某事态体的n个可能结果为：个可能结果为：o1, o2, , on各结果出现的概率是相应为：各结果出现的概率是相应为： p1, p2, , pn 则该事态体记为：则该事态体记为：T（p1, o1；p2, o2 ；pn, on）特别当特别当n 2时，称时，称 T为简单事态体，此时为简单事态体，此时 T（p, o1；1p, o2 ）事态体可以用树形图表示如下：事态体可以用树形图表示如下：Tp1p2

4、pno1o2on当当n 2时：时：pT1-po1o2在凸线性组合下，在凸线性组合下，是闭集。即：是闭集。即：若若T1，T2 ，则当，则当0 1时，有时，有 T1 ( (1 ) )T2 两个事态体的凸线性组合仍是一个事态体。两个事态体的凸线性组合仍是一个事态体。T( (0, o1；0, o2 ；1, oj ；0, on) ) 称称T为为退化事态体。退化事态体。退化事态体仍属于事态体集合。退化事态体仍属于事态体集合。定义定义3.2设设o1，o2是事态体是事态体T的任意两个结果值，根的任意两个结果值，根据决策目标和决策者偏好，据决策目标和决策者偏好，o1和和o2有如下关有如下关系：系：若偏好结果值若

5、偏好结果值o1，则称，则称o1优于优于o2，记作，记作o1 o2；反之，称反之，称o1劣于劣于o2，记作，记作o1 o2。若对结果值若对结果值o1, o2无所偏好，则称无所偏好，则称o1无差异于无差异于o2，记作，记作o1 o2。若不偏好结果值若不偏好结果值o1，则称，则称o1不优于不优于o2，记作，记作 o1 o2 ；反之，称；反之，称o1不劣于不劣于o2，记作，记作o1 o2 。定义定义 3.3 设两个简单事态体设两个简单事态体 T1，T2具有相同的结果值具有相同的结果值 o1，o2，即，即 ：T1（p1, o1；1p1, o2 ）T2（p2, o1；1p2, o2 ）并假定并假定o1 o

6、2，则：，则：若若p1p2，称事态体，称事态体T1无差异于无差异于T2，记作，记作T1T2 。若若p1p2，称事态体，称事态体T1优于优于T2，记作记作T1 T2；反之，称事态体反之，称事态体T1劣劣于于T2，记作，记作T1 T2。定义定义 3.4 设两个简单事态体设两个简单事态体 T1，T2仅具有一个相同结仅具有一个相同结果值，另一个结果值不相同，即果值，另一个结果值不相同，即 ：T1（p1, o1；1p1, o0 ）T2（p2, o2；1p2, o0 ）且且o2 o1 o0，若若p1p2，则事态体，则事态体T2优于优于T1，记作，记作T2 T1 。若若T1T2 ，则必有，则必有p1p2 。

7、3.1.2理性行为公理理性行为公理 公理公理3.l（连通性，可比性）（连通性，可比性） 事态体集合事态体集合上事态体的优劣关系是连通的。上事态体的优劣关系是连通的。即若即若T1，T2 则或者则或者T1 T2 ，或者或者T2 T1 ，或者，或者T1T2 ，三者必居其一。三者必居其一。表示任意两个事态体都是可以比较其优劣的！表示任意两个事态体都是可以比较其优劣的！3.1.2理性行为公理理性行为公理 公理公理3.2（传递性）（传递性） 事态体集合事态体集合上事态体的优劣关系上事态体的优劣关系是传递的。是传递的。即若即若T1、T2 、T3 ，且，且T1 T2 ，T2 T3 ，则必有则必有 T1 T3

8、。表示任意多个事态体的优劣是可以排序的表示任意多个事态体的优劣是可以排序的（若有些事态体无差异，可排在同一位置。）（若有些事态体无差异，可排在同一位置。）满足公理满足公理3.1和公理和公理3.2的的事态体集合称为全序集。事态体集合称为全序集。 3.1.2理性行为公理理性行为公理 公理公理3.3（复合保序性，替代性复合保序性，替代性） 若若T1，T2 ，Q ，且，且0p1，则，则T1 T2 当且仅当当且仅当 pT1 ( (1p) )Q pT2 ( (1p) )Q 。表示任意事态体的优劣关系是可以复合的，表示任意事态体的优劣关系是可以复合的，复合后的事态体保持原有的优劣关系不变。复合后的事态体保持

9、原有的优劣关系不变。3.1.2理性行为公理理性行为公理 公理公理3.4（相对有序性，连续性，偏好的有界相对有序性，连续性，偏好的有界性性） 若若T1，T2 ，T3 ，且，且T1 T2 T3 则存在数则存在数 p，q，0pl，0q1，使得：，使得： pT1 ( (1p) )T3 T2 qT1 ( (1q) )T3 表示任意事态体都不是无限优，也不是无限表示任意事态体都不是无限优，也不是无限劣。劣。3.1.3事态体的基本性质事态体的基本性质 性质性质3.1设事态体设事态体 T1（p, o1；1p, o0 ）T2（x, o2；1x, o0 ）且且 o1 o0 ， o2 o0 ，若，若o2 o1 则存

10、在则存在x=pp使得使得 T1T2 称称x为为可调概率值可调概率值。3.1.3事态体的基本性质事态体的基本性质 性质性质3. 2（确定当量和无差异概率）（确定当量和无差异概率）设事态体设事态体T（x, o1；1x, o2 ）且）且o1 o2 。则对于满足优劣关系则对于满足优劣关系o1 o o2的任意结果值的任意结果值o，必存在，必存在xp（0pl），使得），使得T（p, o1；1p, o2 ） o称结果值称结果值o为事态体为事态体T的的确定当量确定当量，称，称p为为o关于关于o1与与o2的的无差异概率无差异概率。性质性质3. 3任一事态体无差异于一个简单事态体。任一事态体无差异于一个简单事态体

11、。设有事态体设有事态体T （p1, o1；p2, o2 ；pn, on）则必存在一个简单事态体则必存在一个简单事态体T（p, o*；1p, o0 ） T其中：其中： o* max o1, o2 , , on o0 min o1, o2 , , on 且：且： njjjqpp1这里，这里，qj( (j=1, 2, , n) )为为oj关关于于o*与与o0的无差异概率。的无差异概率。根据性质根据性质3. 3比较一般事态体之间的优劣关系，可以转化比较一般事态体之间的优劣关系，可以转化为比较简单事态体之间的优劣关系为比较简单事态体之间的优劣关系（将问题（将问题简化）简化）得到事态体之间两两的优劣或无差

12、异关系后，得到事态体之间两两的优劣或无差异关系后，再根据公理再根据公理3.2（传递性）即可得到所讨论（传递性）即可得到所讨论事态体的排序。事态体的排序。设有决策系统（设有决策系统（，A，F），在离散情况），在离散情况下，结果值可以表示为决策矩阵：下，结果值可以表示为决策矩阵： mnmmnnnmijooooooooooO.)(212222111211矩阵矩阵O的第的第i行表示第行表示第i个可行方案的个可行方案的n个可能个可能结果值，即事态体结果值，即事态体Ti（p1, oi1；p2, oi2 ；pn, oin）( (i=1, 2, , m) )决策就是要对这决策就是要对这 m个事态体进行排序。个

13、事态体进行排序。由第一节中的性质由第一节中的性质3.3知，存在简单事态体知，存在简单事态体T，使得，使得Ti（pi, o*；1pi, o0 ） Ti问题又化为对这问题又化为对这m个简单事态体个简单事态体Ti进行排序。进行排序。 Ti（pi, o*；1pi, o0 ） Ti注意到这注意到这m个简单事态体个简单事态体Ti具有相同的结果具有相同的结果值值o*、 o0 ，根据定义，根据定义3.3，其优劣关系可以，其优劣关系可以由比较由比较pi的大小决定。的大小决定。根据性质根据性质3.3 njijjiqpp1qjj是结果值是结果值oij关于关于o*与与o0的的无差异概率无差异概率。其中：其中： 问题：

14、如何测定问题：如何测定无差异概率？无差异概率？，max,ijjioo* min,ijjioo0 3.2.1 效用和效用函数的概念效用和效用函数的概念1. 效用的概念效用的概念2. 定义定义3.53.设决策问题的各可行方案有多种可能的设决策问题的各可行方案有多种可能的结果值结果值o，依据决策者的主观愿望和价值，依据决策者的主观愿望和价值倾向，每个结果值对决策者均有不同的价倾向，每个结果值对决策者均有不同的价值和作用。值和作用。反映结果值反映结果值o对决策者的价值对决策者的价值和作用大小的量值称为效用。和作用大小的量值称为效用。3.2.1 效用和效用函数的概念效用和效用函数的概念2. 效用函数的概

15、念效用函数的概念3. 定义定义3.6若在事态体集合若在事态体集合上存在实值函数上存在实值函数u，有：，有：( (1) )对任意的对任意的T1、T2 ，T1 T2 当且仅当当且仅当u( (T1) ) u( (T2) )2.2. ( (2) )对任意的对任意的T1、T2 ，且且0 1，有，有u T1 ( (1 ) )T2 = u( (T1) )( (1 ) )u( (T2) )2.则称则称u( (T) )为定义在为定义在上的效用函数。上的效用函数。3. 估计效用函数的方法估计效用函数的方法（1）标准效用测定法）标准效用测定法( (概率当量法，概率当量法，VM法法) ) 思路思路：对于给定的结果值，

16、测定其效用值。：对于给定的结果值，测定其效用值。设有决策系统（设有决策系统（，A，F），其结果值集），其结果值集合为：合为： O（o1, o2 , , on）记：记： o* max o1, o2 , , on o0 min o1, o2 , , on 3.3.对于每一个结果值对于每一个结果值oj都存在一个概率值都存在一个概率值pj，使得使得oj（pj , o*；1pj , o0） pj就可以作为就可以作为结果值结果值oj的效用值。的效用值。（1）标准效用测定法）标准效用测定法(概率当量法，概率当量法，VM法法) 步骤步骤设设 u( (o*) )=1，u( (o0) )= 0；建立简单事态体（建

17、立简单事态体（x, o*；1- -x, o0 ），其中），其中x称为可调概率；称为可调概率；通过反复提问，不断改变可调概率值通过反复提问，不断改变可调概率值x，让，让决策者权衡比较，直至当决策者权衡比较，直至当x= pj时时 oj（pj , o*；1pj , o0）测得结果值测得结果值oj的效用的效用 u( (oj) )= pj = pj u( (o*) )( (1pj ) )u( (o0) )3. 估计效用函数的方法估计效用函数的方法（2）确定当量法）确定当量法( (修正的修正的VM法法) ) 思路：对于给定的效用值，测定其结果值。思路：对于给定的效用值，测定其结果值。 步骤步骤设设 u(

18、(o*) )=1，u( (o0) )= 0；对于给定的效用值对于给定的效用值pj，构造简单事态体，构造简单事态体（pj , o*；1pj , o0）通过反复提问，不断改变结果值通过反复提问，不断改变结果值o ，让决，让决策者权衡比较，直至当策者权衡比较，直至当o= oj时时3. oj（pj , o*；1pj , o0）4. 得得效用值效用值pj对应的对应的结果值为结果值为oj，即，即u( (oj) )= pj 。介绍一种实用的效用函数的构造方法。介绍一种实用的效用函数的构造方法。 基本思路基本思路对于决策问题的结果值集合，先用对于决策问题的结果值集合，先用确定当确定当量法量法找出一个基准效用值

19、，即效用值等于找出一个基准效用值，即效用值等于0.5的结果值，称为确定当量的结果值，称为确定当量o。其余效用。其余效用值不再测定，而是按比例用线性内插的方值不再测定，而是按比例用线性内插的方法，用同一个标准计算得到。法，用同一个标准计算得到。 方法方法设决策问题结果值集合为：设决策问题结果值集合为：O（o1, o2 , , on） 取取o* max o1, o2 , , on o0 min o1, o2 , , on 并令并令 u( (o*) )=1，u( (o0) )= 0； 构造简单事态体构造简单事态体（0.5, o*； 0.5, o0），用），用确确定当量法定当量法找到该找到该事态体事态

20、体的确定当量的确定当量o，使，使得得： o（0.5, o*； 0.5, o0） 方法方法 对结果值进行归一化处理，记归一化的结对结果值进行归一化处理，记归一化的结果值为果值为x( (oj) ) Oooooooxjjj ，0*0)(则：则： x*=x( (o*) )=1， x0=x( (o0) )= 0， 0 x( (oj) )1 记记确定当量确定当量o的归一化值为的归一化值为，也记为，也记为x0.50*05 . 00*05 . 0)(xxxxoooooxx （0, 0）,（ , 0.5）,（1, 1）ux0110.5 方法方法 在新区间在新区间0, 和和, 1按同样方法插入点按同样方法插入点（

21、 x0.25, 0.25）和（）和（ x0.75, 0.75），保持比例），保持比例关系关系 0*05 . 005 . 0025. 0 xxxxxxxx计算得：计算得：275. 0225. 02 xx， 0*05 . 05 . 0*5 . 075. 0 xxxxxxxx（ 2, 0.25）,（22, 0.75）ux0110.50.2520.7522 若认为点数太少，效用曲线不够精确，可若认为点数太少，效用曲线不够精确，可继续继续按同样方法按同样方法在新产生的区间在新产生的区间内插入效内插入效用中点，直到产生足够的点为止。用中点，直到产生足够的点为止。若在效用区间若在效用区间0, 1中插入中插入

22、2n个分点：个分点：)2 , 2 , 1(2nnkk 记相应的归一化的结果值为记相应的归一化的结果值为k ，有：，有： 111)2 , 3 , 2)2() 1212() 1(0)2 , 2 , 1()1 (srnrrkknttnkkrktktkkk（其其中中： 在风险型或不确定型决策问题中，决策者在风险型或不确定型决策问题中，决策者选择方案几乎都要承担一定的风险，不同选择方案几乎都要承担一定的风险，不同的决策者对风险的态度是有区别的。的决策者对风险的态度是有区别的。 效用表示了决策者对决策方案各结果值的效用表示了决策者对决策方案各结果值的偏好程度，也反映了不同类型的决策者对偏好程度，也反映了不

23、同类型的决策者对风险的不同态度。风险的不同态度。 因此从不同类型的效用函数可以看出决策因此从不同类型的效用函数可以看出决策者对风险的不同态度。者对风险的不同态度。1. 中立型效用函数中立型效用函数2.设有效用函数设有效用函数u=u(x)，若对，若对xlx2，有，有 )2(2)()(2121xxuxuxu 则称该效用函数为中立型。则称该效用函数为中立型。其效用曲线是一条直线。其效用曲线是一条直线。中立型效用函数的效用值和结果值成正中立型效用函数的效用值和结果值成正比例，因此可以用结果值直接评选方案。比例，因此可以用结果值直接评选方案。2. 保守型效用函数保守型效用函数设有效用函数设有效用函数u=

24、u(x)，若对，若对xlx2，有，有 )2(2)()(2121xxuxuxu 则称该效用函数为保守型。则称该效用函数为保守型。其效用曲线是一条其效用曲线是一条上凸上凸曲线，曲线，表示效用值随表示效用值随结果值的增加而增加，但增加的速度逐渐由结果值的增加而增加，但增加的速度逐渐由快至慢。快至慢。反映了决策者随结果值增加越来越反映了决策者随结果值增加越来越谨慎，对风险持厌恶态度。谨慎，对风险持厌恶态度。3. 冒进型效用函数冒进型效用函数设有效用函数设有效用函数u=u(x)，若对，若对xlx2，有，有 )2(2)()(2121xxuxuxu 则称该效用函数为冒进型。则称该效用函数为冒进型。其效用曲线

25、是一条其效用曲线是一条下凸下凸曲线，曲线，表示效用值随表示效用值随结果值的增加而增加，且增加的速度越来越结果值的增加而增加，且增加的速度越来越快。快。反映了决策者随结果值增加越来越敢于反映了决策者随结果值增加越来越敢于冒险追求高额回报的态度。冒险追求高额回报的态度。ux110中立型效用函数中立型效用函数保守型效用函数保守型效用函数冒进型效用函数冒进型效用函数4. 混合型效用函数混合型效用函数5.三种基本效用函数的混合，如：三种基本效用函数的混合，如：ux110混合型效用函数混合型效用函数表示当表示当xx0时，即时，即结果值不大时，决策结果值不大时，决策者具有一定冒险精神；者具有一定冒险精神；当

26、当xx0时，即结果时，即结果值较大时，决策者对值较大时，决策者对风险转而持谨慎态度。风险转而持谨慎态度。x0一、效用函数表的构造一、效用函数表的构造实际构造效用函数时，取实际构造效用函数时，取n=6定出效用曲定出效用曲线上的线上的26（64）个点，效用函数的精度已）个点，效用函数的精度已经足够。经足够。书后附表书后附表6给出了给出了n=6对于不同的权衡指标对于不同的权衡指标值值(0.5)的效用函数值。的效用函数值。0.5时时，对应的是冒进（下凸）型效用函数，对应的是冒进（下凸）型效用函数，效用函数值无法直接查表效用函数值无法直接查表。一、效用函数表的构造一、效用函数表的构造可以证明：可以证明：

27、 0.5的效用曲线的效用曲线u(x)与与=1的的效用效用曲线曲线u(x)是关于直线是关于直线u=x对称的。因此，对称的。因此， 0.5的效用函数值可以按下面的方法求的效用函数值可以按下面的方法求得：得： u(x)1 u(1x)具体步骤见教材具体步骤见教材P62。注：注：查表时在给定的查表时在给定的列若没有对应的列若没有对应的x值，值，则找出与之相邻的两个值则找出与之相邻的两个值x1、x2 ，查出对，查出对应的效用值后用线性内插的方法应的效用值后用线性内插的方法确定确定u(x)。二、效用函数表的使用二、效用函数表的使用例例3.1某企业欲投产一种新产品，有三种方某企业欲投产一种新产品，有三种方案可

28、供选择。已知市场存在三种状态：畅案可供选择。已知市场存在三种状态：畅销、一般、滞销，三种方案在不同的市场销、一般、滞销，三种方案在不同的市场状态下所获利润额构成以下的决策矩阵：状态下所获利润额构成以下的决策矩阵： 5 . 261455 . 72022 . 65 . 9)(33ijoO决策者认为：决策者认为： o4.5（0.5, 20； 0.5, 5）解：解： o* max oij 20， o0 min oij 5u( (o*) )=1，u( (o0) )= 0将决策矩阵的结果值归一化将决策矩阵的结果值归一化：0*0)(oooooxijij 得得归一化后的决策矩阵为：归一化后的决策矩阵为： 1

29、. 044. 076. 005 . 0128. 0448. 058. 0)(33ijxX由由 o4.5（0.5, 20； 0.5, 5）得：得：38. 0)5(20)5(5 . 40*0 oooo 查查P369附表附表6， 0.38 所在列，以所在列，以x220.5为例为例 ： 0.490621 x220.5 0.503698而而u(0.490621)0.65625， u(0.503698)0.671875用线性内插法：用线性内插法：490621. 0503698. 0490621. 05 . 065625. 0671875. 065625. 0)(22 xu解得解得u(x22) 0.6675

30、。同理同理得：得： u(x11) 0.7300， u(x12) 0.6091，u(x13) 0.4306， u(x31) 0.8742u(x32) 0.5596， u(x33) 0.2068且且u(x21)u( (o*) )=1， u(x23)u( (o0) )=0得得决策者的效用矩阵为：决策者的效用矩阵为： 2068. 05996. 08742. 006675. 014306. 06091. 07300. 0)(33ijuU解：解： 同上例方法同上例方法得得归一化后的决策矩阵为归一化后的决策矩阵为： 1 . 044. 076. 005 . 0128. 0448. 058. 0)(33ijxX

31、由由 o11.25（0.5, 20； 0.5, 5）得：得：65. 0)5(20)5(25.110*0 oooo 查查P369附表附表6，1-0.65=0.35 所在列，以所在列，以x320.44为例为例， u(x32)1u(1x32) 1 u(0.56) ： 0.53689 0.56 0.5775而而u(0.53689)0.734375， u(0.5775)0.75用线性内插法解得用线性内插法解得u(0.56) 0.7433，因此：，因此： u(x32)1 u(0.56) 0.2567同理同理得：得： u(x11) 0.3819， u(x12) 0.2598，u(x13) 0.1271， u

32、(x22) 0.2920u(x31) 0.5725， u(x33) 0.0251且且u(x21)u( (o*) )=1， u(x23)u( (o0) )=0得得决策者的效用矩阵为：决策者的效用矩阵为： 0251. 02567. 05725. 002920. 011271. 02598. 03819. 0)(33ijuU前面讨论了针对特定的结果值，如何测定前面讨论了针对特定的结果值，如何测定其效用，我们得到的只是一些离散的效用其效用，我们得到的只是一些离散的效用值，要得到连续的效用函数，则需要用曲值，要得到连续的效用函数，则需要用曲线拟合的方法。线拟合的方法。 常见的拟合曲线形式常见的拟合曲线形

33、式 线性函数型线性函数型 u(x)c1a1（xc2）其中其中c1、a1、c2为待定参数。为待定参数。前面查表时用内插法确定某些效用值，前面查表时用内插法确定某些效用值，实际上就相当于效用函数为分段线性函数。实际上就相当于效用函数为分段线性函数。 常见的拟合曲线形式常见的拟合曲线形式 指数函数型指数函数型 1 )()(1122cxaeacxu 其中其中ci、ai（i1，2，3）均为待定参数。）均为待定参数。 双指数函数型双指数函数型2)()()(113322cxacxaeeacxu 指数加线性函数型指数加线性函数型)(1 )(33)(1122cxaeacxucxa 常见的拟合曲线形式常见的拟合曲线形式 幂函数型幂函数型 其中其中c1、a1、c2 为待定参数。为待定参数。不论采用哪种形式的函数，一般都尽可能化不论采用哪种形式的函数，一般都尽可能化为线性函数通过最小二乘法确定待定参数。为线性函数通过最小二乘法确定待定参数。 对数函数型对数函数型)10)()(211 acxacxua（)ln()(211cxacxu 3.4.1幂函数型效用曲线的拟合幂函数型效用曲线的拟合 幂函数的一般形式幂函数的一般形式yta（0a1）当当0a1时，幂函数曲线是上凸的。在时，幂函数曲线是上凸的。在区间（区间（