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文档简介
1、会计学1欧拉方程欧拉方程(fngchng)第一页,共11页。解法:欧拉方程是特殊的变系数方程,通过变量解法:欧拉方程是特殊的变系数方程,通过变量(binling)代换可化为常系数微分方程代换可化为常系数微分方程.)(1)1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn 的方程的方程(其中其中nppp21,形如形如叫叫欧拉方程欧拉方程.为常数为常数)特点:各项未知函数导数的阶数与乘积因子特点:各项未知函数导数的阶数与乘积因子(ynz)自变量的方次数相同自变量的方次数相同第1页/共10页第二页,共11页。作变量作变量(binling)变换变换,ln xtext 或或,1dtdyxdxdtdtdyd
2、xdy ,122222 dtdydtydxdxyd将自变量换为将自变量换为, t,2312233333 dtdydtyddtydxdxyd第2页/共10页第三页,共11页。用用D表示对自变量表示对自变量t求导的运算求导的运算,dtd上述上述(shngsh)结果可以结果可以写为写为,Dyyx ,)1()(2222yDDyDDdtdydtydyx ,)2)(1()23(232322333yDDDyDDDdtdydtyddtydyx 第3页/共10页第四页,共11页。.)1()1()(ykDDDyxkk 将上式代入欧拉方程,则化为以将上式代入欧拉方程,则化为以 为自变量为自变量t的常系数的常系数线性
3、微分方程线性微分方程.求出这个方程的解后求出这个方程的解后,t把把 换为换为 ,xln即得到原方程的解即得到原方程的解.一般一般(ybn)地地,例例求欧拉方程求欧拉方程(fngchng)22334xyxyxyx 的通解的通解(tngji)解解作变量变换作变量变换,ln xtext 或或第4页/共10页第五页,共11页。原方程原方程(fngchng)化为化为,34)1()2)(1(2teDyyDDyDDD 即即,332223teDyyDyD 或或.33222233tedtdydtyddtyd (1)方程方程(fngchng)(1)所对应的齐次方程所对应的齐次方程(fngchng)为为, 0322
4、233 dtdydtyddtyd其特征方程其特征方程, 03223 rrr第5页/共10页第六页,共11页。特征方程的根为特征方程的根为. 3, 1, 0321 rrr所以齐次方程所以齐次方程(fngchng)的的通解为通解为tteCeCCY3321 设特解为设特解为,22bxbeyt 代入原方程代入原方程(fngchng),得,得.21 b所给欧拉方程所给欧拉方程(fngchng)的通解的通解为为.2123321xxCxCCy ,22xy 即即.3321xCxCC 第6页/共10页第七页,共11页。欧拉方程欧拉方程(fngchng)解法思解法思路路变系数变系数(xsh)的线性微分方的线性微分
5、方程程常系数的线性常系数的线性微分方程微分方程变量代换变量代换注意:欧拉方程的形式注意:欧拉方程的形式xtextln 或或第7页/共10页第八页,共11页。练练 习习 题题.ln433;ln2ln222; 0122222xxxyyxyxxxyyxyxyyxyx :求下列欧拉方程的通解求下列欧拉方程的通解第8页/共10页第九页,共11页。练习题答案练习题答案(d n).ln61ln3.41)ln(ln212.1322221222121xxxxxCxCyxxxCxCyxCCy 第9页/共10页第十页,共11页。NoImage内容(nirng)总结会计学。解法:欧拉方程是特殊的变系数方程,通过变量代换可化为常系数微分方程.。特点:各项未知函数导数
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