考研数学二分类模拟题88

考研数学二分类模拟题88一、填空题1.

已知函数f(x)在(-∞，+∞)上连续，且，则当n≥2时，f(n)(0)=______．正确答案：5·2n-1．[解析]f'(x)=2(x+1)+2f(x)，f'(0)=2+2f(0)=4，

f"(x)=2+2f'(x)，f"(0)=2+2×4=10，

f"(x)=2f"(x)，f"(0)=2f"(0)=20，

……

f(n)(x)=2f(n-1)(x)=22f(n-2)(x)=…=2n-2f"(x)，

则f(n)(0)=2n-2f"(0)=2n-2·10=2n-2·10=5·2n-1(n≥2)．

2.

曲线y=arctanx在横坐标为1的点处的切线方程是______；法线方程是______．正确答案：．[解析]，则x=1处切线方程为，法线方程为．

3.

曲线在点(0，0)处的切线方程是______．正确答案：y=2x．[解析]y'=(x-1)(x-2)，y'(0)=2．则所求切线方程为y-0=2(x-0)，即y=2x．

4.

设函数y=f(x)由方程e2x+y-cosxy=e-1所确定，则曲线y=f(x)在点(0，1)处的法线方程为______．正确答案：x-2y+2=0．[解析]方程e2x+y-cosxy=e-1两边同时对x求导得

将x=0，y=1代入解得

故所求的法线方程为

x-2y+2=0．

5.

设函数y=f(x)由方程xy+2lnx=y4所确定，则曲线y=f(x)在点(1，1)处的切线方程是______．正确答案：x-y=0．[解析]在xy+2lnx=y4两端对x求导得

将x=1，y=1代入上式得，故所求切线方程为

y-1=x-1，即x-y=0．

6.

曲线sinxy+ln(y-x)=x在点(0，1)处的切线方程是______．正确答案：y=x+1．[解析]令f(x，y)=sinxy+ln(y-x)-x，则

于是，，故所求切线方程为y=x+1．

7.

曲线上对应于处的法线方程是______．正确答案：．[解析]当．又

，

则处法线方程为．

8.

曲线在t=2处的切线方程为______．正确答案：3x-y-7=0．[解析]．当t=2时，x=5，y=8．则所求切线方程为y-8=3(x-5)，即3x-y-7=0．

9.

曲线在点(0，1)处的法线方程为______．正确答案：y+2x-1=0．[解析]

当x=0时，t=0，故

从而在点(0，1)处法线的斜率为-2，法线方程为

y-1=-2x．

10.

曲线上对应于的点处的法线斜率为______．正确答案：．[解析]因

故曲线上对应于处的法线斜率为

11.

曲线在(0，0)处的切线方程为______．正确答案：y=2x．[解析]点(0，0)对应于t=1．因为

所以切线斜率为

故切线方程为y=2x．

12.

曲线上对应于t=1的点处的法线方程为______．正确答案：．[解析]曲线上对应于t=1的点处的切线斜率为

因而该点处的法线斜率为-1．

又

于是所求法线方程为

13.

曲线L的极坐标方程是r=θ，则L在点处的切线的直角坐标方程是______．正确答案：．[解析]先把曲线方程化为参数方程于是在处，x=0，，，则L在点处的切线方程为，即．

14.

已知一个长方形的长l以2cm/s的速率增加，宽w以3cm/s的速率增加．则当l=12cm，w=5cm时，它的对角线增加的速率为______．正确答案：3cm/s．[解析]以y表示对角线的长，则有

将l'=2，w'=3，l=12，w=5代入得到

15.

已知动点P在曲线y=x3上运动，记坐标原点与点P间的距离为l．若点P的横坐标对时间的变化率为常数v0，则当点P运动到点(1，1)时，l对时间的变化率是______．正确答案：．[解析]由题设知，则

二、选择题1.

设函数y=f(x)由方程cosxy+lny-x=1确定，则A.2．B.1．C.-1．D.-2．正确答案：A[解析]由方程cosxy+lny-x=1，可解出y|x=0=f(0)=1．

在方程两端对x求导，有

将x=0及y|x=0=1代入上式，得y'|x=0=f'(0)=1，所以

故选A．

2.

设函数．若f'(x)在x=0处连续，则A.α-β＞1．B.0＜α-β≤1．C.α-β＞2．D.0＜α-β≤2．正确答案：A[解析]易求出

再有

f'-(0)=0．

于是，f'(0)存在α＞1，此时f'(0)=0．

当α＞1时，，

因此，f'(x)在x=0连续选A．

3.

的图形在点(0，1)处切线与x轴交点坐标是

A．

B．(-1，0)．

C．

D．(1，0)．正确答案：A[解析]f'(x)=x2+x+6，f'(0)=6，点(0，1)处的切线方程为y-1=6x，令y=0得，即此切线与x轴的交点坐标为．

4.

若曲线y=x2+ax+b和2y=-1+xy3在点(1，-1)处相切，其中a，b是常数，则A.a=0，b=-2．B.a=1，b=-3．C.a=-3，b=1．D.a=-1，b=-1．正确答案：D[解析]由于曲线y=x2+ax+b和2y=-1+xy3在点(1，-1)处相切，则在点(1，-1)处两曲线切线斜率相等，且两曲线同时过点(1，-1)．

y'=2x+a，y'|x=1=2+a．

2y'=y3+3xy2y'，y'|x=1=1．

则2+a=1，a=-1．

又-1=1+a+b=1-1+b=b，b=-1．

所以应选D．

5.

曲线y=x2与曲线y=alnx(a≠0)相切，则a=A.4e．B.3e．C.2e．D.e．正确答案：C[解析]设公共切点为(x0，y0)，则有

解得，y0=e，a=2e．

6.

设函数y=y(x)由参数方程确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是

A．

B．

C．-8ln2+3．

D．8ln2+3．正确答案：A[解析]由x=3得3=t2+2t，解之得t1=1，t2=-3，由y=ln(1+t)知应取t=1．

故曲线在(3，ln2)处的法线方程为

y-ln2=-8(x-3)．

令y=0，得．

7.

设两函数f(x)和g(x)都在x=a处取得极大值，则函数F(x)=f(x)g(x)在x=a处A.必取极大值．B.必取极小值．C.不可能取极值．D.是否取极值不能确定．正确答案：D[解析]本题的关键在于由题设可知在x=a的某邻域内有f(a)≥f(x)，g(a)≥g(x)，由此能否得到g(a)f(a)≥g(x)f(x)或g(a)f(a)≤g(x)f(x)，在一般情况下是得不到此结论的．

若取f(x)=-(x-a)2，g(x)=-(x-a)2，显然f(x)和g(x)在x=a处取极大值0，但f(x)g(x)=(x-a)4在x=a处取极小值．则A，C都不正确；若取f(x)=1-(x-a)2，g(x)=1-(x-a)2，则f(x)和g(x)都在x=a处取极大值1，而f(x)g(x)=[1-(x-a)2]2在x=a处仍取极大值1，则B也不正确，从而只有D对．

8.

已知f(x)在x=0的某个邻域内连续，且，则在点x=0处f(x)A.不可导．B.可导且f'(0)≠0．C.取得极大值．D.取得极小值．正确答案：D[解析]由于，故

又，故．由极限的保号性可知在x=0的去心邻域内有，即f(x)＞0，故f(x)在x=0处取极小值，从而选D．

易知f(0)=0，

由于，则必有，即f'(0)=0．排除A，B．

三、解答题1.

已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x=0的某个邻域内满足关系式

f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+α(x)，

其中α(x)是当x→0时比x高阶的无穷小，且f(x)在x=1处可导，求曲线y=f(x)在点(6，f(6))处的切线方程．正确答案：解

由，

得f(1)-3f(1)=0，故f(1)=0．又

设sinx=t，则有

所以f'(1)=2．

由于f(x+5)=f(x)，所以

f(6)=f(1)=0，f'(6)=f'(1)=2，

故所求的切线方程为y=2(x-6)，即2x-y-12=0．[解析]本题综合涉及函数的周期性、连续性、极限、导数定义及曲线的切线等内容，问题的关键点在于求出f'(1)，而又只能由导数的定义求f'(1)，这也是本题的难点所在．

2.

已知曲线的极坐标方程是r=1-cosθ，求该曲线上对应于处的切线与法线的直角坐标方程．正确答案：解

由直角坐标与极坐标之间的关系

得到此曲线的参数方程：

以代入，得到切点坐标为．

由参数方程求导公式得切线斜率为

所以切线的直角坐标方程为

即

法线方程为

即

3.

若f(x)在(a，b)内可导，且导数f'(x)恒大于零，则f(x)在(a，b)内单调增加．正确答案：证

，不妨设x1＜x2，则f(x)在[x1，x2]上连续，在(x1，x2)内可导，故由拉格朗日中值定理，，使得f(x2)-f(x1)=f'(ξ)(x2-x1)．

由于f'(x)在(a，b)内恒大于零，所以f'(ξ)＞0，又x2-x1＞0，因此f(x2)-f(x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)，则f(x)在(a，b)内单调增加．

4.

若g(x)在x=c处二阶导数存在，且g'(c)=0，g"(c)＜0，则g(c)为g(x)的一个极大值．正确答案：证

因，而g'(c)=0，故．由极限的保号性，，当x∈(c-δ，c)时，有，即g'(x)＞0，从而g(x)在(c-δ，c)上单增；当x∈(c，c+δ)时，有，即g'(x)＜0，从而g(x)在(c-δ，c)上单减．

又由g'(c)=0知，x=c是g(x)的驻点，因此g(c)为g(x)的一个极大值．

5.

在第一象限内求曲线y=-x2+1上的一点，使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围成的图形面积为最小，并求此最小面积．正确答案：解

设所求点为(x1，y1)，x1＞0，y1＞0，于是y'|x=x1=-2x1．过(x1，y1)的切线方程为

y-y1=-2x1(x-x1)．

令x=0得切线在y轴的截距，令y=0得切线在x轴的截距．

于是，所求面积为

令

得．

又，即知点为所求，此时．

6.

将长为a的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形，问这两段铁丝各