2025千题百炼-高考数学100个热点问题（一）：第30炼 y=Asin（wx t）的解析式的求解含答案

2025千题百炼——高考数学100个热点问题（一）：第30炼y=Asin（wxt）的解析式的求解含答案第30炼函数解析式的求解在有关三角函数的解答题中，凡涉及到的性质时，往往表达式不直接给出，而是需要利用已知条件化简或求得得到，本讲主要介绍求解解析式的一些技巧和方法一、基础知识：（一）表达式的化简：1、所涉及的公式（要熟记，是三角函数式变形的基础）（1）降幂公式：（2）（3）两角和差的正余弦公式（4）合角公式：，其中（这是本讲的主角，也是化简的终结技）2、关于合角公式：的说明书：（1）使用范围：三个特点：①同角（均为），②齐一次，③正余全（2）操作手册：如果遇到了符合以上三个条件的式子，恭喜你，可以使用合角公式将其化为的形式了，通过以下三步：①一提：提取系数：，表达式变为：②二找：由，故可看作同一个角的正余弦（称为辅助角），如，可得：③三合：利用两角和差的正余弦公式进行合角：（3）举例说明：①②③（4）注意事项：①在找角的过程中，一定要找“同一个角”的正余弦，因为合角的理论基础是两角和差的正余弦公式，所以构造的正余弦要同角②此公式不要死记硬背，找角的要求很低，只需同一个角的正余弦即可，所以可以从不同的角度构造角，从而利用不同的公式进行合角，例如上面的那个例子：，可视为，那么此时表达式就变为：，使用两角差的余弦公式：所以，找角可以灵活，不必拘于结论的形式。找角灵活，也要搭配好对应的三角函数公式。当然，角寻找的不同，自然结果形式上也不一样，但与本质是同一个式子（为什么？想想诱导公式的作用~）③通常遇到的辅助角都是常见的特殊角，这也为我们的化简提供了便利，如果提完系数发现括号里不是特殊角的正余弦，那么可用抽象的来代替，再在旁边标注的一个三角函数值。3、表达式的化简攻略：可化简的表达式多种多样，很难靠列举一一道明，化简往往能够观察并抓住式子的特点来进行操作，所以说几条适用性广的建议：（1）观察式子：主要看三点①系统：整个表达式是以正余弦为主，还是正切（大多数情况是正余弦），确定后进行项的统一（有句老话：切割化弦）②确定研究对象：是以作为角来变换，还是以的表达式（例如）看做一个角来进行变换。③式子是否齐次：看每一项（除了常数项）的系数是否一样（合角公式第二条：齐一次），若是同一个角（之前不是确定了研究对象了么）的齐二次式或是齐一次式，那么很有可能要使用合角公式，其结果成为的形式。例如：齐二次式：，齐一次式：（2）向“同角齐次正余全”靠拢，能拆就拆，能降幂就降幂：常用到前面的公式，（还有句老话：平方降幂）例如：，确定研究对象了：，也齐一次，但就是角不一样（一个是，一个是）那么该拆则拆，将打开于是就可合角了（二）求解的值以确定解析式1、的作用（1）称为振幅，与一个周期中所达到的波峰波谷有关（2）：称为频率，与的周期相关，即（3）：称为初相，一定程度上影响的对称轴，零点2、的常规求法：（1）：①对于可通过观察在一个周期中所达到的波峰波谷（或值域）得到②对于可通过一个周期中最大，最小值进行求解：（2）：由可得：只要确定了的周期，即可立刻求出，而的值可根据对称轴（最值点）和对称中心（零点）的距离进行求解①如果相邻的两条对称轴为，则②如果相邻的两个对称中心为，则③如果相邻的对称轴与对称中心分别为，则注：在中，对称轴与最值点等价，对称中心与零点等价。（3）：在图像或条件中不易直接看出的取值，通常可通过代入曲线上的点进行求解，要注意题目中对的限制范围3、确定解析式要注意的几个问题：（1）求参数的顺序问题：理论上，三个参数均可以通过特殊点的代入进行求解，但由于与函数性质联系非常紧密，所用通常先抓住波峰波谷以确定的值，再根据对称轴对称中心的距离确定，进而求出，最后再通过代入一个特殊点，并根据的范围确定。（2）求时特殊点的选取：往往优先选择最值点，因为最值点往往计算出的值唯一，不会出现多解的情况。如果代入其它点（比如零点），有时要面临结果取舍的问题。二、典型例题：例1：化简：解：原式例2：化简：解：例3：解：方法一：拆开化简方法二：将视为一个整体，则例4：如图，函数的图像经过点，且该函数的最大值为，最小值为，则该函数的解析式为（）A.B.C.D.思路：由题目所给最值可得，图中所给两个零点的距离刚好是函数一个周期的长度。所以，此时解析式为，优先代入最值点，尽管其横坐标未在图上标明，但可知最大值点横坐标与的距离为，所以代入可得：，由可解得：，所以解析式为答案：A小炼有话说：（1）本题在求时，最值点的横坐标未知。但为了避免结果的取舍，依然优先选择最值点，那么在的图像中可根据零点的位置结合图象和周期确定最值点的横坐标。只要最值点可求，就用最值点求得（2）为什么不能用其它点？不妨以此题为例，代入零点求解再进行对比。代入可得：，从而在中的值有两个：，那么到底哪个是符合图像的呢？不妨再代入最值点验证，会发现时，，与图像不符，所以舍去。为什么代入最值点就算出一个解，而代入其它点会出两个解呢？从表达式上看源自正弦值与角的特点。一个周期里当正弦值取到时，对应的角只有一个，而正弦值取到时，会出现一个正弦值对应两个角的情况。所以自然就会出现多解问题。那么时对应的图像是什么样的呢？如右图所示：可发现其周期与零点和已知图像完全一致，只是在最值点处刚好关于轴对称。如果是曲线上的其它点也是会出现两个图像，而其中只有一个是正确的。当然有些题目对的取值范围刻画更加严格，那么代入非最值点也可得到唯一解。（3）本题除了可用纯代数方法计算，还可以利用图像变换得到的取值，由前面计算出，可得函数图象从进行了横纵坐标的放缩，此时解析式为，这个函数图象的特点是过原点。而与已知图像比较，可得已知图像相当于图像向左平移了个单位。所以。利用图像变换求解析式关键要分析出所求图像与的联系（即如何平移得到）。例5：如图所示为函数的部分图像，其中两点之间的距离为，那么_________思路：如图可得，从而计算出，所以，进而而，所以，此时，而，解得，所以答案：例6：已知函数，其导函数的部分图像如图所示，则函数的解析式是（）A.B.C.D.思路：，可先从周期入手确定的值，，所以，再由最值可得：，代入即可解出：，所以，即。从而的解析式为答案：B例7：已知函数的图像如图所示，，则（）A.B.C.D.思路一：可以考虑确定的解析式进而求出，如图可计算出，所以，取零点的中点可得对称轴而，从而，解出一个值。所以，且，所以，进而思路二：同思路一先解出，则，从图中可得与关于中心对称，从而答案：C小炼有话说：（1）本题中尽管没有给出最值，但是并不妨碍的求解。从计算过程中也可以看出，是可以消掉的。所以求关键在于找到最值点的横坐标（2）思路二跳过了求解析式，而是利用周期性与对称性直接得到的值。对于函数中，处处暗藏着对称与周期的关系，巧妙运用这些关系可以在求函数值时事半功倍。例8：已知函数的图像与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图像上一个最低点为，则的解析式为____________思路：可从文字叙述中得到图像的特点，从而求出参数的值：相邻交点距离可得，从而，由最小值点可得到两个信息：一个是，另一个是点即为求所要代入的特殊点。此时，则，即，解得：，所以答案：例9：已知函数的最大值为4，最小值为0，两条对称轴之间最短距离为，直线是其图像的一条对称轴，则函数解析式为________思路：先求出的值，由题目所给最值可得：，再由对称轴距离为可求得，从而。此时函数解析式为，因为一条对称轴为，所以，由得：，当取到最大值时，即，所以，进而，解析式为答案：例10：已知是函数一个周期内图像上的五个点，如图所示，，为轴上的点，为图像上的最低点，为该函数图象的一个对称中心，关于点中心对称，在轴上的投影为，则函数的解析式为____________思路：设图像的最高点为，可知关于中心对称，关于点中心对称，所以与关于中心对称，所以在轴上的投影也为，而，所以可得在轴上的投影为，从而，此时，将代入可得：，所以，即，从而答案：第31炼解三角形中的要素一、基础知识：1、正弦定理：，其中为外接圆的半径正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征。如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行例如：（1）（2）（恒等式）（3）2、余弦定理：变式：（1）①此公式通过边的大小（角两边与对边）可以判断出是钝角还是锐角当时，，即为锐角；当（勾股定理）时，，即为直角；当时，，即为钝角②观察到分式为齐二次分式，所以已知的值或者均可求出（2）此公式在已知和时不需要计算出的值，进行整体代入即可3、三角形面积公式：（1）（为三角形的底，为对应的高）（2）（3）（为三角形内切圆半径，此公式也可用于求内切圆半径）（4）海伦公式：（5）向量方法：（其中为边所构成的向量，方向任意）证明：，而坐标表示：，则4、三角形内角和（两角可表示另一角）。5、确定三角形要素的条件：（1）唯一确定的三角形：①已知三边（SSS）：可利用余弦定理求出剩余的三个角②已知两边及夹角（SAS）：可利用余弦定理求出第三边，进而用余弦定理（或正弦定理）求出剩余两角③两角及一边（AAS或ASA）：利用两角先求出另一个角，然后利用正弦定理确定其它两条边（2）不唯一确定的三角形①已知三个角（AAA）：由相似三角形可知，三个角对应相等的三角形有无数多个。由正弦定理可得：已知三个角只能求出三边的比例：②已知两边及一边的对角（SSA）：比如已知，所确定的三角形有可能唯一，也有可能是两个。其原因在于当使用正弦定理求时，，而时，一个可能对应两个角（1个锐角，1个钝角），所以三角形可能不唯一。（判定是否唯一可利用三角形大角对大边的特点，具体可参考例1）6、解三角形的常用方法：（1）直接法：观察题目中所给的三角形要素，使用正余弦定理求解（2）间接法：可以根据所求变量的个数，利用正余弦定理，面积公式等建立方程，再进行求解7、三角形的中线定理与角平分线定理（1）三角形中线定理：如图，设为的一条中线，则（知三求一）证明：在中①②为中点①②可得：（2）角平分线定理：如图，设为中的角平分线，则证明：过作∥交于为的角平分线为等腰三角形而由可得：二、典型例题：例1：（1）的内角所对的边分别为，若，则_____（2））的内角所对的边分别为，若，则_____思路：（1）由已知求可联想到使用正弦定理：代入可解得：。由可得：，所以答案：（2）由已知求可联想到使用正弦定理：代入可解得：，则或，由可得：，所以和均满足条件答案：或小炼有话说：对比（1）（2）可发现对于两边及一边的对角，满足条件的三角形可能唯一确定，也有可能两种情况，在判断时可根据“大边对大角”的原则，利用边的大小关系判断出角之间的大小关系，判定出所求角是否可能存在钝角的情况。进而确定是一个解还是两个解。例2：在中，，若的面积等于，则边长为_________思路：通过条件可想到利用面积与求出另一条边，再利用余弦定理求出即可解：答案：例3：（2012课标全国）已知分别为三个内角的对边，且有（1）求（2）若，且的面积为，求（1）思路：从等式入手，观察每一项关于齐次，考虑利用正弦定理边化角：，所涉及式子与关联较大，从而考虑换掉，展开化简后即可求出解：即或（舍）（2）思路：由（1）可得，再由，可想到利用面积与关于的余弦定理可列出的两个方程，解出即可解：可解得小炼有话说：通过第（1）问可以看出，在遇到关于边角的方程时，可观察边与角正弦中是否具备齐次的特点，以便于进行边角互化。另一方面当角同时出现在方程中时，通常要从所给项中联想到相关两角和差的正余弦公式，然后选择要消去的角例4：如图，在中，是边上的点，且，则的值为___________思路：求的值考虑把放入到三角形中，可选的三角形有和，在中，已知条件有两边，但是缺少一个角（或者边），看能否通过其它三角形求出所需要素，在中，三边比例已知，进而可求出，再利用补角关系求出，从而中已知两边一角，可解出解：由可设则在中，在中，由正弦定理可得：小炼有话说：（1）在图形中求边或角，要把边和角放入到三角形当中求解，在选择三角形时尽量选择要素多的，并考虑如何将所缺要素利用其它条件求出。（2）本题中给出了关于边的比例，通常对于比例式可考虑引入一个字母（例如本题中的），这样可以将比例转化为边的具体数值，便于计算例5：已知中，分别是角所对边的边长，若的面积为，且，则等于___________思路：由已知可联想到余弦定理关于的内容，而，所以可以得到一个关于的式子，进而求出解：而代入可得：答案：例6：在中，内角所对的边分别为，已知的面积为，则的值为.思路：已知求可以联想到余弦定理，但要解出的值，所以寻找解出的条件，，而代入可得，再由可得，所以答案：例7：设的内角所对边的长分别为，若，且，则的值为（）A.B.C.D.思路：由可得：，从而，解得，从可联想到余弦定理：，所以有，从而再由可得，所以的值为答案：C小炼有话说：本题的难点在于公式的选择，以及所求也会让我们想到正弦定理。但是通过尝试可发现利用角进行计算较为复杂。所以在解三角形的题目中，条件的特征决定选择哪种公式入手；如果所给是关于边，角正弦的其次式，可以考虑正弦定理。如果条件中含有角的余弦，或者是边的平方项，那么可考虑尝试余弦定理。例8：设的内角所对边的长分别为，且，则（）A.B.C.D.或思路：由的结构可以联想到余弦定理：，可以此为突破口，即，代入解得：，进而求出，得到比例代入余弦定理可计算出解：由可得：，代入到可得：例9：已知的三边长为三个连续的自然数，且最大内角是最小内角的2倍，则最小内角的余弦值是（）A.B.C.D.思路：不妨考虑，将三个边设为，则，想到正弦定理，再将利用余弦定理用边表示，列方程解出，从而求出解：设，则代入可得：，解得：答案：A小炼有话说：本题的特色在于如何利用“最大内角是最小内角2倍”这个条件，可联想到正余弦的二倍角公式。本题采用正弦二倍角公式，在加上余弦定理可之间与题目中边的条件找到联系。如果采用余弦二倍角公式，则有，即便使用余弦定理也会导致方程次数过高，不利于求解。例10：在中，为边上一点，，若的面积为，则_________思路：要求出，可在中求解，通过观察条件，可从可解，解出，进而求出，再在中解出，从而三边齐备，利用余弦定理可求出解：同理答案：小炼有话说：（1）本题与例4想法类似，都是把所求要素放入到三角形中，同时要通过条件观察哪个三角形条件比较齐备，可作为入手点解出其他要素（2）本题还可以利用辅助线简化运算，作于，进而利用在中得，再用解出进而，则在上所以可得：，所以三、近年好题精选1、设的内角所对边的长分别为，且，则（）A.B.C.D.2、设的内角所对边的长分别为，且，则的值为（）A.B.C.D.3、在中，为边上一点，，若，则（）A.B.C.D.4、（2015，北京）在中，，则_______5、（2015，广东）设的内角的