双曲线知识点总结例题

1、（二）双曲线知识点及巩固复习1.双曲线的定义 如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线 若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支F1，F2为两定点，P为一动点，(1)若|PF1|-|PF2|=2a0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是 2a=|F1F2|则动点P的轨迹是 2a=0则动点P的轨迹是 (2) 若|P F1|-|PF2|=2a0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是 2a=|F1F2|则动点P的轨迹是 2a=0则动点P的轨迹是 2.双曲线的标准

2、方程 3.双曲线的性质 （1）焦点在x轴上的双曲线标准方程 x,y的范围 顶点 焦点 对称轴 对称中心 实半轴的长 虚半轴的长 焦距 离心率e= 范围 e越大双曲线的开口越 e越小双曲线的开口越 准线 渐近线 焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为双曲线的左右两焦点，P为椭圆上的一点)（1） 焦点在y轴上的双曲线 标准方程 x,y的范围 顶点 焦点 对称轴 对称中心 实半轴的长 虚半轴的长 焦距 离心率e= 范围 e越大双曲线的开口越 e越小双曲线的开口越 准线 渐近线 焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为双曲线的下上两焦点，P为椭圆上的一点)1. 等轴双

3、曲线：特点实轴与虚轴长相等渐近线互相垂直离心率为 2. 共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线特点有共同的渐近线四焦点共圆 双曲线的共轭双曲线是 6.双曲线系（1） 共焦点的双曲线的方程为(0<k<c2,c为半焦距)（2） 共渐近线的双曲线的方程为例题在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清是指整条双曲线，还是双曲线的哪一支考点1、双曲线定义例1、已知动圆M与圆C1：(x4)2y22外切，与圆C2：(x4)2y22内切，求动圆圆心M的轨迹方程【例2】若椭圆与双曲线有相同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF

4、1|·|PF2|的值是 （ ）A. B. C. D. 【例3】已知双曲线与点M（5，3），F为右焦点，若双曲线上有一点P，使最小，则P点的坐标为考点2、求双曲线的方程求双曲线标准方程的方法1定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a、b、c即可求得方程2待定系数法(2)待定系数法求双曲线方程的常用方法与双曲线1有共同渐近线的双曲线方程可表示为t(t0)；若双曲线的渐近线方程是y±x，则双曲线的方程可表示为t(t0)；与双曲线1共焦点的方程可表示为1(b2ka2)；过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为1(mn0)；与椭圆1(ab0)有共同焦点的双曲线方程可表示为1(b2

5、a2)例4、求下列条件下的双曲线的标准方程(1)与双曲线1有共同的渐近线，且过点(3，2)；(2)与双曲线1有公共焦点，且过点(3，2)1.在双曲线的标准方程中，若x2的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2的系数是正的，那么焦点在y轴上，且对于双曲线，a不一定大于b.2若不能确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，可设双曲线方程为：mx2ny21(mn0)，以避免分类讨论考点3、双曲线的几何性质双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切，解题时要深刻理解确定双曲线的形状、大小的几个主要特征量，如a、b、c、e的几何意义及它们的相互关系，充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程例5、(12

6、分)双曲线C：1(a0，b0)的右顶点为A，x轴上有一点Q(2a,0)，若C上存在一点P，使·0，求此双曲线离心率的取值范围例6、【活学活用】 3.(2012北京期末检测)若双曲线1(a0，b0)的两个焦点分别为F1、F2，P为双曲线上一点，且|PF1|3|PF2|，则该双曲线的离心率e的取值范围是_【例7】直线过双曲线的右焦点，斜率k=2.若与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e的范围是 （ ） A.e> B.1<e< C.1<e< D.e>【例8】设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（ ）A B C. D【评

7、注】解题中发现PF1F2是直角三角形，是事前不曾想到的吧？可是，这一美妙的结果不是每个考生都能临场发现的.将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维能力，这正是命题人的高明之处.渐近线双曲线与直线相约天涯对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有. 双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开.双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中.【例9】过点（1，3）且渐近线为的双曲线方程是【评注】在双曲线中，令即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为，而无须考虑其实、虚

8、轴的位置. 共轭双曲线 虚、实易位的孪生弟兄将双曲线的实、虚轴互易，所得双曲线方程为：.这两个双曲线就是互相共轭的双曲线.它们有相同的焦距而焦点的位置不同；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用.【例10】两共轭双曲线的离心率分别为，证明：=1.设而不求与借舟弃舟同理减少解析几何计算量的有效方法之一便是设而不求.请看下例：【例11】双曲线的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为 （ ）A. B. C. D. “设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它.但是，“设而不

9、求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子.请看：【例12】在双曲线上，是否存在被点M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法：练习1(2011安徽高考)双曲线2x2y28的实轴长是( )A2 B2 C4 D42(2011山东高考)已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线均和圆C：x2y26x50相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( )A.1 B.1 C.1 D.13.(2012嘉兴测试)如图，P是双曲线y21右支(在第一象限内)上的任意一点，A1，A2分别是左、右顶点，O是坐标原点

10、，直线PA1，PO，PA2的斜率分别为k1，k2，k3，则斜率之积k1k2k3的取值范围是( )A(0,1) B(0，) C(0，) D(0，)4(金榜预测)在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点A(5,0)和C(5,0)，顶点B在双曲线1上，则为( )A. B. C. D.5P为双曲线1的右支上一点，M、N分别是圆(x5)2y24和(x5)2y21上的点，则|PM|PN|的最大值为( )A6 B7 C8 D96(2012南宁模拟)已知点F1，F2分别是双曲线的两个焦点，P为该曲线上一点，若PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为( )A.1 B.1 C2 D27方程1表示双曲线那

11、么m的取值范围是_8(2012大连测试)在双曲线4x2y21的两条渐近线上分别取点A和B，使得|OA|·|OB|15，其中O为双曲线的中心，则AB中点的轨迹方程是_9双曲线1(a0，b0)的离心率是2，则的最小值是_10(2012肇庆模拟)已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1(3,0)，一条渐近线的方程是 x2y0.(1)求双曲线C的方程；(2)若以k(k0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围11(文用)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)(1)求双曲线C的方程；(2)若

12、直线：ykxm(k0，m0)与双曲线C交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，1)，求实数m的取值范围12已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率e=的双曲线过点P(6，6) (1)求双曲线方程 (2)动直线l经过A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问 是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论 13已知双曲线,问过点A（1，1）能否作直线,使与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。14已知点N（1，2），过点N的直线交双曲线于A、B两点，且（1）求直线AB的方程；（2）若过N的直线l交双曲线于C、D两

13、点，且，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？ （二）双曲线知识点及巩固复习1.双曲线的定义 如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线 若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支F1，F2为两定点，P为一动点，(1)若|PF1|-|PF2|=2a0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是 2a=|F1F2|则动点P的轨迹是 2a=0则动点P的轨迹是 (2) 若|P F1|-|PF2|=2a0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是 2a=|F1F2|则动点P的

14、轨迹是 2a=0则动点P的轨迹是 2.双曲线的标准方程 3.双曲线的性质 （1）焦点在x轴上的双曲线标准方程 x,y的范围 顶点 焦点 对称轴 对称中心 实半轴的长 虚半轴的长 焦距 离心率e= 范围 e越大双曲线的开口越 e越小双曲线的开口越 准线 渐近线 焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为双曲线的左右两焦点，P为椭圆上的一点)（2） 焦点在y轴上的双曲线 标准方程 x,y的范围 顶点 焦点 对称轴 对称中心 实半轴的长 虚半轴的长 焦距 离心率e= 范围 e越大双曲线的开口越 e越小双曲线的开口越 准线 渐近线 焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为

15、双曲线的下上两焦点，P为椭圆上的一点)3. 等轴双曲线：特点实轴与虚轴长相等渐近线互相垂直离心率为 4. 共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线特点有共同的渐近线四焦点共圆 双曲线的共轭双曲线是 6.双曲线系（3） 共焦点的双曲线的方程为(0<k<c2,c为半焦距)（4） 共渐近线的双曲线的方程为考点1。双曲线的定义及应用在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清是指整条双曲线，还是双曲线的哪一支考点1、双曲线定义例1、已知动圆M与圆C1：(x4)2y22外切，与圆C2：(x4)2y22内切，求动圆圆心M的轨迹方程【自主

16、解答】设动圆M的半径为r，则由已知|MC1|r，|MC2|r，|MC1|MC2|2.又C1(4,0)，C2(4,0)，|C1C2|8，2|C1C2|.根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(4,0)、C2(4,0)为焦点的双曲线的右支a，c4，b2c2a214，点M的轨迹方程是：1(x)【例1】若椭圆与双曲线有相同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是 （ ）A. B. C. D. 【解析】椭圆的长半轴为双曲线的实半轴为，故选A.【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义，是破解本题的关键.【例2】已知双曲线与点M（5，3），F为右焦点，若双曲线上有一点P

17、，使最小，则P点的坐标为【分析】待求式中的是什么？是双曲线离心率的倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义.【解析】双曲线的右焦点F（6，0），离心率右准线为.作于N，交双曲线右支于P，连FP，则.此时为最小.在中，令，得取.所求P点的坐标为. 考点2、求双曲线的方程求双曲线标准方程的方法1定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a、b、c即可求得方程2待定系数法(2)待定系数法求双曲线方程的常用方法与双曲线1有共同渐近线的双曲线方程可表示为t(t0)；若双曲线的渐近线方程是y±x，则双曲线的方程可表示为t(t0)；与双曲线1共焦点的方程可表示为1(b2ka2)；过两个已知点的

18、双曲线的标准方程可表示为1(mn0)；与椭圆1(ab0)有共同焦点的双曲线方程可表示为1(b2a2)例2、求下列条件下的双曲线的标准方程(1)与双曲线1有共同的渐近线，且过点(3，2)；(2)与双曲线1有公共焦点，且过点(3，2)【自主解答】(1)解法一：经检验知双曲线焦点在x轴上，故设双曲线的方程为1，由题意，得解得a2，b24，所以双曲线的方程为1.(2)解法一：设双曲线方程为1，由题意易求c2，又双曲线过点(3，2)，1.又a2b2(2)2，a212，b28. 1.解法二：设所求双曲线方程为(0)，将点(3,2)代入得.所以双曲线方程为，即1.解法二：设双曲线方程为1，且16k0,4k0

19、.将点(3，2)代入得k4，且满足上面的不等式，所以双曲线方程为1.1.在双曲线的标准方程中，若x2的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2的系数是正的，那么焦点在y轴上，且对于双曲线，a不一定大于b.2若不能确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，可设双曲线方程为：mx2ny21(mn0)，以避免分类讨论考点3、双曲线的几何性质双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切，解题时要深刻理解确定双曲线的形状、大小的几个主要特征量，如a、b、c、e的几何意义及它们的相互关系，充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程例3、(12分)双曲线C：1(a0，b0)的右顶点为A，x轴上有一点Q(2a,0

20、)，若C上存在一点P，使·0，求此双曲线离心率的取值范围【规范解答】设P点坐标为(x，y)，则由·0，得APPQ，即P点在以AQ为直径的圆上，(x)2y2()2.又P点在双曲线上，得1.(a2b2)x23a3x2a4a2b20.即(a2b2)x(2a3ab2)(xa)0.6分当xa时，P与A重合，不符合题意，舍去当x时，满足题意的P点存在，需xa，化简得a22b2，即3a22c2，.10分离心率e(1，).12分例4、【活学活用】 3.(2012北京期末检测)若双曲线1(a0，b0)的两个焦点分别为F1、F2，P为双曲线上一点，且|PF1|3|PF2|，则该双曲线的离心率e

21、的取值范围是_解析：依题意得，由此解得|PF2|aca，即c2a，e2，即该双曲线的离心率不超过2.又双曲线的离心率大于1，因此该双曲线的离心率e的取值范围是(1,2【例5】直线过双曲线的右焦点，斜率k=2.若与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e的范围是 （ ） A.e> B.1<e< C.1<e< D.e>【分析】就题论题的去解这道题，确实难以下手，那就考虑转换吧.其一，直线和双曲线的两支都有交点不好掌握，但是和两条渐近线都有交点却很好掌握.其二，因为已知直线的斜率为2，所以双曲线的两条渐近线中，倾斜角为钝角的渐近线肯定与之相交，只须考虑

22、倾斜角为锐角的渐近线也与之相交.故有如下妙解.【解析】如图设直线的倾斜角为，双曲线渐近线的倾斜角为.显然。当时直线与双曲线的两个交点分别在左右两支上.由. 双曲线中，故取e>.选D. 【例6】设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（ ）A B C. D【解析】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是：.设；于是，故知PF1F2是直角三角形，F1P F2=90°.选B.【评注】解题中发现PF1F2是直角三角形，是事前不曾想到的吧？可是，这一美妙的结果不是每个考生都能临场发现的.将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维能力，这正是命题人的高明之处.渐近线双曲线与直线

23、相约天涯对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有. 双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开.双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中.【例7】过点（1，3）且渐近线为的双曲线方程是【解析】设所求双曲线为点（1，3）代入：.代入（1）：即为所求.【评注】在双曲线中，令即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为，而无须考虑其实、虚轴的位置. 共轭双曲线 虚、实易位的孪生弟兄将双曲线的实、虚轴互易，所得双曲线方程为：.这两个双曲线就是互相共轭的双曲线.它们有相同的焦

24、距而焦点的位置不同；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用.【例8】两共轭双曲线的离心率分别为，证明：=1.【证明】双曲线的离心率；双曲线的离心率. 考点5、直线与双曲线位置关系 设而不求与借舟弃舟同理减少解析几何计算量的有效方法之一便是设而不求.请看下例：【例9】双曲线的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为 （ ）A. B. C. D. 【解析】设弦的两端分别为.则有：.弦中点为（2，1），.故直线的斜率.则所求直线方程为：，故选C.“设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要有可能，可以用虚设代替而

25、不必真地去求它.但是，“设而不求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子.请看：【例10】在双曲线上，是否存在被点M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法：【错解】假定存在符合条件的弦AB，其两端分别为：A（x1，y1），B（x2，y2）.那么：.M（1，1）为弦AB的中点，故存在符合条件的直线AB，其方程为：.这个结论对不对呢？我们只须注意如下两点就够了：其一：将点M（1，1）代入方程，发现左式=1-1，故点M（1，1）在双曲线的外部；其二：所求直线AB的斜率，而双曲线的渐近线为.这里，说明所求直

26、线不可能与双曲线相交，当然所得结论也是荒唐的.问题出在解题过程中忽视了直线与双曲线有公共点的条件.【正解】在上述解法的基础上应当加以验证.由这里，故方程（2）无实根，也就是所求直线不合条件.此外，上述解法还疏忽了一点：只有当时才可能求出k=2.若.说明这时直线与双曲线只有一个公共点，仍不符合题设条件.结论；不存在符合题设条件的直线. 练习1(2011安徽高考)双曲线2x2y28的实轴长是( )A2 B2 C4 D4解析：2x2y28化为标准形式：1，a24.a2.实轴长2a4.2(2011山东高考)已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线均和圆C：x2y26x50相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆

27、心，则该双曲线的方程为( )A.1 B.1 C.1 D.1解析：由题意得，1(a0，b0)的两条渐近线方程为y±x，即bx±ay0，又圆C的标准方程为：(x3)2y24，半径为2，圆心坐标为(3,0)a2b2329，且2，解得a25，b24.该双曲线的方程为1.3.(2012嘉兴测试)如图，P是双曲线y21右支(在第一象限内)上的任意一点，A1，A2分别是左、右顶点，O是坐标原点，直线PA1，PO，PA2的斜率分别为k1，k2，k3，则斜率之积k1k2k3的取值范围是( )A(0,1) B(0，) C(0，) D(0，)解析：设P(x，y)，则(0，)，且x244y2(x0

28、，y0)，k1k2k3(0，)4(金榜预测)在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点A(5,0)和C(5,0)，顶点B在双曲线1上，则为( )A. B. C. D.解析：由题意得a4，b3，c5. A、C为双曲线的焦点，|BC|BA|8，|AC|10.由正弦定理得.5P为双曲线1的右支上一点，M、N分别是圆(x5)2y24和(x5)2y21上的点，则|PM|PN|的最大值为( )A6 B7 C8 D9解析：易知两圆圆心为F1(5,0)，F2(5,0)由双曲线方程知a3，b4，则c5，故两圆心恰好为双曲线的两个焦点|PM|PN|的最大值为如图所示的情况，即|PM|PN|PF1|F1M|(|PF

29、2|NF2|)|PF1|2|PF2|12a32×339.6(2012南宁模拟)已知点F1，F2分别是双曲线的两个焦点，P为该曲线上一点，若PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为( )A.1 B.1C2 D2解析：不妨设P点在双曲线的右支上，则|PF1|PF2|2a.PF1F2是等腰直角三角形，只能是PF2F190°，|PF2|F1F2|2c，|PF1|2a|PF2|2a2c，(2a2c)22·(2c)2，即c22aca20，两边同除以a2，得e22e10.e1，e1.7方程1表示双曲线那么m的取值范围是_解析：注意分两种情况一是实轴在x轴上，二是实轴在y

30、轴上依题意有或得m3或3m2.8(2012大连测试)在双曲线4x2y21的两条渐近线上分别取点A和B，使得|OA|·|OB|15，其中O为双曲线的中心，则AB中点的轨迹方程是_解析：双曲线4x2y21的两条渐近线方程为2x±y0，设A(m,2m)，B(n，2n)，AB中点M(x，y)，则即所以4x2y24mn.由|OA|·|OB|×|m|×|n|15，得|mn|3，所以AB中点的轨迹方程是4x2y2±12，即±1.9双曲线1(a0，b0)的离心率是2，则的最小值是_解析：24a2b24a23a2b2，则a2，当a，即a时取最

31、小值. 10(2012肇庆模拟)已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1(3,0)，一条渐近线的方程是 x2y0.(1)求双曲线C的方程；(2)若以k(k0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围解：(1)设双曲线C的方程为1(a0，b0)，由题设得5解得所以双曲线C的方程为： (2)设直线l的方程为：1. ykxm(k0)，则点M(x1，y1)，N(x2，y2)的坐标满足方程组得1，整理得(54k2)x28kmx4m2200.此方程有两个不等实根，于是54k20，且(8km)24(54k2)(4m220)0，整理

32、得m254k20.由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标(x0，y0)满足x0，y0kx0m，从而线段MN的垂直平分线的方程为y(x)此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为(，0)，(0，)，由题设可得|·|，整理得m2，k0.将上式代入式得54k20，整理得(4k25)(4k2|k|5)0，k0，解得0|k|或|k|.所以k的取值范围是(，)(，0)(0，)(，)10(文用)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)(1)求双曲线C的方程；(2)若直线：ykxm(k0，m0)与双曲线C交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，1)，求实数m的取值范围解：(1)设双曲线方程为1(a0，b0)由已知得a