第10讲 垂直问题专题-备考2022年中考数学《二轮冲刺核心重点难点热点15讲》(全国通用)解析版

1、硬核：狙击2020中考数学重点/难点/热点一线三垂直如图1：若，且，则如图2：若，且，则 图1 图2射影定理如图3/4：中，则有如下结论成立：（1） 三条直角边看成竹竿，最长斜边ab看成地面；（2） 三竹竿的平方等于各自的两个地面影子之积；（3） 巧记：每条竹竿平方等于地面上的点出发的两条线段之积.ac2=ad·abcd2=da·dbcb2=bd·ba 图3 图4构造“一线三直角”（1）如图1/2/3：过的直角顶点，作一条直线，再分别过点a,c向其作垂线，垂足分别为点d、e，则截有结论成立： 图1 图2 图3（2）在平面直角坐标系中，常常化斜为直，作“横平竖直辅助

2、线”构造三角形相似，如图4，当见到abcd时，若过a、b、c、d四个顶点作“水平线”与“竖直线”，则有图4（3）除上述“三垂直相似”外，如图5，当见到矩形abcd中，efhg这种“十字架垂直”时，分别过e、h作“水平线”与“竖直线”，则有，若正方形，则相似变为全等.图5【例题1】将矩形oabc如图放置，o为原点，若点a的坐标是（1，2），点b的坐标是（2，），则点c的坐标是_.【解析】如图：过点a作aex轴于点e，过点b作bfx轴于点f，过点a作anbf于点n，过点c作cmx轴于点m，eao+aoe90°，aoe+moc90°，eaocom，又aeocmo，aeocom，b

3、an+oan90°，eao+oan90°，baneaocom，在abn和ocm中，abnocm（aas），bncm，点a（1，2），点b的纵坐标是，bn，cm，mo3，点c的坐标是：（3，）【例题2】如图，已知第一象限内的点a在反比例函数y上，第二象限的点b在反比例函数y上，且oaob，a30°，则k的值为【解析】过a作anx轴于n，过b作bmx轴于m第一象限内的点a在反比例函数y的图象上，设a（x，）（x0），onan1a30°，tana，oaob，bmoanoaob90°，mbo+bom90°，mob+aon90°，mb

4、oaon，mbonoa，bmon，oman又第二象限的点b在反比例函数y上，kombmon×an故答案为【例题3】如图，rtabc中，c90°，以斜边ab为边向外作正方形abde，且正方形对角线交于点o，连接oc，已知ac，oc，则另一直角边bc的长为【解析】过点o作omca，交ca的延长线于点m，作onbc于点n四边形abcd是正方形，oaob，aob90°，monaob90°，aombon，在aom和bon中，omaonb，omon，manbo点在acb的平分线上，ocm为等腰直角三角形法2：过点d作cb延长线的垂线，垂足为f，连接of，构造一线三直

5、角计算。oc，cmon1macmac1，bccn+nb1+故答案为：【例题4】在平面直角坐标系中，点a（1,3）b（2，-1），在一次函数的图像上是否存在点p，使得apb=90°，若存在，求出点p的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】两种解法，答案为或【例题5】如图，rtabc中，acb90°，ac6cm，bc8cm，动点p从点b出发，在ba边上以每秒5cm的速度向点a匀速运动，同时动点q从点c出发，在cb边上以每秒4cm的速度向点b匀速运动，运动时间为t秒（0t2），连接pq（1）若bpq与abc相似，求t的值；（2）连接aq、cp，若aqcp，求t的值【解析】根据勾股定

6、理得：ba；（1）分两种情况讨论：当bpqbac时，bp5t，qc4t，ab10，bc8，解得，t1，当bpqbca时，解得，t；t1或时，bpqbca；（2）过p作pmbc于点m，aq，cp交于点n，如图所示：则pb5t，pm3t，mc84t，nac+nca90°，pcm+nca90°，nacpcm，acqpmc，acqcmp，解得t1. 如图，抛物线y与x轴交于点a，点b，与y轴交于点c，点d与点c关于x轴对称，点p是x轴上的一个动点，设点p的坐标为（m，0），过点p作x轴的垂线l交抛物线于点q（1）求点a、点b、点c的坐标；（2）求直线bd的解析式；（3）当点p在线段

7、ob上运动时，直线l交bd于点m，试探究m为何值时，四边形cqmd是平行四边形；（4）在点p的运动过程中，是否存在点q，使bdq是以bd为直角边的直角三角形？若存在，求出点q的坐标；若不存在，请说明理由【解析】（1）令x0得；y2，c（0，2）令y0得：0，解得：x11，x24a（1，0），b（4，0）（2）点c与点d关于x轴对称，d（0，2）设直线bd的解析式为ykx2将（4，0）代入得：4k20，k直线bd的解析式为yx2（3）如图1所示：qmdc，当qmcd时，四边形cqmd是平行四边形设点q的坐标为（m，m2+m+2），则m（m，m2），m2+m+2（m2）4，解得：m2，m0（不合题

8、意，舍去），当m2时，四边形cqmd是平行四边形；（4）存在，设点q的坐标为（m，m2+m+2），bdq是以bd为直角边的直角三角形，当qbd90°时，由勾股定理得：bq2+bd2dq2，即（m4）2+（m2+m+2）2+20m2+（m2+m+2+2）2，解得：m3，m4（不合题意，舍去），q（3，2）；当qdb90°时，由勾股定理得：bq2bd2+dq2，即（m4）2+（m2+m+2）220+m2+（m2+m+2+2）2，解得：m8，m1，q（8，18），（1，0），综上所述：点q的坐标为（3，2），（8，18），（1，0）2. 如图1，对称轴为直线x的抛物线经过b（2，

9、0）、c（0，4）两点，抛物线与x轴的另一交点为a（1）求抛物线的解析式；（2）若点p为第一象限内抛物线上的一点，设四边形cobp的面积为s，求s的最大值；（3）如图2，若m是线段bc上一动点，在x轴是否存在这样的点q，使mqc为等腰三角形且mqb为直角三角形？若存在，求出点q的坐标；若不存在，请说明理由【解析】（1）由对称性得：a（1，0），设抛物线的解析式为：ya（x+1）（x2），把c（0，4）代入：42a，a2，y2（x+1）（x2），抛物线的解析式为：y2x2+2x+4；（2）如图1，设点p（m，2m2+2m+4），过p作pdx轴，垂足为d，ss梯形+spdbm（2m2+2m+4+4

10、）+（2m2+2m+4）（2m），s2m2+4m+42（m1）2+6，20，s有最大值，则s大6；（3）存在这样的点q，使mqc为等腰三角形且mqb为直角三角形，理由是：分以下两种情况：当bqm90°时，如图2：cmq90°，只能cmmq设直线bc的解析式为：ykx+b（k0），把b（2，0）、c（0，4）代入得：，解得：，直线bc的解析式为：y2x+4，设m（m，2m+4），则mq2m+4，oqm，bq2m，在rtobc中，bc2，mqoc，bmqbco，即，bm（2m）2m，cmbcbm2（2m）m，cmmq，2m+4m，m48q（48，0）解法一：当qmb90

11、6;时，如图3，由得：qmcmm，bm2m，qmbcob，m，qb，oq2，q（，0）解法二：当qmb90°时，如图4，过m作mfob于f，由得：qmcmm，设q（n，0），则qfmn，mf2m+4，mqfbco，q（，0）综上所述，q点坐标为（48，0）或（，0）3. 如图，在rtabc中，acb90°，acbc，abc45°，点d为bc的中点，cead于点e，其延长线交ab于点f，连接df求证：adcbdf【解析】证明：作bgcb，交cf的延长线于点g，如图所示：cbg90°，cfad，cad+adcbcg+adc90°，cadbcg，在a

12、cd和cbg中，acdcbg（asa），cdbg，cdacgb，cdbd，bgbd，abc45°，fbdgbfcbg，在bfg和bfd中，bfgbfd（sas），fgbfdb，adcbdf4. 如图，在平面直角坐标系中，点a（0，4）在y轴上，点b（b，0）是x轴上一动点，且4b0，abc是以ab为直角边，b为直角顶点的等腰直角三角形（1）求点c的坐标（用含b的式子表示）；（2）以x轴为对称轴，作点c的对称点c，连接bc、ac，请把图形补充完整，并求出abc的面积（用含b的式子表示）；（3）点b在运动过程中，oac的度数是否发生变化，若变化请说明理由；若不变化，请直接写出oac的度数

13、 【解析】（1）如图，过点c作cex轴，垂足为e，abc是等腰直角三角形，abbc，abc90°，abe+cbe90°，cbe+bce90°，abebce，且abbc，aobbec90°，abobce（aas）boce，aobe，点a（0，4），点b（b，0），且4b0，beoa4，boecb，oe4+b点c坐标（4+b，b）（2）根据题意画出图形，如下图，点c与点c'关于x轴对称，点c'（4+b，b），c'cx轴，sabc'sabo+s梯形aoec'sbec'×（b）×4+×

14、（4b）（4+b）×4×（b），sabc'8b2，（3）点b在运动过程中，oac的度数不发生变化，理由如下：如图，过点a作afec'，垂足为f，afec'，ec'be，aooe，四边形aoef是矩形，aoef4，oeaf4+b，c'fefec'4（b）4+b，afc'f，且afe90°，fac'45°，且oaf90°，oac'45°5. 如图，acb为等腰直角三角形，a（1，0），c（1，3），acbc，求b点坐标 【解析】如图，过点c作直线lx轴，作ael于e，

15、bfl于facb是等腰直角三角形，acbc，aecacbbfc90°，ace+eac90°，ace+bcf90°，eacbcf，aeccfb，aecf3，bfec2，b（4，1）6. 在正方形abcd中，点h，e，f分别在边ab，bc，cd上，aehf于点g（1）如图1，求证：aehf；（2）如图2，延长fh，交cb的延长线于m，连接ac，交hf于n若mbbe，ec2be，求的值；（3）如图3，若ab2，bhdf，将线段hf绕点f顺时针旋转90°至线段mf，连接am，则线段am的最小值为（直接写出结果）【解析】（1）证明：如图1中，作hmcd于m四边形a

16、bc都是正方形，bccmh90°，abbc，四边形bcmh是矩形，hmbcab，aehf，aghahm90°，bae+ahg90°，ahg+fhm90°，baefhm，bhmf90°，abehmf（asa），aehf（2）解：如图2中，ec2be，不妨设bebma，ec2a，则abbccd3a，cm4a，tanbae，abemge90°，bae+aeb90°，m+aeb90°，mbae，tan，bha，cfa，ahabbh3aaa，cfah，anhcnf，2（3）解：如图3中，延长ba到n，使得anad，作mjan

17、于j，交cd的延长线于k，作fqab于q，则四边形bcfq，四边形adkj都是矩形，fqhfkm（aas）qkkm，dfaqbh，kjadab，jmaq+bh2aq，fkfqjqadan，aqjn，jm2jn，tann2，点m的运动轨迹是射线nm，n是的定值，作apmn于p，根据垂线段最短可知：当am与ap重合时，am的值最小，tann2，设npx，ap2x，在rtapn中，则有22x2+4x2，解得x（负根已经舍弃），pa2x，am的最小值为7. （2019武汉模拟）（1）如图1，已知dbbc，acbc，垂足分别为点b，c，aecd于点f，求证：；（2）在abc中，点d在ab上，点e在bc上

18、，且aecd于f点如图2，若acb90°，tanb，且ae2cd，求的值；如图3，若acb90°，tanb2，且ae2cd求的值【解析】（1）证明：dbbc，acbc，bace90°，aecd，a+acd90°，acd+dcb90°，adcb，aeccdb，；（2）解：如图2，过点d作dhbc于h，由（1）知，aeccdh，2，在rtbde中，tanb，设bh3a，则dh5a，ec2dh10a，设heb，则chce+he10a+b，ac2ch20a+2b，在rtabc中，tanb，整理，得，b5a，ch15a，dhbc，acbc，dhbacb9

19、0°，dhac，5；如图3，过点d作dmbc于m，过点a作anbc于n，则anecmd90°，aecd，fce+fec90°ean+fec90°，fceean，aencdm，2，在rtabn中，tanb2，cmbn，bmcn，设bmcnx，则dm2x，在rtdbm中，bdx，2，en2dm4x，ceen+cn5x，8. 已知在平面直角坐标中，点a（m，n）在第一象限内，aboa且aboa，反比例函数y的图象经过点a，（1）当点b的坐标为（4，0）时（如图），求这个反比例函数的解析式；（2）当点b在反比例函数y的图象上，且在点a的右侧时（如图2），用含字母

20、m，n的代数式表示点b的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，求的值【解析】（1）过a作acob，交x轴于点c，oaab，oab90°，aob为等腰直角三角形，acocbcob2，a（2，2），将x2，y2代入反比例解析式得：2，即k4，则反比例解析式为y；（2）过a作aex轴，过b作bdae，oab90°，oae+bad90°，aoe+oae90°，badaoe，在aoe和bad中，aoebad（aas），aebdn，oeadm，deaeadnm，oe+bdm+n，则b（m+n，nm）；（3）由a与b都在反比例图象上，得到mn（m+n）（nm），整理得：

21、n2m2mn，即（）2+10，这里a1，b1，c1，1+45，a（m，n）在第一象限，m0，n0，则9. 如图，直线ykx与双曲线y交于a、b两点，点c为第三象限内一点（1）若点a的坐标为（a，3），求a的值；（2）当k，且cacb，acb90°时，求c点的坐标；（3）当abc为等边三角形时，点c的坐标为（m，n），试求m、n之间的关系式【解析】（1）由于点a在反比例函数图象上，所以3，解得a2；（2）连接co，作ady轴于d点，作ce垂直y轴于e点，acb90°，cacb，ocaboa，aoc90°aod+coe90°，coe+oce90°，

22、ocedoa在ado和oec中adooec，ceod，oead由k时，yx，点a是直线 ykx与双曲线y的交点，所以，解得x±2，y±3a点坐标为（2，3），ceod3，eoda2，所以c（3，2）（3）连接co，作ady轴于d点，作cey轴于e点，反比例函数和正比例函数都是中心对称图形，它们都关于原点对称，oaob又abc为等边三角形，aocboc90°，aod+dao90°，coe+boe90°，doaboedaocoeadooec，由于aco30°，tanaco因为c的坐标为（m，n），所以cem，oen，adn，odm，所以a

23、（n，m），代入y中，得mn1810.（2019扬州一模）有一边是另一边的倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角叫做智慧角（1）在rtabc中，acb90°，若a为智慧角，则b的度数为45°；（2）如图，在abc中，a45°，b30°，求证：abc是智慧三角形；（3）如图，abc是智慧三角形，bc为智慧边，b为智慧角，a（3，0），点b，c在函数y（x0）的图象上，点c在点b的上方，且点b的纵坐标为当abc是直角三角形时，求k的值【解析】（1）如图1，在rtabc中，acb90°，a是智慧角，abac，根据根据勾股定理

24、得，bcac，ba45°，故答案为45°；（2）如图2，过点c作cdab于点d在rtacd中，a45°，acdc在rtbcd中，b30°，bc2dcabc是智慧三角形（3）由题意可知abc90°或bac90°当abc90°时，如图3，过点b作bex轴于点e，过点c作cfeb交eb延长线于点f，过点c作cgx轴于点g，则aebfabc90°bcf+cbfabe+cbf90°bcfabebcfabe设aea，则bfabe，cf2ogoa+aege3+a21+a，cgef+a，b（3+a，），c（1+a，+a）点b，c在函数y（x0）的图象上，（3+a）（1+a）（+a）k解得：a11，a22（舍去）k当bac90°时，如图4，过点c作cmx轴于点m，过点b作bnx轴于点n则cmacabanb90°mca+camban+cam90°mcaban由（1）知b45°abc是等腰直角三角形aca