2019年中考数学压轴题汇编解析版

1、v1.0可编辑可修改(2019年安徽23题)23. (14 分)如图，RtAABC, / ACB= 90° , AC= BC P为 ABC*J部一点，且/ APB= ZBPG= 135° .(1)求证： PA中 PBC(2)求证：PA= 2Pq(3)若点P到三角形的边 AB, BC CA的距离分别为h2, h3,求证h；= h2? h3.【分析】(1)利用等式的性质判断出/ PBC= /PAB即可得出结论;(3)先判断出 RtAAEfRtCDP得出里望二即h3 = 2hz,再由 PA即 PBC DP PC -判断出h产匹卜”，即可得出结论【解答】 解：(1) ./ACB=

2、90° , AB= BC ./ABC= 45° =Z PBA/PBC又/ APB= 135 , ./ PABZ PBA= 45/ PBC= / PAB又. / APB= / BPC= 135PA中 PBC(2) . PA即 APBC一二二占PB PC BC在 RtMBC中,AB= AC- AB_ r-前-我PB=V?PC- P仁比 PB.PA=2PC(3)如图，过点 P作PDL BC PEH_AC交BC AC于点D, E, .PF= hi, PD= h2, PE= h3,Z CPBZ APB= 135° +135° =270 / APC90 , ./ E

3、AF+Z ACP= 90 ,又. / ACB= / ACPZ PCD= 90°/ EAP= / PCDRtAAEF RtACDP.里望DF FCh3 二2，即7-二2h2h3= 2h2. PA PBC99h1'=2h2d-2h2'h2 = h2h3-即：hi2= h2? h3.【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出/EA2 / PCD是解本题的关键.(2019年北京27题)27. (7分)已知/ AOB= 30° , H为射线 OA±一定点，0匹百+1, P为射线 OB上一点，M 为线段OH±-动点，连

4、接PM满足/ OM明钝角，以点P为中心，将线段PMW时针旋 转150。，得到线段 PN连接ON(1)依题意补全图1;(2)求证：/ OMP/ OPN(3)点M关于点H的对称点为 Q连接QP写出一个 OP的值，使得对于任意的点M总(2)由旋转可得/ MPN= 150° ,故/ OPN= 150° - Z OPM由Z AOB= 30°和三角形内角 和 180° 可得/ OMP 180 - 30° -Z OPIW 1500 -Z OPM 得证.(3)根据题意画出图形，以 ON= QP%;已知条件反推 OP的长度.由(2)的结论/ OMP /OPNK想

5、到其补角相等，又因为旋转有 P阵PN,已具备一边一角相等，过点 N作NCL OBT点C,过点P作PDL OA于点D,即可构造出 PD阵 NCP进而得PD= NC D阵CP此 时加上ON= QP则易证得 OC阵4QDP所以OC= QD利用/ AO屋30° ,设PD= NC= a, 则 042a,OD= /ja.再设 DM= C2 x,所以 QD= OC= OF+PC= 2a+x,MQ= DMQD= 2a+2x.由 于点M Q关于点H对称，即点H为MQ点，故 MH= -MQ= a+x, DH= MH- DMka,所以 0H= ODDH= V3a+a=V3+1,求得a= 1,故0鼻2,证明

6、过程则把推理过程反过来，以0日2为条件，利用构造全等证得 0N= QP【解答】解：(1)如图1所示为所求.K却(2)设/ OPIW a , 线段PM点P顺时针旋转150。得到线段PN ./ MPN= 150 , P阵 PN ./OPN= / MPN Z OPIM= 150° - aAOB= 30° .Z OMP 180 -/AOS Z OPIW 180° -30° - a = 150° - a Z OMP/ OPN(3) OP= 2时，总有ON= QP证明如下：过点N作Nd O时点C,过点P作PDL O点D,如图2 ./ NCP= / PDIM

7、= / PDQ= 90° . / AOB= 30 , OP= 2PD= OP= 12OD=' P - O* :;+1 .DH= OH- O氏 1 / OMP/ OPN .180 - / OMP 180° - / OPN即/ PMD= / NPC在 PDMf NC冲fZPDK=ZNCPZPKD=ZNFCPM二HPPD阵 NCP(AAS，PD= NC DM= CP设 DM= CPx,贝U OC= ORPC= 2+x, MH= MI+DH= x+1 点M关于点H的对称点为 Q. HO MH= x+1. DO DH-HO 1+x+1 = 2+x. OC= DQ在 OCNf

8、QD斗ir0C=QDZOCN=ZQDP=0°,NC=FD . OC阵 QDP (SAS. ON= QP图251【点评】本题考查了根据题意画图，旋转的性质，三角形内角和180。，勾股定理，全等三角形的判定和性质，中心对称的性质.第（3）题的解题思路是以 ON= QP为条件反推OP的长度，并结合（2）的结论构造全等三角形； 而证明过程则以 OP= 2为条件构造全等证明ON= QP（2019年北京28题） 28. （7分）在 ABCf, D, E分别是 ABC两边的中点，如果DE上的所有点都在 ABC勺内部或边上，则称DE为 ABC的中内弧.例如，图1中DE是 ABC的一条中内弧.D3（1

9、）如图2,在RHABC中，AB= AC= 22, D, E分别是 AB, AC的中点，画出 ABC的最长的中内弧DE,并直接写出此时血的长;(2)在平面直角坐标系中，已知点A (0, 2), B (0, 0), C (4t, 0) (t>0),在ABC中，D, E分别是AB, AC的中点.若t=二，求 ABC勺中内弧正所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；2若在 ABC存在一条中内弧 血，使得 血所在圆的圆心 P在 ABC的内部或边上，直 接写出t的取值范围.【分析】(1)由三角函数值及等腰直角三角形性质可求得DE 2,最长中内弧即以 DE为直径的半圆， 箍的长即以DE为直径的圆周长的一半；

10、(2)根据三角形中内弧定义可知，圆心一定在DE的中垂线上，当t=时，要注意圆 心P在DE上方的中垂线上均符合要求， 在D讣方时必须 AC与半径PE的夹角/ AEP荫足 90。AEk 135。；根据题意，t的最大值即圆心 P在AC上时求得的t值.【解答】解：(1)如图2,以DE为直径的半圆弧无礼就是 ABC勺最长的中内弧近，连接 DEA= 90。，AB= AC=2jl, D, E分别是 AB AC的中点，BC=-：sinB2V2BC=X 4 = 22，弧 DE=(2)如图3,由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接 DE,彳DE垂直平分线FP,彳EGL AC FP于G当 t=时，C

11、 (2, 0), . D (0,1), E (1,1), F (上，1),22设P (L, mt由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE上方射线FP上均可，而1,2OA= OC / AOe 90°. ./AC® 45° ,. DE/ OC.Z AED= / AC。45°作EGLAC交直线FP于G FG= EF=±根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方(含点 G直线FP上时也符合要求；综上所述，mcL或西1.2如图4,设圆心P在AC上， . P在DE中垂线上， .P为AE中点，作 PML OCT M 则PM=上，2 P (t,), 2. DE/

12、 BC .Z ADE= / AOB= 90° -AE= JaD?+De2=2 =，. PD= PE ./ AED= / PDE /AED/DAE= Z PDEZADP= 90° ,/ DAE= / ADP .AP= PD= PE= AE2由三角形中内弧定义知，PCX PM .XaE<, AE< 3,即山 ” + W3,解得：t<V2, t >0-0<t< 72.【点评】此题是一道圆的综合题，考查了圆的性质，弧长计算，直角三角形性质等，给 出了 “三角形中内弧”新定义，要求学生能够正确理解新概念，并应用新概念解题.（2019年福建24题）2

13、4. （12分）如图，四边形 ABCDJ接于。Q AB= AC AdBD,垂足为E,点F在BD的延长线上，且 DF= DC连接AR CF.（1）求证：/ BAC= 2/CAD（2）若 AF= 10, BC= 4、后,求 tan/BAD勺值.>1【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出/ ABC= / ACB根据圆心角、弧、弦的关系得 到菽=应，即可得到/ ABC= /ADB根据三角形内角和定理得到/ AB吟（9BAC =90° - Z BAC / ADB= 90° -Z CAD 从而得到 / BAC= / CAD 即可证得结论；（2）易证得BC= CF= 4JQ 即可证

14、得 AE直平分BF,证得AB= AF= 10,根据勾股定理求得AE CE BE根据相交弦定理求得 DE即可求得BD然后根据三角形面积公式求得DH进而求得 AH解直角三角函数求得 tan/BAD勺值.【解答】解：(1) AB= AC,A3= AC, Z ABG= Z ACBZ ABC Z ADB / ABC=1 (180 - Z BAC =90 - _L Z BAC. BDLAC ./ ADB= 90° -Z CAD.，/ BAC= / CAD2 ./ BAC= 2/CAD(2)解： D已 DQ ./ DFC= / DCF ./ BDC= 2/ DFC/ BFC=1/ BDC= X/

15、BAC= / FBC 22CB= CF,又 BDLAG.AC是线段 BF的中垂线，AB= AF= 10, AC= 10.又BC= 4后,设 AE= x, CE= 10-x,由 A百一A=BC2CE,得 100 -x2= 80- ( 10-x) 2,解得x=6, .AE= 6, BE= 8, CE= 4,=3,，BD= B曰DE= 3+8=11,作DHL AB,垂足为H, . AB? DH=BD? AE 22.n»BDAE 11X6 33DH=AB 105【点评】 本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数，圆心角、弧、弦的关系，相交弦定理，等腰三角形的判定和性质等知识

16、，解题的关键是熟练掌握并灵活运用性质定理，属于中考压轴题.（2019年甘肃兰州27题）27. （10分）通过对下面数学模型的研究学习，解决问题.【模型呈现】如图，在 Rt AB（C Z ACB= 90° ,将斜边 AB绕点A顺时针旋转90°得到AD过点D作DEEL AC于点E,可以推理得到 AB挈 DAE进而得到 AC= DE BC= AE我们把这个数学模型成为“ K型”.推理过程如下:【模型应用】如图，在 ABCft接于。O Z ACB= 90。，BC= 2,将斜边 AB绕点A顺时针旋转一定的角度得到 AD过点D作DEL AC于点E, / DAE= Z ABC DE= 1

17、,连接DO交。于点F.(1)求证：AD是。0的切线;(2)连接FC交AB于点G,连接FB.求证：FG2=GO GB【分析】(1)因为直角三角形的外心为斜边中点，所以点0在AB上，AB为。0直径，故 只需证 AD± AB即可.由/ ABG/BAC= 90° 和/ DAE= / ABCM证彳导/ DAEZ BAC= 90° , 而E、A、C在同一直线上，用 180°减去90°即为/ BAD= 90° ,得证.(2)依题意画出图形， 由要证的结论FG=GO GB联想到对应边成比例， 所以需证 FGOBGF其中/ FGO= / BG耽公共角，

18、即需证/ FOG= / BFG / BFG为圆周角，所对的 弧为弧BC故连接 03有/ BFG=/BOC问题又转化为证/ FOG= / BOC把DO延 长交BC于点H后，有/ FOG= / BOH故问题转化为证/ BOI4二/BOC只要OHL BC由2等腰三角形三线合一即有/ BOH=/ BOC故问题继续转化为证 DH/ CE联系【模型呈现】发现能证4 DE庠4ACB得到 AE= BC= 2, AC= DE= 1,即能求 AD= AB=.又因 为O为AB中点，可得到# 亶,再加上第(1)题证得/ BAD= 90° ,可得 DAODE 2 AEAED 所以/ ADO= / EAD DO

19、/ EA 得证.【解答】 证明：(1)O为RtABC勺外接圆，O为斜边AB中点，AB为直径 . / ACB= 90°ABC/ BAC= 90°/ DAE= / ABC ./ DAEZ BAC= 90°，/BAD= 180° (/ DAE/BAC =90 ADLAB .AD是O O的切线(2)延长DC BC于点H,连接OC. DEELAC于点 E ./ DEA= 90° AB绕点A旋转彳导到AD1 .AB= AD在 DEAW ACB43fZDEA=ZACB=OeZDAE=ZABCDA=ABDE摩 ACB (AAS.AE= BC= 2, AC= D

20、E= 1AD= AB= Vac'+bcJV2 .O为AB中点. AO- -AB= 22. AO V5_ADDE 一 2 一 AE . / DA® / AED= 90°DA。 AED / AD® / EADDC/ EA ./OHB= /ACB= 90 ,即 DHL BC. OB= OC OH¥分/ BOC 即/ BOH=/BOC 2. / FOG= / BOH / BFG=，/BOC ./ FOG= / BFG. / FG® / BGFFGO BGF FC GOBG -GF. FG2= GO GBJ- 5【点评】本题考查了三角形外心定义，

21、圆的切线判定，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，垂径定理，等腰三角形三线合一，圆周角定理.其中第（2）题证明DO/ EA进而彳#到DC垂直BC是解题关键.（2019年甘肃陇南27题）27.阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图，在等边/ ABC中，M是BC边上一点（不含端点 B, 0 , N是ABC勺外角/ ACH 的平分线上一点，且 A的MN求证：/ AMN60 .点拨：如图，作/ CBE60 , BE与NC的延长线相交于点 E,得等边 BEC连接EM易证： ABIW EBMK SAS ,可得 AM=EM / 1=/2;又 AMMN 则 E

22、M=MN 可得/ 3=/4;由Z3+Z 1=7 4+7 5=60°, 进一步可得 / 1=/2=/5 ,又因为 / 2+/6=120°,所以7 5+7 6=120°，即：/ AMN60 .问题：如图，在正方形 ABCD中，M是BG边上一点（不含端点 B, C） , N是正方形ABGD的外角/ DGH的平分线上一点，且 AM=MN.求证：/ AMNi=90 .【答案】 解：延长 AB至E,使EB=ABi,连接EMC EG,如图所示：则 EB=BC, / EBM 中=90 =/ ABM,EBC是等腰直角三角形，BEG=Z BGE=45 ,.N是正方形 AiBGD的外角

23、/ DGH的平分线上一点，M1GN=90 +45° =135° , .Z BGE+Z MGN=180 ,E、G、N,三点共线,fAiBi 二 EBidZAiBiMq 上国Mi由釉=BiM*ABMA EBM (SAS , .AM=EM, /1=/2, AiM=MN, .EM=MN, / 3=/4, /2+/3=45° , Z 4+7 5=45° , / 1=Z2=Z5, . Z 1+7 6=90° ,.Z 5+7 6=90° ,，/AMN=180° -90° =90° .【解析】延长 AB 至 E,使 EB

24、=AB,连接 EMC EG,贝U EB=BG, / EBM 中=90° =/A BM,得出 EBQ是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出/B1EG=/BQE=45 ，证出 ZB1G1E+Z MQNi=180° ,得出 E、。、N,三点共线，由 SAS 证明 AA 1B1MAEBM 得出 AM=EM, Z1=Z2,得出 EM=MN,由等腰三角形的性质得出/ 3=74,证出/ 1=/2=/5,得出Z 5+7 6=90° ,即可得出结论.此题是四边形综合题目， 考查了正方形的性质、 全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形

25、的外角性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线构造三角形全等是解本题的关键.(2019年甘肃天水 25题) 25. (10分)如图1,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.(1)概念理解：如图 2,在四边形 ABC珅，AB= AD CB= CQ问四边形 ABCO垂美四边形吗请说明理由；(2)性质探究：如图1,四边形ABCD勺对角线 AC BD交于点 Q ACL BD试证明：A+CD= aD+bC；(3)解决问题：如图3,分别以RHACB勺直角边AC和斜边AB为边向外作正方形 ACFG和正方形ABDE连结CE BG GE 已知 AC= 4, AB= 5,求 GE勺长.【分析】

26、(1)根据垂直平分线的判定定理证明即可;(2)根据垂直的定义和勾股定理解答即可;(3)根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合(2)的结论计算.【解答】解：(1)四边形ABCD1垂美四边形.证明：AB= AD点A在线段BD的垂直平分线上,. CB= CD点C在线段BD的垂直平分线上，直线AC是线段BD的垂直平分线，. ACL BQ即四边形 ABCD1垂美四边形；(2)猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等.如图2,已知四边形 ABCW, ACLBD垂足为E,求证：aD+bC=aB+cD证明：AC! BD，/AED= /AEB= Z BEC= /CED=90 , 由勾股定理得，aD+bCmaU+

27、dE+bS+cU,aB+cD= aU+bU+cU+dU,，aD+bC= ag+cD；故答案为：aD+ bC= aC+cD .(3)连接 CG BE / CAG= / BAE= 90 , Z CAG/ BAC= / BAB/BAC 即/ GAB= / CAE在AGAEDACAE, ，/GAB=/C施， tAB=AE. GA空 CAE (SAS, ./ABG= /AEC 又/ AEG/AME= 90° , /ABG/AME90 ,即 CEL BG四边形CGE隆垂美四边形，由(2)得，cG+bE=cB+gE,. AC= 4, AB= 5,. BC= 3, CG= 4 2，BE= 5,二.g

28、E= cG+bU- CB=73,GE=闻.DE【点评】 本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键.(2019年广东深圳 23题)23. (9分)已知在平面直角坐标系中，点A (3, 0), B (-3, 0), C (-3, 8),以线段BC为直径作圆，圆心为 E,直线AC交OE于点D,连接OD(1)求证：直线0比0E的切线;(2)点F为x轴上任意一动点，连接 CF交。E于点G,连接BG当tan / AC(直接写出)；，求所有F点的坐标_卜(要，0)，F20)31【分析】(1)连接EQ证明/ ED9 9

29、00即可，可通过半径相等得到/ EDB= / EBD根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半得D& B& AQ / ODB= / OBD得证；(2)分两种情况：a) F位于线段AB上，b) F位于BA的延长线上；过F作AC的垂线，构造相似三角形，应用相似三角形性质可求得点F坐标；应用相似三角形性质和三角函数值表示出垣=也的超型立,令y=CG2(64- CG)CF 64=-(CG - 32) 2+32：应用二次函数最值可得到结论.【解答】解：(1)证明：如图1,连接DEBC为圆的直径，BDC= 90° ,BDA= 90°. OA= OB. O氏 OB= OA.Z

30、OBD= / ODB.EB=ED.Z EBD= / EDB EBD/ OBD= / EDB/ ODB即：/ EB伞 / EDO. CBLx 轴EBO- 90°ED。90° 点D在O E上，直线OD为OE的切线.(2)如图2,当F位于AB上时，过F作FiNIXAC于N,FiN± AC .Z ANF= / ABC= 90° . AN% ABC.一oAB BC AC AB= 6, BC= 8,40=心谣说1=后47=10,即 AB BC： AG= 6: 8: 10 = 3: 4: 5设 AN= 3k,则 NF=4k, AF = 5k .CN= CA- AN=

31、10- 3k10-3k,.tan ZACF=_!j2L= = 1,解得： k=_1L50_4331 '31即 F1 (0)311如图3,当F位于BA的延长线上时，过 E作EMLCA于MAMF ABC.设 AM= 3k,贝U MF= 4k, AE=5k.CM= CA+A阵 10+3k.tan ZACF=解得：AE= 5k = 2OF= 3+2= 5即 F2 (5, 0)故答案为：Fi (黑，0) , F2 (5, 0).31如图4, .CB为直径./ CGB= / CBF= 90. CB。 CFB二4二三CF BCBC= CG CFcG+bG= bC,bG= bC- cG.金里孚C?2

32、Ki 642CG2 二CF 64令 y = CG (64CG) = - C&64CG= (CG 32) 2 322=- ( CG 32) 2+322，当值32时，鼠大值=32此时CG= 4 ：图1【点评】 本题是一道难度较大，综合性很强的有关圆的代数几何综合题，主要考查了圆 的性质，切线的性质和判定定理，直角三角形性质，相似三角形性质和判定，动点问题, 二次函数最值问题等，构造相似三角形和应用求二次函数最值方法是解题关键.(2019年广东24题)24. (9分)如图1,在ABC中，AB= AQ。0是ABC勺外接圆，过点 C作/ BCD= Z ACB交。0于点D,连接AD交BC于点E,延

33、长D、点F,使CF AC连接AF.(1)求证：ED= EC;(2)求证：AF是。0的切线；(3)如图2,若点G是ACD勺内心，BC? BE= 25,求BG的长.【分析】(1)由 AB= AC知/ ABC= / ACB 结合/ ACB= / BCD / ABG= / ADC导/ BCD=/ADC从而得证；(2)连接 0A 由/ CAF= /CFM口/ACD= / CAF+Z CFA= 2/CAF 结合/ ACB= / BCD导/ACD= 2/ACB / CAF= /ACB据此可知 AF/ BC从而得 OAL AF,从而得证；(3)证4AB回4CBA导 AB=BC? BE,据此知 AB= 5,连接

34、 AG 得/ BAG= / BA*/DAG/BGA= / GAC/ ACB 由点 G 为内心知/ DA® / GAC 结合/ BAB/DAG= /GDC/ ACB得/ BAG= / BGA 从而得出 BG= AB= 5.【解答】解：(1) .AB= AC,/ ABG= / ACB又. / ACB= / BCD / ABC= / ADC ./ BCD= / ADC，ED= EQ(2)如图1,连接OA.AB= ACAS= AC,. OALBCCA= CF, / CA|f= / CFA .Z ACD= / CAF+Z CFA= 2/CAFACB= / BCD .Z ACD= 2/ACB /

35、 CAF= / ACB .AF/ BC OAL AF,二.AF为。O的切线；(3) . / ABE= / CBA / BA氏 / BCD= / ACB . ABa CBAAB = BEBC AB.AB2= BC? BE .BC? BE= 25,.AB= 5,如图2,连接AG图2 ./ BAG= / BAD/ DAG / BGA / GAC/ ACB 点G为内心， / DA(G / GAC又 / BA。/DAG / GDC/ ACB / BA© / BGA .B生 AB= 5.【点评】 本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆心角定理、切线的判定与性质、相 似三角形的判定与性质等知识点.

36、(2019年广东广州 24题)24. (14分)如图，等边 ABC43, AB= 6,点D在BC上，BD= 4,点E为边AC上一动点(不与点C重合)，CDE于DE的轴对称图形为 FDE(1)当点F在AC上时，求证：DF/ AB;(2)设ACD勺面积为S, 4ABF的面积为S2,记S= S S2, S是否存在最大值若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；(3)当B, F, E三点共线时.求 AE的长.【分析】(1)由折叠的性质和等边三角形的性质可得/DFG= /A,可证DF/ AR(2)过点D作DMLAB交AB于点M由题意可得点 F在以D为圆心，DF为半径的圆上，由 ACM面积为S的值是定

37、值，则当点 F在DM上时，&abf最小时，S最大；(3)过点D作DG_ EF于点G过点E作EHL CDT点H,由勾股定理可求 BG的长，通过证明 BGH4BHE可求EC的长，即可求 AE的长.【解答】解：(1) .ABB等边三角形/ A= / B= / C= 60由折叠可知：DF= DC且点F在AC上 ./ DFC= / C= 60° ./ DFC= / ADF/ AB;(2)存在,过点D作DML AB交AB于点M . AB= BC= 6, BD= 4, CD= 2 .DF= 2, 点F在以D为圆心，DF为半径的圆上,，当点F在DM：时，Saabf最小， . BD= 4, D

38、IM-AB / ABC= 60° .MD= 2 ：-；S»A ABF 的最小值=1_X6X (2j- 2)=6/5-6S最大值=乂 36- ( 63 6) = 3/+6(3)如图，过点 D作DGL EF于点G过点E作EHL CD于点H,CD联于DE的轴对称图形为 FDEDF= DC= 2, / EFD- / C= 60°. GDL EF, / EFD- 60° .FG= 1, DG=代FG=«bD= bG+dG, 16=3+ (BF+1) 2, BF=Jj 13 - 1. BG= Is. EHL BC / C= 60°. .CH=苧,

39、EH= V3HG=等EC/ GBa / EBH / BG段 / BHE= 90°BGD BHEDG _EHBG -BHEC=U 13 - 1AE= AC EC= 7 一.；【点评】 本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造相似三角形是本题的关键.(2019年广西池州25题)25. (10分)如图，五边形 ABCDEJ接于。Q CF与。相切于点C,交AB延长线于点F.(1)若 AE= DC / E= / BCD 求证：DE= BQ(2)若 OB= 2, AB= BD= DA / F= 45 ,求 CF的长.【分析】(

40、1)由圆心角、弧、弦之间的关系得出皿二DC,由圆周角定理得出/ ADE=ZDBC证明 AD降 DBC即可得出结论；(2)连接CO并延长交 AB于G,彳OHL AB于H,则/ OHG / OHB 90 ,由切线的性质 得出/ FCG= 90。，得出 CFG 4OG山等腰直角三角形，得出 CF= CG OG=OH由 等边三角形的性质得出/ OBH= 30。，由直角三角形的性质得出OH=-i-OB= 1, OG=V2,即可得出答案.【解答】(1)证明：.AE= DC征二和 ./ ADE= / DBCVADE=ZDBC在4AD丽 DBO,耳二NECD ,bkE=DC. AD降 DBC(AAS, DE=

41、 BQ(2)解：连接CC延长交AB于G彳OHLAB于H,如图所示：则/ OH3 / OHB= 90 , CF与。O相切于点C, ./ FCG= 90° , . / F= 45° ,.CFG OGK等腰直角三角形,. CF= CG OG=OH. AB= BD= DA . ABD等边三角形， ./ ABD= 60° , / OBH 30° , OH= OB= 1,2OG=CF= CG= O(+OG= 2+近【点评】 本题考查了切线的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角 形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质；熟练掌握切线

42、的 性质和圆周角定理是解题的关键.(2019年广西贺州25题)25. (10分)如图，BD是。的直径，弦 BC与OAf交于点E, AF与。O相切于点A,交DB的延长线于点 F, / F= 30° , / BAC= 120° , BC= 8.(1)求/ ADB勺度数；(2)求AC的长度.【分析】(1)由切线的性质得出 AFIOA由圆周角定理好已知条件得出/F= /DBC证出AF/ BG得出OAL BC求出/ BOA= 90° - 30° = 60° ,由圆周角定理即可得出结果；(2)由垂径定理得出 B& CEBC= 4,得出AB= AC证

43、明 AO配等边三角形，得出 AB= OB由直角三角形的性质得出 O叁方OB B&VSOE 4,求出OEk竽_,即可得出 AC= AB= OB= 2OE=电3.【解答】解：(1) .AF与。O相切于点A,.-.AF± OA .BD是O O的直径， ./ BAD= 90° , . / BAC= 120° , / DAC 30° , ./ DBC= / DAC= 30 , . / F= 30° ,. ./ F= / DBC .AF/ BC.OALBC ./ BOA= 90° - 30° =60° , ADB=-Z

44、AOB= 30 ; 2) OAL BC. BE= CE= =BC= 4, .AB= AC. /AOB= 60 , OA= OB.AO泥等边三角形，.AB= OB / OB号 30 ,. OE= OB BE= . ;OE= 4,.OE 务/百, 3. AC= AB= OB= 2OE=【点评】 本题考查了切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、垂径定理、直角三角形的性质等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理，证出OAL BC是解题的关键.(2019年广西柳州25题)25. (10分)如图，AB是。O的直径，弦CDLAB于点E,点F是O O上一点，且窟=闻连接FR FD, FD交AB于点N.

45、(1)若 AE= 1, CD= 6,求。O的半径；(2)求证： BN助等腰三角形；(3)连接FC并延长，交BA的延长线于点P,过点D作。的切线，交BA的延长线于点. CDhAB AB是直径AC = AD, C巳 DE=CD= 32a A ACD= / ABC 且 / AEG= / CEB . ACP CEB. AE CE 一CE -BE13, 二3 BE.-.BE= 9AB= AEBE= 10.OO的半径为5(2) . AC = AD= CT / ACD / ADC / CDF 且 DE= DE / AED / NED 90°.AD摩 NDE (ASA / DANk / DNA AE

46、= EN. / DAB= / DFB / AND= / FNB ./ FNB= / DFB. BN=BF, . BN碇等腰三角形(3)如图 2,连接 AC CE CO DOM皿切线， MDL DQ MD© / DEQ= 90 , / DQE D DQE MD0 DEQ.磔必0D 51.qD= QE* QM . AE= EN CDLAQ/ ANC= / CAN/ CAa / CNQ / AQC= / ABF. CQ/ BF .Z PCQ= / PFB .四边形ACFB!圆内接四边形 / PAC= / PFB/ PAC= / PFB= / PCQ= / CNQ 且/ PQC= / CQE

47、 . CNO PCQ，曲0CC P0. cQ= P。NQ. QNT QP= Q曰 QM（2019年广西北部湾等 25题）25. （10分）如图1,在正方形 ABCDK点E是AB边上的一个动点（点E与点A, B不重合），连接CE过点B作BF，CE于点G交AW点F.(1)求证： ABB BCE（2）如图2,当点E运动到AB中点时，连接DG求证：DC= D。（3）如图3,在（2）的条件下，过点 C作CML DGF点H,分另U交AD BF于点M N,求见i的值NH【分析】（1）先判断出/ GCB/CBG 90,再由四边形 ABCD1正方形，得出/ CBE= 90= /A, BC= AB即可得出结论;（

48、2）设AB= CD= BC= 2a,先求出EA= EB= &AB= a,进而得出 CE=诋a,再求出 BG=电5a, cg-刍区a, 再判断出 CQ屋 BGC（AAS,进而判断出 GOCQ即可得出结55论；（3）先求出CH= -|-a,再求出 DH=鼠再判断出 CHD DHM求出HMa,再用勾股定理求出 GH=卷a,最后判断出 QGH4GCH得出HN=33 =/a,即可得出结论.【解答】（1）证明：BFL CE/ CGB 90° ,，/ GC+/ CBG= 90,四边形ABCDI正方形，./ CBE= 90° =/ A, BC= ARZ FBA/ CBG= 90,

49、/ GCB= / FBA . ABB BCE (ASA;(2)证明：如图2,过点D作DHLCE于H,设 AB= CD= BC= 2a, 点E是AB的中点， .EA= EB= -LaB= a, 2CE= Ra,在RtCEB中，根据面积相等，得 BG CE= CB> EB, .BG=a,5CG=Cg2_gG2=ixia， /DCE/BCE= 90 , /CBF+/BCE= 90 , / DC号 / CBF. CD= BC / CQDZ CGB 90° ,. .CQ4 BGC (AAS,CO BG=5. GQ= CO CQ=a= CQ5DQ= DQ / CQDZ GQD 90 , D

50、Ga ACDCK SAS,. CD= GD(3)解：如图3,过点D作DHLCE于H,& CDG= ? DQ= CH? DG22.CODQ 8aCH=f=a'在 RtACHD, CD= 2a,DH=JcD?YHTa， /MDH/ HD© 90 , /HCD/HD仔 90° , ./ MDH: / HCD. CH» DHM. 1：.* 二 ,CH-HN_4 .HM= La,10在 RtACHC, CG= -la, CH=三a, 55GH=JcG?YM=a /MGHZ CGH90 , / HCG/ CGH 90 , Z QGH / HCG.QG即 GCH

51、出国 HGCH' .HNk -二 CG .MIN= HM- HN= a, 2x .飒二L国 NH -2 后DCDCE B图2【点评】此题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出 DGQCDO解本题的关键.（2019年广西梧州25题） 5. （10分）如图，在矩形 ABC珅，AB= 4, BC= 3, AF平分/ DAC分另1J交DQ BC的延长线于点E, F;连接DF,过点A作AH/ DF,分另U交BD BF于点G, H.（1）求DE的长；(2)求证：/ 1 = / DFC【分析】（1）由AD/ CF, AF平分/ DAC可彳导/ FA

52、C= / AFC得出AC= CF= 5,可证出AD曰AFCE=则幽L,可求出 DE长；CF CE（2）由AADGo4HBG可求出 DG则里可得EG/ BC,则/ 1 = / AHC根据 DFDG DB/AH可彳导/ AHC= / DFC结论得证.【解答】（1）解：二.矩形 ABC珅，AD/ CF,/ DAF= / ACF. AF平分/ DAC/ DAF= / CAF/ FAC= / AFC. AC= CF,. AB= 4, BC= 3,心八京那洛加+广5,CF= 5,. AD/ CF, . ADP FCECF CE设DE= x,则一一，5 4r解得x= 253 DE,；(2) AD/ FH A

53、F/ DH.四边形ADFH平行四边形,，AD= FH= 3,. CH= 2, BH= 5,AD/ BH. AD。 HBGDG AD 5BG BHDG _3 5-DG 在. DGf 8. DE= 2昵国旦DG DB 5EG/ BC ./ 1 = / AHC又 DF/ AHZ AH仔 / DFC/ 1 = / DFC【点评】本题考查了矩形的相关证明与计算，熟练掌握矩形的性质、平行四边形的判定与性质与相似三角形的性质与判定是解题的关键.(2019年广西梧州25题)25. (10分)如图，在正方形 ABCDK分别过顶点 B, D作BE/ DF交对角线AC所在直线于E,F点，并分别延长EB,FD到点H,

54、G使BHH= DG连接EG FH(1)求证：四边形 EHFO平行四边形；(2)已知：AB= 2m, EB= 4, tan/GEH= 273,求四边形 EHFG勺周长.【分析】(1)证明 ABECDF(AAS,得BE= DF,根据一组对边平行且相等的四边形 是平行四边形可得结论；(2)如图，连接BQ交EF于O,计算EO和BO的长，得/ OEB= 30。，根据三角函数可 得HM的长，从而得 EM EH的长，利用勾股定理计算 FH的长，最后根据四边的和计算 结论.【解答】解：(1)二.四边形 ABCD1正方形，.AB= CD AB/ CD/ DCA= / BAC. DF/ BE, ./ CFD= / BEA. / BAC= / BEA/ABE / DCA= / CFD/CDF ./ ABE= / CDF在 AB丽 CD冲，rZABE=Z