中考数学压轴题抛物线及动点精选

1、学习必备欢迎下载动点与抛物线专题复习一、平行四边形与抛物线1、 （ 2012?钦州）如图甲，在平面直角坐标系中，a、b 的坐标分别为（4， 0） 、 （0，3） ，抛物线 y=x2+bx+c 经过点 b，且对称轴是直线x=（1）求抛物线对应的函数解析式；（2）将图甲中 abo 沿 x 轴向左平移到 dce（如图乙），当四边形abcd 是菱形时，请说明点 c 和点 d 都在该抛物线上；（3）在（ 2）中，若点m 是抛物线上的一个动点（点m 不与点 c、d 重合） ，经过点m 作mny 轴交直线cd 于 n，设点 m 的横坐标为t，mn 的长度为l，求 l 与 t 之间的函数解析式，并求当t 为何

2、值时，以m、n、c、e 为顶点的四边形是平行四边形（参考公式：抛物线 y=ax2+bx+c（a 0）的顶点坐标为（，） ，对称轴是直线x= ）2、 （ 2012?鸡西）如图，在平面直角坐标系中，已知rtaob 的两条直角边oa、ob 分别在y 轴和 x 轴上，并且oa、ob 的长分别是方程x27x+12=0 的两根（ oa ob） ，动点 p 从点a 开始在线段ao 上以每秒1 个单位长度的速度向点0 运动；同时，动点 q 从点 b 开始在线段 ba 上以每秒2 个单位长度的速度向点a 运动，设点p、q 运动的时间为t 秒（1）求 a、b 两点的坐标（2）求当 t 为何值时， apq 与aob

3、 相似，并直接写出此时点q 的坐标（3）当 t=2 时，在坐标平面内，是否存在点m，使以 a、p、q、m 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出m 点的坐标；若不存在，请说明理由学习必备欢迎下载3.（2012?恩施州）如图，已知抛物线y= x2+bx+c 与一直线相交于a（ 1， 0） ，c（2， 3）两点，与y 轴交于点n其顶点为d（1）抛物线及直线ac 的函数关系式；（2）设点 m（3， m） ，求使 mn+md 的值最小时m 的值；（3） 若抛物线的对称轴与直线ac 相交于点 b， e 为直线 ac 上的任意一点， 过点 e作 efbd交抛物线于点f，以 b，d，e，f 为顶点的

4、四边形能否为平行四边形？若能，求点 e 的坐标；若不能，请说明理由；（4）若 p 是抛物线上位于直线ac 上方的一个动点，求apc 的面积的最大值二、梯形与抛物线1、已知，在rtoab 中， oab=90 ， boa=30 ，ab=2若以 o 为坐标原点，oa 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点b 在第一象限内将rtoab 沿 ob 折叠后，点a 落在第一象限内的点c 处（1）求点 c 的坐标；（2）若抛物线y=ax2+bx（a 0）经过 c、a 两点，求此抛物线的解析式；（3）若上述抛物线的对称轴与ob 交于点 d，点 p 为线段 db 上一动点，过p 作y 轴的平行线，交抛

5、物线于点m，问：是否存在这样的点p，使得四边形cdpm为等腰梯形？若存在，请求出此时点p 的坐标；若不存在，请说明理由2、 （ 2012?泉州）如图，o 为坐标原点，直线l 绕着点 a（0，2）旋转，与经过点c（0， 1）的二次函数y=x2+h 的图象交于不同的两点p、q（1）求 h的值；（2）通过操作、观察，算出poq 的面积的最小值（不必说理）；（3）过点 p、c 作直线， 与 x 轴交于点b，试问： 在直线 l 的旋转过程中，四边形 aobq 是否为梯形？若是，请说明理由；若不是，请指出四边形的形状学习必备欢迎下载3. （2012?玉林）如图，在平面直角坐标系xoy 中，矩形 aocd的

6、顶点 a 的坐标是（ 0，4） ，现有两动点p，q，点 p 从点 o出发沿线段oc（不包括端点o，c）以每秒2 个单位长度的速度匀速向点c 运动，点 q 从点 c 出发沿线段cd（不包括端点 c，d）以每秒 1 个单位长度的速度匀速向点d 运动 点p，q 同时出发， 同时停止， 设运动时间为t （秒） ，当 t=2（秒）时， pq=2（1）求点 d 的坐标，并直接写出t 的取值范围（2）连接 aq 并延长交 x 轴于点 e，把 ae 沿 ad 翻折交 cd延长线于点f，连接 ef，则 aef 的面积 s是否随 t 的变化而变化？若变化，求出s与 t 的函数关系式；若不变化，求出s的值（3）在（

7、 2）的条件下，t 为何值时，四边形apqf 是梯形？三、等腰三角形、菱形与抛物线1、 （ 2012?龙岩）在平面直角坐标系xoy 中，一块含60 角的三角板作如图摆放，斜边ab 在x 轴上，直角顶点c 在 y 轴正半轴上，已知点a（ 1，0） （1）请直接写出点b、c 的坐标：b、c；并求经过a、b、c 三点的抛物线解析式；（2）现有与上述三角板完全一样的三角板 def（其中 edf =90 ，def=60 ） ，把顶点 e 放在线段 ab上 （点 e 是不与 a、b 两点重合的动点） ，并使 ed 所在直线经过点 c此时， ef 所在直线与 （1）中的抛物线交于点m 设 ae=x，当 x

8、为何值时， oce obc；学习必备欢迎下载 在 的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点p 使pem 是等腰三角形？若存在，请写出点 p 的坐标；若不存在，请说明理由3、 （ 2012?湛江）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形aob 的顶点 a、b 分别落在坐标轴上 o 为原点， 点 a 的坐标为 （6， 0） ，点 b 的坐标为 （0，8） 动点 m 从点 o 出发沿oa 向终点 a 以每秒 1 个单位的速度运动，同时动点n 从点 a 出发，沿ab 向终点 b以每秒个单位的速度运动当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点 m、n 运动的时间为t 秒（ t0） （1）当 t=

9、3 秒时直接写出点n 的坐标，并求出经过o、 a、n 三点的抛物线的解析式；（2）在此运动的过程中，mna 的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；（3）当 t 为何值时， mna 是一个等腰三角形？4、如图，直线l1经过点 a（ 1，0） ，直线 l2经过点 b（3，0） ，l1、 l2均为与 y 轴交于点c（0，） ，抛物线y=ax2+bx+c（a 0）经过 a、b、c 三点（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的对称轴依次与x 轴交于点d、与 l2交于点 e、与抛物线交于点 f、与 l1交于点 g求证： de=ef=fg；（3）若 l1l2于 y 轴上的 c

10、点处，点 p 为抛物线上一动点，要使pcg为等腰三角形，请写出符合条件的点p 的坐标，并简述理由学习必备欢迎下载5、 如图，在平面直角坐标系中， 直角梯形oabc 的边 oc、 oa 分别与 x 轴、 y 轴重合，aboc，aoc=90 ， bco=45 ，bc=12，点 c 的坐标为（ 18， 0） （1）求点 b 的坐标；（2）若直线 de 交梯形对角线bo 于点 d，交 y 轴于点 e，且 oe=4，od=2bd，求直线 de的解析式；（3）若点 p 是（ 2）中直线 de 上的一个动点，在坐标平面内是否存在点q，使以 o、e、p、q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点q 的坐标

11、；若不存在，请说明理由6、 （ 2012?铁岭）如图，已知抛物线经过原点o 和 x 轴上一点a（4，0） ，抛物线顶点为e，它的对称轴与x 轴交于点d直线 y=2x1 经过抛物线上一点b（ 2，m）且与 y 轴交于点 c，与抛物线的对称轴交于点f（1）求 m 的值及该抛物线对应的解析式；（2）p（x， y）是抛物线上的一点，若sadp=sadc，求出所有符合条件的点p 的坐标；（3）点 q 是平面内任意一点，点m 从点 f 出发，沿对称轴向上以每秒1 个单位长度的速度匀速运动，设点m 的运动时间为t 秒，是否能使以q、a、e、m 四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点m 的运动时间t 的

12、值；若不能，请说明理由四、直角三角形与抛物线1、 （ 2012?广州）如图，抛物线y=与 x 轴交于 a、b 两点（点 a 在点 b 的左侧），与 y 轴交于点c（1）求点 a、 b 的坐标；（2）设 d 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当acd 的面积等于acb 的面积时，求点d 的坐标；（3）若直线l 过点 e（4，0） ，m 为直线 l 上的动点，当以a、 b、m 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l 的解析式学习必备欢迎下载2、 （2012?河池）如图，在等腰三角形abc 中， ab=ac，以底边 bc 的垂直平分线和 bc 所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线y=x2+x

13、+4 经过a、b 两点（1）写出点a、点 b 的坐标；（2）若一条与y 轴重合的直线l 以每秒 2 个单位长度的速度向右平移，分别交线段 oa、ca 和抛物线于点e、 m 和点 p，连接 pa、pb设直线l 移动的时间为t（ 0t4）秒，求四边形pbca 的面积 s （面积单位） 与 t （秒）的函数关系式，并求出四边形pbca 的最大面积；（3）在（ 2）的条件下，抛物线上是否存在一点p，使得 pam 是直角三角形？若存在，请求出点p 的坐标；若不存在，请说明理由3. （2012?海南）如图，顶点为 p（4，4）的二次函数图象经过原点（0，0） ，点 a 在该图象上，oa 交其对称轴l 于点

14、 m，点 m、 n 关于点 p 对称，连接 an、on，（1）求该二次函数的关系式；（2）若点 a 在对称轴l 右侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题： 证明： anm=onm； ano 能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点a 的坐标；如果不能，请说明理由学习必备欢迎下载4、 （ 2012?云南）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2 交 x 轴于点 p，交 y 轴于点 a抛物线y=x2+bx+c 的图象过点e（ 1，0） ，并与直线相交于 a、 b 两点（1）求抛物线的解析式（关系式）；（2）过点 a 作 acab 交 x 轴于点 c，求点 c 的坐标；（3）除点 c 外，

15、在坐标轴上是否存在点m，使得 mab是直角三角形？若存在，请求出点m 的坐标；若不存在，请说明理由五、相似三角形与抛物线1、 （ 2012?福州）如图1，已知抛物线y=ax2+bx（a 0）经过 a（3，0） 、b（4，4）两点（1）求抛物线的解析式；（2）将直线ob 向下平移m 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点d，求 m的值及点 d 的坐标；（3）如图 2，若点 n 在抛物线上，且nbo=abo，则在（ 2）的条件下，求出所有满足pod nob 的点 p 坐标（点p、o、d 分别与点n、o、b 对应） 3、 （ 2012?遵义）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a 0）的图

16、象经过原点o，交 x 轴于点 a，其顶点 b 的坐标为（ 3，） （1）求抛物线的函数解析式及点a 的坐标；（2）在抛物线上求点p，使 s poa=2saob；（3）在抛物线上是否存在点q，使aqo 与aob 相似？如果存在，请求出 q 点的坐标；如果不存在，请说明理由学习必备欢迎下载4.（2012?黄冈）如图，已知抛物线的方程c1：y=（x+2） （xm） （m0）与 x 轴相交于点b、c，与 y 轴相交于点e，且点 b 在点 c 的左侧（1）若抛物线c1过点 m（2，2） ，求实数m 的值；（2）在（ 1）的条件下，求bce 的面积；（3）在（ 1）条件下，在抛物线的对称轴上找一点h，使

17、bh+eh 最小，并求出点 h 的坐标；（4）在第四象限内，抛物线c1上是否存在点f，使得以点b、c、f 为顶点的三角形与 bce 相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由5、 （ 2012?常德）如图，已知二次函数的图象过点a（ 4，3） ，b（4，4） （1）求二次函数的解析式：（2）求证： acb 是直角三角形；（3）若点 p 在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点p 作 ph 垂直 x 轴于点 h，是否存在以 p、h、d 为顶点的三角形与abc 相似？若存在，求出点p的坐标；若不存在，请说明理由学习必备欢迎下载6（2012?鞍山）如图，直线ab 交 x 轴于点 b（4，0） ，交

18、 y 轴于点 a（ 0，4） ，直线 dm x轴正半轴于点m，交线段ab 于点 c，dm =6，连接 da ， dac=90 （1）直接写出直线ab 的解析式；（2）求点 d 的坐标；（3）若点 p 是线段 mb 上的动点，过点p 作 x轴的垂线，交ab 于点 f，交过 o、d、b 三点的抛物线于点e， 连接 ce 是否存在点p， 使bpf与 fce 相似？若存在， 请求出点p 的坐标； 若不存在，请说明理由7.（2012?阜新）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2 的图象与x 轴交于 a （ 3，0） ，b（1，0）两点，与y 轴交于点c（1）求这个二次函数的关系解析式；（2）点

19、 p 是直线 ac 上方的抛物线上一动点，是否存在点p，使 acp 的面积最大？若存在，求出点p 的坐标；若不存在，说明理由；考生注意：下面的（3） 、 （ 4） 、 （5）题为三选一的选做题，即只能选做其中一个题目，多答时只按作答的首题评分，切记啊！（3）在平面直角坐标系中，是否存在点q，使 bcq 是以 bc 为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点q 的坐标；若不存在，说明理由；（4）点 q 是直线 ac 上方的抛物线上一动点，过点q 作 qe 垂直于 x轴，垂足为 e是否存在点q，使以点 b、 q、 e 为顶点的三角形与 aoc相似？若存在，直接写出点q 的坐标；若不存在，说明理由；（

20、5）点 m 为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点q，使以 a、c、m、q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点q 的坐标；若不存在，说明理由学习必备欢迎下载六、抛物线中的翻折问题1、 （ 2012?天门）如图，抛物线y=ax2+bx+2 交 x 轴于 a（ 1，0） ，b（4，0）两点，交y 轴于点 c，与过点 c 且平行于 x 轴的直线交于另一点d，点 p 是抛物线上一动点（1）求抛物线解析式及点d 坐标；（2）点 e 在 x 轴上，若以a，e， d，p 为顶点的四边形是平行四边形，求此时点 p 的坐标；（3）过点 p 作直线 cd 的垂线， 垂足为 q，若将 cpq 沿 cp 翻

21、折，点q的对应点为q是否存在点p，使 q恰好落在x 轴上？若存在，求出此时点 p 的坐标；若不存在，说明理由2、 （ 2010?恩施州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c 的图象与x 轴交于 a、b 两点， a 点在原点的左侧，b 点的坐标为（ 3，0） ，与 y 轴交于 c（0， 3）点，点p 是直线 bc 下方的抛物线上一动点（1）求这个二次函数的表达式（2）连接 po、pc，并把 poc 沿 co 翻折，得到四边形popc，那么是否存在点 p，使四边形pop c 为菱形？若存在，请求出此时点p 的坐标； 若不存在，请说明理由（3）当点 p 运动到什么位置时，四边形abp

22、c 的面积最大并求出此时p 点的坐标和四边形abpc 的最大面积学习必备欢迎下载动点与抛物线专题复习答案一、平行四边形与抛物线1、解：（1）由于抛物线y=x2+bx+c 与 y 轴交于点b（0，4） ，则c=4；抛物线的对称轴x=，b=5a=；即抛物线的解析式：y=x2+x+4（2） a（4，0） 、b（3，0）oa=4，ob=3，ab=5；若四边形 abcd 是菱形，则bc=ad=ab=5，c（ 5，3） 、d（ 1，0） 将 c（ 5，3）代入 y=x2+x+4 中，得： （ 5）2+ （ 5）+4=3，所以点c 在抛物线上；同理可证：点d 也在抛物线上（3）设直线cd 的解析式为：y=k

23、x+b，依题意，有：，解得学习必备欢迎下载直线 cd：y=x由于 mny 轴，设m（t，t2+t+4） ，则n（t，t） ； t 5 或 t 1 时， l=mn=（t2+t+4）（t）=t2+t+； 5t 1 时， l=mn=（t）（t2+t+4）=t2t；若以 m、n、c、e 为顶点的四边形是平行四边形，由于mnce，则 mn=ce=3，则有：t2+t+=3，解得： t=3 2；t2t=3，解得： t=3；综上， l=且当 t=3 2或 3 时，以 m、n、c、e 为顶点的四边形是平行四边形2、解： （1）解方程x27x+12=0，得 x1=3，x2=4，oaob， oa=3，ob=4a（0

24、，3） ，b（4，0） （2）在 rtaob 中， oa=3，ob=4， ab=5， ap=t，qb=2t，aq=52tapq 与aob 相似，可能有两种情况：（i）apq aob，如图（ 2）a 所示则有，即，解得 t=此时 op=oaap=，pq=ap?tana=， q（，） ；（ii ）apq abo，如图（ 2） b 所示学习必备欢迎下载则有，即，解得 t=此时 aq=，ah=aq?cosa=，hq=aq?sina=，oh=oaah=， q（，） 综上所述， 当 t=秒或 t=秒时， apq 与aob 相似， 所对应的 q 点坐标分别为 （，）或（，） （3）结论：存在如图（3）所示t

25、=2， ap=2，aq=1，op=1过 q 点作 qey 轴于点 e，则 qe=aq? sinqap=，ae=aq?cosqap=，oe=oaae=， q（，） ?apqm1， qm1x 轴，且 qm1=ap=2， m1（，） ；?apqm2， qm2x 轴，且 qm2=ap=2， m2（，） ；如图（ 3） ，过 m3点作 m3fy 轴于点 f，?aqpm3， m3p=aq， qae= m3pf， pm3f=aqe；在 m3pf 与qae 中， qae=m3pf，m3p=aq， pm3f=aqe， m3pf qae，m3f=qe=，pf=ae=， of=op+pf=， m3（，） 当 t=2

26、 时，在坐标平面内，存在点m，使以 a、p、q、m 为顶点的四边形是平行四边形点 m 的坐标为： m1（，） ，m2（，） ，m3（，） 3.解： （1）由抛物线y=x2+bx+c 过点 a（ 1，0）及 c（2，3）得，学习必备欢迎下载，解得，故抛物线为y= x2+2x+3 又设直线为y=kx+n 过点 a（ 1，0）及 c（2，3）得，解得故直线 ac 为 y=x+1；（2）作 n 点关于直线x=3 的对称点 n ，则 n（6，3） ，由（ 1）得 d（1，4） ，故直线 dn的函数关系式为y=x+，当 m（3， m）在直线dn上时， mn+md 的值最小，则 m=；（3）由（ 1） 、

27、（2）得 d（1，4） ， b（1，2）点 e 在直线 ac 上，设 e（ x，x+1） ， 当点 e 在线段 ac 上时，点f 在点 e 上方，则 f（ x，x+3） ，f 在抛物线上，x+3=x2+2x+3，解得， x=0 或 x=1（舍去）e（0，1） ； 当点 e 在线段 ac（或 ca）延长线上时，点f 在点 e 下方，则 f（ x，x1）由 f 在抛物线上x1=x2+2x+3 学习必备欢迎下载解得 x=或 x=e（，）或（，）综上，满足条件的点e 为 e（0，1） 、 （，）或（，） ；（4）过点 p 作 pqx 轴交 ac 于点 q，交 x轴于点 h；过点 c 作 cg x 轴于

28、点 g，如图 2，设 q（x，x+1） ，则 p（x， x2+2x+3）又 sapc=saph+s直角梯形phgcsagc=（x+1） （ x2+2x+3）+ （ x2+2x+3+3） （2 x） 3 3 =x2+x+3 =（x）2+ apc 的面积的最大值为二、 梯形与抛物线1、解： （1）过点 c 作 chx 轴，垂足为h；在 rtoab 中， oab=90 ， boa=30 ，ab=2，ob=4，oa=2；由折叠的性质知：cob=30 ，oc=ao=2，学习必备欢迎下载 coh=60 ，oh=， ch=3；c 点坐标为（，3） （2）抛物线y=ax2+bx（ a0 ）经过 c（，3） 、

29、a（2，0）两点，解得；此抛物线的函数关系式为：y= x2+2x（3）存在因为 y=x2+2x 的顶点坐标为（， 3） ，即为点 c，mpx 轴，垂足为n，设 pn=t；因为 boa=30 ，所以 on=t，p（t，t） ；作 pqcd，垂足为q，mecd，垂足为e；把 x=t 代入 y=x2+2x，得 y=3t2+6t，m（t， 3t2+6t） ，e（， 3t2+6t） ，同理： q（，t） ， d（，1） ；要使四边形cdpm 为等腰梯形，只需ce=qd，即 3（ 3t2+6t）=t1，解得 t=，t=1（舍） ，p 点坐标为（，） ，存在满足条件的p 点，使得四边形cdpm 为等腰梯形，

30、此时p 点坐标为（，） 学习必备欢迎下载2、解：（1）抛物线y=x2+h 经过点 c（ 0，1） ，+h=1，解得 h=1（2）依题意，设抛物线y=x2+1 上的点， p（a，a2+1） 、q（b，b2+1） （a0b）过点 a 的直线 l：y=kx+2 经过点 p、q，a2+1=ak+2b2+1=bk+2 b a 得：（a2bb2a）+ba=2（ba） ，化简得： b=；spoq=oa?| xq xp|= ?oa?|a|=（）+（ a） 2?=4 由上式知：当=a，即 |a|=|b|（ p、 q 关于 y 轴对称）时，poq 的面积最小；即 pqx 轴时， poq 的面积最小，且poq 的面

31、积最小为4（3）连接 bq，若 l 与 x 轴不平行（如图） ，即 pq 与 x 轴不平行，依题意，设抛物线y=x2+1 上的点， p（ a，a2+1） 、q（b，b2+1） （ a0b）直线 bc：y=k1x+1 过点 p，a2+1=ak1+1，得 k1=a，即 y=ax+1令 y=0 得： xb=，学习必备欢迎下载同理，由（ 2）得： b=点 b 与 q 的横坐标相同，bqy 轴，即 bqoa，又 aq 与 ob 不平行，四边形 aobq 是梯形，据抛物线的对称性可得（a0b）结论相同故在直线l 旋转的过程中： 当 l 与 x 轴不平行时， 四边形 aobq 是梯形； 当 l 与 x 轴平

32、行时，四边形 aobq 是正方形3.解： （1）由题意可知，当t=2（秒）时， op=4，cq=2，在 rtpcq 中，由勾股定理得：pc=4，oc=op+pc=4+4=8，又矩形 aocd ，a（0，4） ， d（8，4） 点 p 到达终点所需时间为=4 秒，点 q 到达终点所需时间为=4 秒，由题意可知， t 的取值范围为： 0 t4（2）结论： aef 的面积 s不变化aocd 是矩形， adoe， aqd eqc，即，解得 ce=由翻折变换的性质可知：df=dq=4t，则 cf=cd+df =8ts=s梯形aocf+sfcesaoe学习必备欢迎下载=（oa+cf ）?oc+cf?ceo

33、a? oe=4+（ 8t） 8+（8 t）? 4 （8+）化简得： s =32 为定值所以 aef 的面积 s不变化， s=32（3）若四边形apqf 是梯形，因为ap 与 cf 不平行，所以只有pqaf由 pqaf 可得： cpq daf ，即，化简得 t212t+16=0，解得： t1=6+2，t2=62，由（ 1）可知， 0 t4， t1=6+2不符合题意，舍去当 t=（62）秒时，四边形apqf 是梯形三、等腰三角形、菱形与抛物线1、解：（1）点 a（ 1，0） ，oa=1，由图可知， bac 是三角板的60 角， abc 是 30 角，所以， oc=oa? tan60 =1=，ob=

34、oc?cot30 =3，所以，点 b（3，0） ，c（0，） ，设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，则，学习必备欢迎下载解得，所以，抛物线的解析式为y=x2+x+；（2） oce obc，=，即=，解得 oe=1，所以， ae=oa+oe=1+1=2，即 x=2 时， oce obc； 存在理由如下：抛物线的对称轴为x=1，所以，点 e 为抛物线的对称轴与x 轴的交点，oa=oe，ocx 轴， bac=60 ， ace 是等边三角形， aec=60 ，又 def =60 ， feb=60 ， bac= feb，efac，由 a（ 1，0） ，c（0，）可得直线ac 的解析式为y=x+，点 e

35、（1，0） ，直线 ef 的解析式为y=x，学习必备欢迎下载联立，解得，（舍去），点 m 的坐标为（ 2，） ，em=2，分三种情况讨论 pem 是等腰三角形，当 pe=em 时， pe=2，所以，点 p 的坐标为（ 1，2）或（ 1， 2） ，当 pe=pm 时， feb=60 ， pef=90 60 =30 ，pe=em cos30 = 2=，所以，点 p 的坐标为（ 1，） ，当 pm=em 时， pe=2em? cos30 =2 2=2，所以，点 p 的坐标为（ 1，2） ，综上所述，抛物线对称轴上存在点p（1，2）或（ 1， 2）或（ 1，）或（ 1， 2） ，使 pem 是等腰三角

36、形3、解：（1）由题意， a（6，0） 、b（0， 8） ，则 oa=6，ob=8，ab=10；当 t=3 时， an=t=5=ab，即 n 是线段 ab 的中点；n（3，4） 学习必备欢迎下载设抛物线的解析式为：y=ax（x6） ，则：4=3a（3 6） ，a=；抛物线的解析式：y=x（x6）=x2+x（2）过点 n 作 ncoa 于 c；由题意， an=t，am=oaom=6t，nc=na? sinbao=t? =t；则： smna=am?nc= （6t） t=（t3）2+6 mna 的面积有最大值，且最大值为6（3）rtnca 中， an=t，nc=an?sinbao=t，ac=an?c

37、osbao=t；oc=oaac=6t， n（6t，t） nm=；又： am=6t，an=t（0t6） ； 当 mn=an 时，=t，即： t28t+12=0，t1=2，t2=6（舍去）； 当 mn=ma 时，=6 t，即：t2 12t=0， t1=0（舍去），t2=； 当 am=an 时， 6t=t，即 t=；综上，当t 的值取2 或或时， man 是等腰三角形4、解： （1）抛物线 y=ax2+bx+c（a0 ）经过 a（ 1，0） ，b（3，0） ，c（0，）三点，解得 a=，b=，c=，学习必备欢迎下载抛物线的解析式为：y=x2x（2）设直线l1的解析式为y=kx+b，由题意可知，直线l

38、1经过 a（ 1，0） ，c（0，）两点，解得 k=，b=，直线l1的解析式为： y=x；直线 l2经过 b（3，0） ，c（0，）两点，同理可求得直线l2解析式为： y=x抛物线y=x2x=（x 1）2，对称轴为x=1，d（1，0） ，顶点坐标为f（1，） ；点 e 为 x=1 与直线 l2：y=x的交点，令x=1，得 y=， e（1，） ；点 g 为 x=1 与直线 l1：y=x的交点，令x=1，得 y=， g（1，） 各点坐标为：d（1，0） ，e（1，） ， f（1，） ，g（1，） ，它们均位于对称轴x=1 上，de=ef=fg=（3）如右图，过c 点作 c 关于对称轴x=1 的对称

39、点p1，cp1交对称轴于h 点，连接cfpcg 为等腰三角形，有三种情况： 当 cg=pg 时，如右图，由抛物线的对称性可知，此时p1满足 p1g=cgc（0，） ，对称轴x=1， p1（2，） 当 cg=pc 时，此时p 点在抛物线上，且cp 的长度等于cg如右图， c（1，） ，h 点在 x=1 上， h（1，） ，在 rtchg 中， ch=1，hg=|ygyh|=|（）|=，由勾股定理得：cg=2pc=2如右图， cp1=2，此时与 中情形重合；又 rtoac 中， ac=2，点 a 满足 pc=2 的条件，但点a、c、g 在同一条直线上，所以不能构成等腰三角形 当 pc=pg 时，此

40、时p 点位于线段cg 的垂直平分线上l1l2， ecg 为直角三角形，学习必备欢迎下载由（ 2）可知， ef=fg，即 f 为斜边 eg 的中点，cf =fg， f 为满足条件的p 点， p2（1，） ；又 coscge=， cge=30 ， hcg=60 ，又 p1c=cg， p1cg 为等边三角形，p1点也在 cg 的垂直平分线上，此种情形与 重合综上所述， p 点的坐标为p1（2，）或 p2（1，） 5、解：（1）过点 b 作 bfx 轴于 f在 rtbcf 中 bco=45 ，bc=6cf =bf=12 c 的坐标为（ 18，0）ab=of =6 点 b 的坐标为（ 6，12） （2）

41、过点 d 作 dgy 轴于点 gabdg odg oba=，ab=6， oa=12 dg=4，og=8 d（ 4，8） ，e（0，4）学习必备欢迎下载设直线 de 解析式为y=kx+b（k0 ）直线 de 解析式为y=x+4（3）结论：存在设直线 y=x+4 分别与 x 轴、 y 轴交于点e、点 f，则 e（0，4） ，f（4，0） ，oe=of=4，ef=4如答图 2 所示，有四个菱形满足题意 菱形 oep1q1，此时 oe 为菱形一边则有 p1e=p1q1=oe=4，p1f=efp1e=44易知 p1nf 为等腰直角三角形，p1n=nf=p1f=42；设 p1q1交 x 轴于点 n，则 n

42、q1=p1q1p1n=4（ 42）=2，又 on=of nf=2， q1（2， 2） ； 菱形 oep2q2，此时 oe 为菱形一边此时 q2与 q1关于原点对称，q2（ 2，2） ； 菱形 oeq3p3，此时 oe 为菱形一边此时 p3与点 f 重合，菱形oeq3p3为正方形， q3（4，4） ； 菱形 op4eq4，此时 oe 为菱形对角线由菱形性质可知，p4q4为 oe 的垂直平分线，由 oe=4，得 p4纵坐标为2，代入直线解析式y= x+4 得横坐标为2，则 p4（2，2） ，由菱形性质可知，p4、q4关于 oe 或 x 轴对称， q4（ 2，2） 综上所述，存在点q，使以 o、e、

43、p、q 为顶点的四边形是菱形；点 q 的坐标为： q1（2， 2） ，q2（ 2，2） ，q3（4，4） ，q4（ 2，2） 学习必备欢迎下载6、解：（1）点 b（ 2，m）在直线y=2x1 上m=3 即 b（ 2，3）又抛物线经过原点o设抛物线的解析式为y=ax2+bx点 b（ 2， 3） ，a（4，0）在抛物线上，解得：设抛物线的解析式为（2） p（x，y）是抛物线上的一点，若 sadp=sadc，又点 c 是直线 y=2x1 与 y 轴交点，c（0，1） ，oc=1，即或，解得：点 p 的坐标为学习必备欢迎下载（3）结论：存在抛物线的解析式为，顶点 e（2， 1） ，对称轴为x=2；点

44、f 是直线 y=2x1 与对称轴x=2 的交点， f（2， 5） ，df =5又 a（4，0） ，ae=如右图所示，在点m 的运动过程中，依次出现四个菱形： 菱形 aem1q1此时 dm1=ae=，m1f=df dedm1=4，t1=4； 菱形 aeom2此时 dm2=de=1，m2f=df +dm2=6，t2=6； 菱形 aem3q3此时 em3=ae=，dm3=em3 de=1，m3f=dm3+df =（1）+5=4+，t3=4+； 菱形 am4eq4此时 ae 为菱形的对角线，设对角线ae 与 m4q4交于点 h，则 aem4q4，易知 aed m4eh，即，得 m4e=，dm4=m4e

45、 de=1=，m4f=dm4+df =+5=， t4=学习必备欢迎下载综上所述，存在点m、点 q，使得以 q、a、e、m 四点为顶点的四边形是菱形；时间t 的值为： t1=4， t2=6，t3=4+，t4=四、直角三角形与抛物线1、解：（1）令 y=0，即=0，解得 x1= 4，x2=2，a、b 点的坐标为a（ 4，0） 、b（2，0） （2）sacb=ab?oc=9，在 rtaoc 中， ac=5，设 acd 中 ac 边上的高为h，则有ac? h=9，解得 h=如答图 1，在坐标平面内作直线平行于ac，且到 ac 的距离 =h=，这样的直线有2 条，分别是 l1和 l2，则直线与对称轴x=

46、1 的两个交点即为所求的点d设 l1交 y 轴于 e，过 c 作 cfl1于 f，则 cf=h=，ce=设直线 ac 的解析式为y=kx+b，将 a（ 4，0） ，b（0，3）坐标代入，学习必备欢迎下载得到，解得，直线ac 解析式为y=x+3直线 l1可以看做直线ac 向下平移ce 长度单位（个长度单位）而形成的，直线 l1的解析式为y=x+3=x则 d1的纵坐标为 （ 1）=， d1（ 4，） 同理，直线ac 向上平移个长度单位得到l2，可求得 d2（ 1，）综上所述， d 点坐标为： d1（ 4，） ，d2（ 1，） （3）如答图 2，以 ab 为直径作 f，圆心为 f过 e 点作 f 的

47、切线，这样的切线有2 条连接 fm ，过 m 作 mnx 轴于点 na（ 4，0） ，b（2，0） ， f（ 1，0） ， f 半径 fm =fb=3又 fe=5，则在 rtmef 中，me=4，sinmfe=，cosmfe =在 rtfmn 中， mn=mn? sinmfe=3 =，fn=mn?cosmfe =3 =，则 on=，m 点坐标为（，）直线 l 过 m（，） ，e（4，0） ，设直线 l 的解析式为y=kx+b，则有，解得，所以直线l 的解析式为y=x+3同理，可以求得另一条切线的解析式为y=x3综上所述，直线l 的解析式为y=x+3 或 y=x3学习必备欢迎下载2、解：（1）抛

48、物线y=x2+x+4 中：令 x=0， y=4，则b（0，4） ；令 y=0， 0=x2+x+4，解得x1=1、x2=8，则 a（8，0） ；a（8，0） 、b（0，4） （2）abc 中， ab=ac，aobc，则 ob=oc=4， c（0， 4） 由 a（ 8，0） 、 b（0，4） ，得：直线ac：y=x+4；依题意，知： oe=2t，即e（2t，0） ；p（2t， 2t2+7t+4） 、q（2t， t+4） ，pq=（ 2t2+7t+4）（ t+4）=2t2+8t；s=sabc+sp ab= 8 8+ （ 2t2+8t） 8= 8t2+32t+32= 8（t2）2+64；当 t=2 时

49、， s有最大值，且最大值为64（3） pmy 轴， amp = aco90 ；而 apm 是锐角，所以pam 若是直角三角形，只能是pam=90 ；由 a（ 8，0） 、 c（ 0， 4） ，得：直线ac：y=x4；所以，直线ap 可设为： y=2x+h，代入 a（8，0） ，得：16+h=0，h=16 直线 ap： y=2x+16，联立抛物线的解析式，得：，解得、存在符合条件的点p，且坐标为（ 3，10） 学习必备欢迎下载3.解： （1）二次函数的顶点坐标为（4， 4） ，设二次函数的解析式为y=a（x4）24，又二次函数过（0，0） ，0=a（04）24，解得： a=，二次函数解析式为y=

50、（x4）24=x22x；（2） 证明：过a 作 ahl 于 h，l 与 x 轴交于点 d，如图所示：设 a（ m，m22m） ，又 o（0，0） ，直线 ao 的解析式为y=x=（m2）x，则 m（4， m 8） ，n（4， m） ，h（4，m22m） ，od=4，nd=m，ha=m4， nh=ndhd =m2m，在 rtond 中， tan onm=，在 rtanh 中， tananm=，学习必备欢迎下载tanonm =tananm，则 anm=onm； ano 不能为直角三角形，理由如下：分三种情况考虑：（i）若 ona 为直角，由 得： anm =onm=45 ， ahn 为等腰直角三角

51、形，ha=nh，即 m4=m2m，整理得： m28m+16=0，即（ m4）2=0，解得： m=4，此时点 a 与点 p 重合，故不存在a 点使 ona 为直角三角形；（ii ）若 aon 为直角，根据勾股定理得：oa2+on2=an2，oa2=m2+（m22m）2， on2=42+m2，an2=（m4）2+（m22m+m）2，m2+（m22m）2+42+m2=（m4）2+（m22m+m）2，整理得： m（m4）2=0，解得： m=0 或 m=4，此时 a 点与 p 点重合或与原点重合，故aon 不能为直角；（iii ）若 nao 为直角，可得nam=odm =90 ，且 amn=dmo ，

52、amn dmo ，又 man=odn=90 ，且 anm=ond ， amn don， amn dmo don，=，即=，整理得：（m4）2=0，解得： m=4，此时 a 与 p 重合，故 nao 不能为直角，综上，点 a 在对称轴l 右侧的二次函数图象上运动时，ano 不能为直角三角形4、学习必备欢迎下载解： （1）直线解析式为y=x+2，令 x=0，则 y=2，a（0，2） ，抛物线y=x2+bx+c 的图象过点a（ 0，2） ， e（ 1，0） ，解得抛物线的解析式为：y=x2+x+2（2）直线y=x+2 分别交 x 轴、 y 轴于点 p、点 a，p（6，0） ，a（0，2） ，op=6

53、，oa=2acab， oaop，rt ocartopa，oc=，又 c 点在 x 轴负半轴上，点 c 的坐标为 c（，0） （3）抛物线y=x2+x+2 与直线 y=x+2 交于 a、b 两点，学习必备欢迎下载令x2+x+2=x+2，解得 x1=0，x2=，b（，） 如答图 所示，过点b 作 bdx 轴于点 d，则 d（，0） ， bd=，dp=6=点 m 在坐标轴上，且mab 是直角三角形，有以下几种情况： 当点 m 在 x 轴上，且bm ab，如答图 所示设 m（m，0） ，则 md= mbmab，bd x 轴，即，解得 m=，此时 m 点坐标为（， 0） ； 当点 m 在 x 轴上，且b

54、m am，如答图 所示设 m（m，0） ，则 md= mbmam，易知 rtaomrtmdb，即，化简得： m2m+=0，解得： x1=，x2=，此时 m 点坐标为（， 0） ， （， 0） ；（说明：此时的m 点相当于以ab 为直径的圆与x 轴的两个交点） 当点 m 在 y 轴上，且bm am，如答图 所示此时 m 点坐标为（ 0，） ； 当点 m 在 y 轴上，且bm ab，如答图 所示学习必备欢迎下载设 m （0，m） ，则 am=2=，bm=，mm = m易知 rtabm rtmbm ，即，解得 m=，此时 m 点坐标为（ 0，） 综上所述，除点c 外，在坐标轴上存在点m，使得 mab

55、 是直角三角形符合条件的点m 有 5 个，其坐标分别为： （，0） 、 （，0） 、 （，0） 、 （0，）或（ 0，） 学习必备欢迎下载五、相似三角形与抛物线1、解： （1）抛物线y=y=ax2+bx（a0 ）经过 a（3，0） 、b（4，4），解得：抛物线的解析式是y=x23x（2）设直线ob 的解析式为y=k1x，由点 b（4， 4） ，得： 4=4k1，解得： k1=1 直线 ob 的解析式为y=x，直线 ob 向下平移m 个单位长度后的解析式为：y=xm，点 d 在抛物线y=x23x 上，可设 d（x，x23x） ，又点 d 在直线 y=x m 上，x2 3x=xm，即 x24x+m

56、=0，抛物线与直线只有一个公共点， =16 4m=0，解得： m=4，此时 x1=x2=2，y=x23x=2，d 点的坐标为（ 2， 2） （3）直线ob 的解析式为y=x，且 a（3，0） ，点 a 关于直线 ob 的对称点 a的坐标是（ 0，3） ，设直线 ab 的解析式为y=k2x+3，过点（ 4，4） ，4k2+3=4，解得： k2=，直线 ab 的解析式是y=， nbo=abo，点 n 在直线 a b 上，设点 n（n，） ，又点 n 在抛物线y=x23x 上，=n23n，学习必备欢迎下载解得： n1=，n2=4（不合题意，舍去）n 点的坐标为（，） 方法一：如图 1，将 nob 沿

57、 x 轴翻折，得到n1ob1，则 n1（，） ，b1（4， 4） ，o、d、b1都在直线y=x 上 p1od nob， p1od n1ob1，点 p1的坐标为（，） 将 op1d 沿直线 y=x 翻折，可得另一个满足条件的点p2（，） ，综上所述，点p 的坐标是（，）或（，） 2、解：（1）设函数解析式为：y=ax2+bx+c，由函数经过点a（ 4，0） 、b（1，0） 、c（ 2，6） ，可得，解得：，故经过 a、b、c 三点的抛物线解析式为：y=x23x+4；（2）设直线bc 的函数解析式为y=kx+b，由题意得：，解得：，即直线 bc 的解析式为y=2x+2故可得点 e 的坐标为（ 0，

58、2） ，学习必备欢迎下载从而可得： ae=2，ce=2，故可得出 ae=ce；（3）相似理由如下：设直线 ad 的解析式为y=kx+b，则，解得：，即直线 ad 的解析式为y=x+4联立直线 ad 与直线 bc 的函数解析式可得：，解得：，即点 f 的坐标为（，） ，则 bf=，af=，又 ab=5，bc=3，=，=，=，又 abf=cba， abf cba故以 a、b、 f 为顶点的三角形与abc 相似学习必备欢迎下载3、解：（1）由函数图象经过原点得，函数解析式为y=ax2+bx（a0 ） ，又函数的顶点坐标为（3，） ，解得：，故函数解析式为：y=x2x，由二次函数图象的对称性可得点a

59、的坐标为（ 6，0） ；（2） spoa=2saob，点 p 到 oa 的距离是点b 到 oa 距离的 2 倍，即点p 的纵坐标为2，代入函数解析式得：2=x2x，解得： x1=3+，x2=3，即可得满足条件的有两个，p1（3+，2） ，p2（ 3，2） （3）存在过点 b 作 bpoa，则 tan bap=，故可得 boa=60 ，设 q1坐标为（ x，x2x） ，过点 q1作 q1fx 轴， oab oq1a，学习必备欢迎下载 q1oa=30 ，故可得 of=q1f，即 x=（x2x） ，解得： x=9 或 x=0（舍去），即可得 q1坐标为（ 9，3） ，根据函数的对称性可得q2坐标为（

60、 3，3） 4.解： （1）依题意，将m（2， 2）代入抛物线解析式得：2=（ 2+2） （2m） ，解得 m=4（2）令 y=0，即（x+2） （ x4）=0，解得 x1= 2，x2=4，b（ 2，0） ，c（4，0）在 c1中，令 x=0，得 y=2， e（0，2） sbce=bc?oe=6（3）当 m=4 时，易得对称轴为x=1，又点 b、c 关于 x=1 对称如答图 1，连接 bc，交 x=1 于 h 点，此时bh+ch 最小（最小值为线段ce 的长度）设直线 ec： y=kx+b，将 e（0，2） 、c（4，0）代入得： y=x+2，当 x=1 时， y=， h（1，） （4）分两种