反常积分的审敛法教学文稿

1、反常积分的审敛法一、无穷限的广义积分的审敛法一、无穷限的广义积分的审敛法收收敛敛上上有有界界，则则广广义义积积分分在在若若函函数数且且上上连连续续，在在区区间间定定理理设设函函数数 axadxxfadttfxFxfaxf)(),)()(0)(),)( 不通过被积函数的原函数判定广义积分收不通过被积函数的原函数判定广义积分收敛性的判定方法敛性的判定方法.由定理由定理1，对于非负函数的无穷限的广义积，对于非负函数的无穷限的广义积分有以下比较收敛原理分有以下比较收敛原理例例.1134的的收收敛敛性性判判别别广广义义积积分分 xdx解解,111103/43434xxx , 134 p根据比较审敛法，根

2、据比较审敛法，.1134收收敛敛广广义义积积分分 xdx发散发散则则或或如果如果收敛；收敛；存在，则存在，则使得使得，如果存在常数如果存在常数上连续，且上连续，且在区间在区间设函数设函数极限审敛法极限审敛法定理定理 axxapxdxxfxxfdxxfdxxfxfxpxfaaxf)(),)(lim(0)(lim)()(lim1. 0)()0(),)()(4例例.112的的收收敛敛性性判判别别广广义义积积分分 xxdx解解, 111lim22 xxxx所给广义积分收敛所给广义积分收敛例例.1122/3的收敛性的收敛性判别广义积分判别广义积分dxxx 解解2222/31lim1limxxxxxxxx

3、 , 根据极限审敛法，所给广义积分发散根据极限审敛法，所给广义积分发散例例.arctan1的的收收敛敛性性判判别别广广义义积积分分dxxx 解解xxxxxxarctanlimarctanlim ,2 根据极限审敛法，所给广义积分发散根据极限审敛法，所给广义积分发散也收敛也收敛收敛；则收敛；则如果如果上连续，上连续，在区间在区间设函数设函数定理定理 aadxxfdxxfaxf)()(),)(5证证).)()(21)(xfxfx 令令, )()(0)(xfxx ，且且,)(收敛收敛dxxfa .)(也也收收敛敛dxxa , )()(2)(xfxxf 但但,)()(2)( bababadxxfdxx

4、dxxf .)()(2)( aaadxxfdxxdxxf 即即收敛收敛.)(5称称为为绝绝对对收收敛敛条条件件的的广广义义积积分分满满足足定定理理定定义义 adxxf必定收敛必定收敛绝对收敛的广义积分绝对收敛的广义积分 adxxf)(例例5.)0,(sin0的收敛性的收敛性常数常数都是都是判别广义积分判别广义积分 abadxbxeax解解.,sin0收收敛敛而而 dxeebxeaxaxax.sin0收敛收敛 dxbxeax所以所给广义积分收敛所以所给广义积分收敛.二、无界函数的广义积分的审敛法二、无界函数的广义积分的审敛法.)(),()()(10)(),()()(10.)(lim, 0)(,(

5、)()2(60发散发散则广义积分则广义积分，使得，使得及及收敛；如果存在常数收敛；如果存在常数则广义积分则广义积分，使得，使得及及常数常数如果存在如果存在上连续，且上连续，且在区间在区间设函数设函数比较审敛法比较审敛法定理定理 baqbaqaxdxxfbxaaxNxfqNdxxfbxaaxMxfqMxfxfbaxf发散发散分分则广义积则广义积或或，使得，使得如果存在常数如果存在常数收敛；收敛；则广义积分则广义积分存在存在，使得，使得如果存在常数如果存在常数上连续，且上连续，且在区间在区间设函数设函数极限审敛法极限审敛法定理定理 baqaxqaxbaqaxaxdxxfxfaxdxfaxqdxxf

6、xfaxqxfxfbaxf)(),)()(lim(0)()(lim1)(,)()(lim10.)(lim, 0)(,()()2(0000例例6.ln31的的收收敛敛性性判判别别广广义义积积分分 xdx解解的的左左邻邻域域内内无无界界被被积积函函数数在在点点1 x由洛必达法则知由洛必达法则知xxxxx11limln1)1(lim0101 , 01 根据极限审敛法根据极限审敛法2,所给广义积分发散所给广义积分发散.例例7.1sin31的收敛性的收敛性判别广义积分判别广义积分dxxx 解解也也收收敛敛从从而而dxxx 101sin收敛，收敛，而而 1,11sinxdxxxx收敛，收敛，dxxx 10

7、1sin根据比较审敛原理根据比较审敛原理,例8. 判定椭圆积分判定椭圆积分) 1()1)(1 (d210222kxkxx散性 . 解解:,1为瑕点此处x由于 1limx的敛21) 1( x)1)(1 (1222xkx)1)(1 (1lim221xkxx)1 (212k根据极限审敛法 2 , 椭圆积分收敛 . 类似定理类似定理5, 有下列结论有下列结论:,)(d)(baaxxf收敛为瑕点若反常积分例例9. 判别反常积分xxxdln10的敛散性 .解解:,d)(baxxf收敛称为绝对收敛 . ,0为瑕点此处x,0lnlim410 xxx因, 1ln,41xxx 有的故对充分小从而 4141lnln

8、xxxxx411x据比较审敛法2, 所给积分绝对收敛 .则反常积分 )0()(01 sdxxessx定义定义特点特点: 1.积分区间为无穷积分区间为无穷;.001. 2右右领领域域内内无无界界的的时时被被积积函函数数在在点点当当 xs,1121011 dxxeIdxxeIsxsx设设;,1)1(1是常义积分是常义积分时时当当Is ,10时时当当 s函函数数三三、 ,111111sxssxxexxe ., 2, 111收收敛敛根根据据比比较较审审敛敛法法而而Is , 0lim)(lim)2(112 xsxsxxexxex., 12也也收收敛敛根根据据极极限限审审敛敛法法I.0)2(),1(01均

9、均收收敛敛对对知知由由 sdxxesxs)(s o 函数的几个重要性质：函数的几个重要性质：).0()()1( ssss递推公式递推公式.)(0 ss时时，当当).10(sin)1()(3 ssss余余元元公公式式.2)()(0122012 duuesuxdxxessusx有有，中中，作作代代换换在在 四、小结四、小结比较审敛法极限审敛法无穷限的广义积分审敛法比较审敛法极限审敛法无界函数的广义积分审敛法广广义义积积分分审审敛敛法法绝对收敛绝对收敛练练 习习 题题;23. 4;)(ln. 3;1sin. 2;1. 12132213120242 xxdxxdxdxxdxxxx的收敛性：的收敛性：一、判别下列广义积分一、判别下列广义积分.)1(ln. 2);0(. 1100 dxxndxepxn收敛范围：收敛范围：指出这些积分的指出这些积分的函数表