（新高考）2021届高三大题优练8 圆锥曲线定值定点问题 教师版

1、圆锥曲线定值定点问题大题优练8优选例题例1设椭圆，O为原点，点是x轴上一定点，已知椭圆的长轴长等于，离心率为（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆C交于两个不同点M，N，已知M关于y轴的对称点为，N关于原点O的对称点为，若点三点共线，求证：直线l经过定点【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）由题意得，所以，所以椭圆C的方程为（2）证明：设，则，直线，与椭圆方程联立，得，则，因为点三点共线，所以，即，所以，即，整理得由，代入，整理得，所以直线l的方程为，即直线l恒过定点例2已知分别是椭圆的左右焦点，为椭圆的上顶点，是面积为的直角三角形（1）求椭圆的方程；（2）设圆上任意一点处的切线交椭圆于

2、点，问：是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由【答案】（1）；（2）是定值，定值为【解析】（1）由为直角三角形，故，又，可得，解得，所以，所以椭圆的方程为（2）当切线的斜率不存在时，其方程为，将代入，得，不妨设，又，所以；同理当时，也有当切线的斜率存在时，设方程为，因为与圆相切，所以，即，将代入，得，所以，又，又，将代入上式，得，综上，模拟优练1已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形（1）求椭圆的方程；（2）过点分别作直线、交椭圆于两点，设两直线、的斜率分别为，且，探究：直线是否过定点，并说明理由【答案】（1）；（2）直线过定点，理由见解析【解析】（1）由点是

3、椭圆的一个顶点，可知，又是等腰直角三角形，可得，即，所以，所以椭圆的标准方程为（2）若直线的斜率存在，设方程为，依题意，联立，得，由已知，设，由韦达定理得，整理得，故直线方程为，即，所以直线过定点；若直线的斜率不存在，设方程为，设，由已知得，解得，此时直线方程为，显然过点，综上，直线过定点2已知椭圆的离心率为，且过点（1）求椭圆的方程；（2）若直线(且)交椭圆于，两点，记直线，的斜率分别为，探究：是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由【答案】（1）；（2）是定值，定值为【解析】（1）由题意得，解得，椭圆的方程为（2）联立，解得，其中，解得，又且，或或设，则，即是定值，且定值是3已知椭圆

4、的焦距为，点关于直线的对称点在椭圆上（1）求椭圆的方程；（2）如图，椭圆的上、下顶点分别为，过点的直线与椭圆相交于两个不同的点，求面积的最大值；当与相交于点时，试问：点的纵坐标是否是定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由【答案】（1）；（2）；是，1【解析】（1）因为点关于直线的对称点为，且在椭圆上，所以，又，则，所以椭圆的方程为（2）设直线的方程为，点到直线的距离为，消去整理得，由，可得，且，设，则，当且仅当，即时等号成立，的面积的最大值为由题意得，联立方程组，消去得，又，解得，故点的纵坐标为定值14已知椭圆的离心率为，直线与椭圆C有且仅有一个公共点（1）求椭圆C的方程及A点坐标；（2）设直线l与x轴交于点B过点B的直线与C交于E，F两点，记点A在x轴上的投影为G，T为BG的中点，直线AE，AF与x轴分别交于M，N两点试探究是否为定值?若为定值，求出此定值；否则，请说明理由【答案】（1），；（2）为定值【解析】（1）设椭圆的半焦距为，则，则，所以椭圆的方程为，将椭圆的方程与直线的方程联立得，所以，解得，所以，故椭圆的方程为，此时将代入，得，所以，此时，所以点坐标为（2）将直线联