高等数学：9-4 重积分的应用

1、1重积分在几何上的应用重积分在几何上的应用重积分在物理上的应用重积分在物理上的应用小结小结 思考题思考题 作业作业 第四节第四节 重积分的应用重积分的应用第九章第九章 重积分重积分2一、重积分在几何上的应用一、重积分在几何上的应用1. 平面区域的面积平面区域的面积设有平面区域设有平面区域D, DD d2. 体积体积 设曲面方程为设曲面方程为.),( , 0),(Dyxyxfz 则则D上的曲顶柱体体积为上的曲顶柱体体积为: DyxfV d),(则其面积为则其面积为:重积分的应用重积分的应用 把定积分的元素法推广到重积分的应用中把定积分的元素法推广到重积分的应用中.占有占有空间有界域空间有界域 的

2、立体的体积为的立体的体积为: : zyxVddd3 d(1) 设曲面设曲面S的方程为：的方程为：),(yxfz ,dD ,d),( yx点点.),(,(的切平面的切平面上过上过为为yxfyxMS ,d边界为准线边界为准线以以 如图如图,),(yxMAds xyzo 3. 曲面的面积曲面的面积;dSS为为截曲面截曲面,dA为为截切平面截切平面 SAdd 上具有上具有在在Dyxf),(),(),(yxfyxfyx和和连续偏导数连续偏导数设小区域设小区域则有则有母线平行于母线平行于z轴的小柱面轴的小柱面,在在xOy面上的投影区域为面上的投影区域为D,重积分的应用重积分的应用Sd4面面上上的的投投影影

3、在在为为xOyAdd d2211cosyxff d1d22yxffA ),(yxMxyzs o 曲面曲面S的面积元素的面积元素 cosd A DyxffA d122曲面曲面S的面积公式的面积公式 dAdn重积分的应用重积分的应用Sd(,1)xynff 5(3) 设曲面的方程为设曲面的方程为),(xzhy 曲面面积公式曲面面积公式zdxyyAxzd122 曲面面积公式曲面面积公式(2) 设曲面的方程为设曲面的方程为),(zygx 曲面面积公式曲面面积公式zyxxAzydd122 (1) 设曲面设曲面S的方程为的方程为),(yxfz yxzzAyxdd122 xyDyzDzxD重积分的应用重积分的

4、应用6xyO a a2解解)0,( yx求球面求球面,2222azyx 含在圆柱体含在圆柱体axyx 22内部的那部分面积内部的那部分面积.例例由对称性知由对称性知,41AA 第一挂限图形第一挂限图形 axyxD 221:曲面方程曲面方程222yxaz aaaD1axyx 22重积分的应用重积分的应用xyzOyxyxaadd222 于是于是, ,yxzzyxdd122 曲面面积元素为曲面面积元素为7xyO a a2D1 1dd4222Dyxyxaa2242aa 极坐标极坐标 d1d422aayxzzADyxdd14122 02 cosa0重积分的应用重积分的应用yxyxaadd222 yxzz

5、yxdd122 cosa8例例22yxz )0(22 aaxyx因曲面方程为因曲面方程为,22yxxzx 22yxyzy 所以所以,2 d2 DA 2 242a oxzy22yxz axyx 22D22yxz 解解221yxzz 截下的截下的有限曲面片有限曲面片的面积的面积.被柱面被柱面求曲面求曲面a重积分的应用重积分的应用9例例222ayx 222azx 所截的部分的面积所截的部分的面积. 作出图形在作出图形在第一卦限第一卦限的的A1:22xaz ,22xaxzx 0 yzyxxaadd22 则则222azx 222ayx 解解部分部分yxzzyxdd122 被圆柱面被圆柱面计算圆柱面计算圆

6、柱面(如图如图).222ayx a重积分的应用重积分的应用xyzOxyO10yxzzAyxdd1d221 在在第一挂限第一挂限部分面积为部分面积为yxxaaADdd1221 2a 整个面积整个面积2188aAA 222ayx yxxaadd22 a重积分的应用重积分的应用xyO222azx 222ayx xyzO2222001ddaaxaxyax11(0,0,2a)解解 解方程组解方程组 22222yxazazyx得两曲面的交线为圆周得两曲面的交线为圆周 azayx222平面上的投影域平面上的投影域xOy在在222:ayxDxy 得得由由)(122yxaz ,2axzx ayzy2 求由曲面求

7、由曲面所围立体的表面积所围立体的表面积. .oxyzazyx 22222yxaz 和和)0( a重积分的应用重积分的应用12 221yxzz22221 ayax222441yxaa 知知由由222yxaz 221yxzz2 Ayxdd2 d41d02220 aaa22 a )15526(62 a 222:ayxDxy 求由曲面求由曲面所围立体的表面积所围立体的表面积. .azyx 22222yxaz 和和)0( axyDxyDyxyxaadd441222 重积分的应用重积分的应用13 1989年研究生考题年研究生考题,计算计算,9分分,)0(2222上上 aazyx例例解解 由于球为中心对称图

8、形由于球为中心对称图形,2222)(Razyx 2222)(Razyx 解得解得问问:R取何值取何值,重积分的应用重积分的应用设半径为设半径为R的球面的球面的球心在定球面的球心在定球面球面球面 在定球面内部的那部分面积最大在定球面内部的那部分面积最大?不妨设球面不妨设球面 的方程为的方程为:因为是求球面因为是求球面 在定球面内部在定球面内部的面积的面积,故由方程故由方程Ozyx222zaRxy14面积元素是面积元素是yxzzyxdd122 yxyxRRdd222 22222222)(azyxRazyx又由又由aRaz2222 )22(22aRaz :xyD2b 242224aRRyx 令令重积

9、分的应用重积分的应用即得出球面即得出球面 在定球面内部的在定球面内部的那部分在那部分在xOy面上的投影区域面上的投影区域222zaRxy15 所以所以yxyxRRdd222 极坐标极坐标 aRRR222 dd02220 bRR,23222 aRRAR 而而023222 aRRAR 令令, 0232 aR)0( R所以所以,34时时即即aR yxzzAyxdd122 .取得最大值取得最大值AxyD222:byxDxy 222byx 24224aRRb 重积分的应用重积分的应用球面球面 在定球面内部的面积设为在定球面内部的面积设为A,则则16二、重积分在物理上的应用重积分在物理上的应用1、质心、质

10、心 MMyx MMxy质点系的总质量质点系的总质量对对x轴的静矩轴的静矩则该质点系的质心的坐标为则该质点系的质心的坐标为它们分别位于它们分别位于,),( ,),(),(2211处处nnyxyxyx质量分别为质量分别为.,21nmmm niiniiimxm11 niiniiimym11重积分的应用重积分的应用(1) 平面薄片的质心平面薄片的质心对对y轴的静矩轴的静矩设设xOy平面上有平面上有n个质点个质点,17由元素法由元素法: :,d),( yx,d),( DyyxxM 所以所以, DxyxyM d),(d( , )d ,d( , )dyxMxx yMyx y设有一平面薄片设有一平面薄片, 占

11、有占有xOy面上的闭区域面上的闭区域D,在点在点(x, y)处的面密度为处的面密度为),(yx 假定假定在在D上连续上连续,平面薄片的质心平面薄片的质心),(yx 薄片中相应于薄片中相应于 d的部分的质量近似等于的部分的质量近似等于这部分质量可近似看作集中在点这部分质量可近似看作集中在点(x, y)上上,于是可写出静矩元素于是可写出静矩元素:重积分的应用重积分的应用 niiiyxmM1 niiixymM118注注,d1 DxAx DyAy d1 DA d其中其中所以所以,薄片的质心坐标为薄片的质心坐标为当薄片是当薄片是均匀均匀的的,质心称为质心称为,d),(d),( DDyyxyxxMMx D

12、DxyxyxyMMy d),(d),(重积分的应用重积分的应用形心形心. .平面的面积平面的面积. .19设物体占有空间域设物体占有空间域 , ,有连续密度函数有连续密度函数 vzyxvzyxxxd),(d),(则其质心坐标为则其质心坐标为常数常数时时, ,则得则得形心形心坐标坐标,dVvxx vVd物体的体积物体的体积. .重积分的应用重积分的应用(2) 物体的质心物体的质心 yyzz当物体是当物体是均匀均匀的的,dVvyy Vvzz d其中其中M1、质心、质心( , , ),x y z( , , )x y z即当20b例例 求位于两圆求位于两圆,cos a cosb )0(ba 之间的之间

13、的均匀均匀薄片的质心薄片的质心.axyO, 0 y DxAx d1 .)(222ababab 解解 薄片关于薄片关于x轴对称轴对称.,d1 DxAx DyAy d1则则22222 ayax cosa sincosyx2222 ab 20coscosdcosd2 ba质心质心).0 ,)(2(22ababab 重积分的应用重积分的应用21一个炼钢炉为旋转体形一个炼钢炉为旋转体形, ,剖面剖面壁线的方程为壁线的方程为30,)3(922 zzzx若炉内储有高为若炉内储有高为h的均质钢液的均质钢液, ,不计不计由由对称性对称性知质心在知质心在 z 轴上，轴上，, 0 yx炉壁方程为炉壁方程为9)3(2

14、22zzyx VzyxzVMzz ddd故故炉体的自重炉体的自重, ,求它的质心求它的质心. .重积分的应用重积分的应用例例解解222)3()(9zzyx zDhyxzddd0 zyxVddd)41229(922hhh hzzz02d)3(9 h222)3()(9zzyx zDOyxz22重积分的应用重积分的应用VzyxzVMzz ddd hzzz022d)3(9 0d d ddd dzhzDMz x y zz zx y)51233(923hhh 225409043060hhhhhVMzz )41229(922hhhV 质心为质心为.5409043060, 0, 022 hhhhh9)3(22

15、2zzyx 23(1) 平面薄片的转动惯量平面薄片的转动惯量重积分的应用重积分的应用2、转动惯量转动惯量设平面薄片占有平面区域设平面薄片占有平面区域D, DxyxI d),( DoyxI d),( 则转动惯量为则转动惯量为D2y2x)(22yx DyyxI d),( yxO有连续密度函数有连续密度函数),(yx 24设物体占有空间区域设物体占有空间区域 , ,),(zyx vzyxIxd),()(22zy 重积分的应用重积分的应用(2) 物体的转动惯量物体的转动惯量2、转动惯量转动惯量则转动惯量为则转动惯量为Oxyz vzyxIyd),()(22zx vzyxIzd),()(22yx vzyx

16、Id),(0)(222zyx 有连续的密度函数有连续的密度函数25abyxxIDydd2 bbyaxxy0)1(02dd ba3121 )1(axby 重积分的应用重积分的应用 DyyxxI d),(2例例解解设一设一均匀均匀的直角三角形薄板的直角三角形薄板, ,两直角边长分别两直角边长分别求这三角形对任一直角边的转动惯量求这三角形对任一直角边的转动惯量. .为为a、b,设三角形的两直角边分别设三角形的两直角边分别在在x轴和轴和y轴上轴上( (如图如图) )yxO对对y轴轴的转动惯量为的转动惯量为yxyIDxdd2 .1213 ab 对对x轴轴的转动惯量为的转动惯量为2( , )dxDIyx

17、y26用用元素法元素法求求薄片对薄片对z轴上的单位质点的引力轴上的单位质点的引力221rmmkF zyxFFFd,d,d d引力在三个坐标轴上的投影引力在三个坐标轴上的投影 zyxFFF,重积分的应用重积分的应用3 3、引力、引力(1)平面薄片对质点的引力平面薄片对质点的引力设有一平面薄片设有一平面薄片, 占有占有xOy面上的闭区域面上的闭区域D,在点在点(x, y)处的面密度为处的面密度为),(yx 假定假定在在D上连续上连续,计算该平面薄片对位于计算该平面薄片对位于z轴上的点轴上的点),(yx 处的处的单位质点单位质点的引力的引力.), 0 , 0(0aM)0( a元素元素.OxyzD 薄

18、片中薄片中 d的大小近似地为的大小近似地为 Fd的部分对该质点的引力的部分对该质点的引力2r k d),(yx 1), 0 , 0(0aM)0 ,(yx (,).xyzFF F F27222)0()0()0(ayxr 222ayx 引力的引力的方向方向)0,(ayx 方向余弦方向余弦 raryrx, 薄片中薄片中 上的投影上的投影 的元素的元素:zyxFFF,d),(d3ryxkxFx ,d),(d3ryxkyFy .d),(d3ryxkaFz 221rmmkF 重积分的应用重积分的应用 薄片中薄片中 的的大小大小近似地为近似地为2d),(1dryxkF 的部分对该质点的引力的部分对该质点的引

19、力 d d 的对该质点的引力在三个坐标轴的对该质点的引力在三个坐标轴OxyzD d), 0 , 0(0aM)0 ,(yx 28,d)(),(23222 DxayxxyxkF,d)(),(23222 DyayxyyxkF.d)(),(23222 DzayxyxakFk为引力常数为引力常数.重积分的应用重积分的应用,d),(d3ryxkxFx ,d),(d3ryxkyFy .d),(d3ryxkaFz OxyzD d), 0 , 0(0aM)0 ,(yx 29重积分的应用重积分的应用3、引力、引力(2) 物体对质点的引力物体对质点的引力设物体占有空间区域设物体占有空间区域 , ,),(zyx 物体

20、对于物体外一点物体对于物体外一点),(zyxFFFF 利用利用元素法元素法, , cosd),(1d2rvzyxkFx cosd),(1d2rvzyxkFy 有连续有连续分布分布的密度的密度引力元素在三坐标轴上的投影分别引力元素在三坐标轴上的投影分别空间一物体对于物体外一点空间一物体对于物体外一点),(0000zyxP处的处的单位质量单位质量的质点的引力的质点的引力. .函数函数),(0000zyxP的单位质量的质点的引力的单位质量的质点的引力为为221rmmkF 30)d)(,(rvxxzyxk 30)d)(,(rvyyzyxk 30)d)(,(rvzzzyxk 21( , , )ddcos

21、zx y zvFkr30 vryyzyxkFyd)( ),(30重积分的应用重积分的应用30)d)(,(drvxxzyxkFx 30)d)(,(drvyyzyxkFy 30)d)(,(drvzzzyxkFz 在在 上分别积分上分别积分, ,得得vrxxzyxkFxd)(,(30 03( , , )()dzx y zzzFkvr31Foyzx重积分的应用重积分的应用0 yxFF设有面密度为常量设有面密度为常量, ,半径为半径为R的均匀圆的薄片的均匀圆的薄片求它对位于点求它对位于点 由由对称性对称性知知, 0,222 zRyx)0(), 0 , 0(0 aaM处的单位质量质点的引力处的单位质量质点

22、的引力. . 例例解解), 0 , 0(0aM d)(1d0222023 Raak.11222 aaRka 引力为引力为 d)(123222 Dayxak d)(),(23222 DzayxyxakF极坐标极坐标).,0,0(zFF d)(),(23222 DzayxyxakF d)(),(23222 DxayxxyxkF d)(),(23222 DyayxyyxkF32求密度求密度 为常数的半圆环为常数的半圆环:)0( ,2222 ybyxa对原点一单位质点的引力对原点一单位质点的引力.答案答案:.ln2, 0 abk 重积分的应用重积分的应用引力引力为为 Oyxab33几何应用几何应用平面薄片、空间物体的平面薄片、空间物体的质心质心平面薄片、空间物体平面薄片、空间物体对质点的对质点的引力引力 平面的面积平面的面积物理应用物理应用三、小结三、小结重积分的应用重积分的应用曲面的面积曲面的面积体积体积平面薄片、空间物体的平面薄片、空间物体的转动惯量转动惯量 34重积分的应用重积分的应用)(th( t为时间为时间)的雪堆在融化的雪堆在融化,)()(2)(22thyxthz 设长度单位