人教A版数学必修一专题3函数的单调性

1、奋斗没有终点任何时候都是一个起点信达专题3函数的单调性1函数单调性的定义(1)增函数(2)减函数2函数单调区间的定义如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y = f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.3用定义法证明函数单调性的一般步骤奋斗没有终点任何时候都是一个起点信达取值作差变形定号下结论4 .求单调区间的方法定义法、图象法.5 .复合函数y= fg(x)在公共定义域上的单调性(1)若f与g的单调性相同，则函数fg(x)为增函数;(2)若f与g的单调性相反，则函数fg(x)为减函数. 注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集.一 .2

2、，一一3 .例1求证：函数f (x) = 2x + 3x1在区间(8, 4上是单倜递增函数.奋斗没有终点任何时候都是一个起点信达变式训练1求证：函数f(x)= 2x3 x在R上是单调递减函数.例2求下列函数的增区间与减区间： y=|x2+2x3 ; (2) y=J x22x+3.变式训练2求函数f(x)=R x2+6x8的单调区间和值域.奋斗没有终点任何时候都是一个起点信达例3函数f（x） = ax2（3a1）x+a2在1 ,十）上是增函数，求实数a的取值范围.变式训练3已知函数f（x） =（1+入）x2+2（1入）x+1在1,1上是增函数，求实数 入 的取值范围.A级1 .下列函数中，在区间

3、（0,+0）上为增函数的是（）A. y=也+1B. y=（x-1）2C. y=2xD. y= log0.5（x+1）奋斗没有终点任何时候都是一个起点信达2 .函数f(x)的定义域为(a,b),且对其内任意实数xi,X2均有(xiX2)(f(xi) f(X2)0 ,则f(x)在(a,b)上是()A.增函数B.减函数C.不增不减函数D.既增又减函数3 .函数y=loga(2ax)在0,1上是减函数，则a的取值范围是()A.(0,1)B. (0,2)C.(1,2)D. (2 , +8)4.已知f(x)为R上的减函数，则满足f(x22x)0,则此函数的单调递减区间是()A.(8,3)B. (1 , +

4、8)C.(一00,一1) D.(一1,十0)9.函数f(x)在区间(一2,3)上是增函数，则y =f(x+5)的一个递增区间是()A.(3,8)B. ( -7, - 2)C.(-2, - 3)D. (0,5)10 .已知f(x)是定义在区间1,1上的增函数，且f(x- 2)0.证明：当a 1时，函数f(x)在区间0 , +8)上 是单调函数.答案精析专题3函数的单调性典型例题一 一一 _3 , _ _ _ _例1证明对于区间(一,4内的任息两个值Xi ,X2,且X1X2,因为f(X1) f(X2)22=- 2X1 +3X1 1一( -2X2+3X2- 1)22=2X2-2X1+3X13X2=

5、(X1X2)3 - 2(X1+X2),33又X1X24，3则X1-X20,X1 +X20 ,故(X1X2)3 - 2(X1+X2)0 ,即f(X1) f (X2)0 ,即f(X1)f(X2).2，一、3，一、一一所以，函数f(x)=- 2x+3X-1在区间(00,4上是单调递增函数. 变式训练1证明 对于R上的任意两个值xi,X2,且xiX2,因为f(Xi) f(X2)33、=2xi Xi ( 2X2X2)33 .=2X2 2Xi +X2Xi1.2132 1奋斗没有终点任何时候都是一个起点信达=(X2Xi)2(X2+2Xi) +2Xi+i,又Xi0,2(X2+2Xi)2+2X2+i0,2.23

6、2得(X2Xi)2(X2+2Xi) +2Xi+i0,故f(Xi) f(X2)0 ,即f(Xi)f(X2).所以函数f(X)= - 2X3-X在R上是单调减函数.例2解(i)令f(X)=X2+2X3=(X+i) 2 4.先作出f(X)的图象，保留其在X轴及X轴上方部分，把它在X轴下方的图象翻到 得到y=|X2+2X3的图象，如下图所示.由图象易得：递增区间是 3, i , i , +00),递减区间是(8, 3, -i,i.(2)由一X22X+30,得一 3WXW1.3令u = g(x)=x -2x+3=-(x+ i)2+4.在xC3, i上是单调递增, 在xC i,i上是单调递减.而y=却在u

7、0上是增函数.，函数y的增区间是3, 1,减区间是 1,1.变式训练2解 由一x2+6x80,可得x26x+8W0, -2x0当a0时，由3a-1,得0aw1.百小若a0时，无解. .a的取值范围是0WaW1.变式训练3解f(x) =(1 +入)x2+2(1入)x+1当入=1时，f(x)=4x+1在1,1上是增函数，入=1满足题意.r- r-，、一、，1一入当入 W 1时，对称轴万程为x =,1+八1一入 (1)当入1时，丁0 1 ,1+入解得入1时，1, 1+入解得一1入W 0；综上，入W0.强化提高1. A A项，函数y=巾+1在1, +)上为增函数，所以函数在(0, +8)上为增函数，

8、故正确；B项，函数y =(x- 1)2在(00, 1)上为减函数，在1 , +oo )上为增函数，故错误； 一一 一x1.一 一C项，函数y=2 =(2)在R上为减函数，故错误；D项，函数y= log0.5(x+ 1)在(一1,+00)上为减函数，故错误.奋斗没有终点任何时候都是一个起点信达Xi X20,2B (Xl-X2)(f(Xl)-f(X2)0Xi-X20,f(Xi) f(X2)0.即当Xif(X2)或当XiX2时，f(Xi)f(X2),不论哪种情况，都说明f(X)在(a,b)上为减函数. 3. Ca。，2-aX在0,1上是减函数. .y=logau应为增函数，且u=2-aX在0,1上应

9、恒大于零.4. B因为f(X)为R上的减函数，且f(X22X)3,即X -2X-30,解得X3,所以满足f(x22x)f(3)的实数X的取值范围是(8, 1) U (3 , +8),故选B.一 ，15. (00, y解析 因为f(X) = (2 k1)X+1在R上单调递减，,1所以2k-10,解得k0,得X2,，函数f(X)=2X 2的定义域为(一00, 1 U 2 ,+0),- f (X) =AJX2-X-2129 2 4，单调递减区间是(一, 1.7. me 16解析 由题意，得函数f(x)=4x2m奸5的对称轴x=m12a0,1- 1a0,a1,由复合函数单调性知单减区间须满足x2+2x

10、30,解之得x3.x-19.B 令2x+ 53,得：7Vx2.310. 1，2)-1 x-2 1,解析由题意，得一1W1 xW1,x- 21-x,3解得1x2,. 3故满足条件的x的取值范围是1Wx0,2lg( x),x0.函数大致图象如图所示，所以函数的单调递减区间是(一 8,0).12. 3根据函数y=(x1)2的图象可知，函数在(1 , +8)上是增函数，所以错误;_ _1 ,根据其函数图象可知，y=-在(一 8,0)上为增函数，所以是正确的;x其中中若k = 0,则命题不成立，错误.13.解设对于区间(一2,十0)内的任意两个值x1,x2,且x1x2,axd1贝Uf (x1) f (x2) = -x1十2(1 -2a)(x2-x1)=0(x1+2)(x2+2) 0 x1-x20,x2+20得,. .(x1 +2)(x2+2)0,12且f(x) = lg x1 .斛析y =一在(一00 x0), (0, +8)为减函数，所以错误;ax2 +1x2+2奋斗没有终点任何时候都是一个起点信达 - 1 - 2a2.奋斗没有终点任何时候都是一个起点信达14.证明 在区间0 , +8）上任取Xi、X2,使得XlX2.贝U