2024届温州高三一模数学试题含答案

机密★考试结束前

温州市普通高中2024届高三第一次适应性考试

数学试题卷2023.11

本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卷上.将

条形码横贴在答题卷右上角“条形码粘贴处

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点

涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相

应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按

以上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠、不要弄破.

选择题部分(共60分)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.设集合〃={xwR|三瞪40},则〃nz=(▲)

A.{21,22}B.{20,21,22)C.{20,21,22,23}D.{xeR|204x<23}

2.设复数z对应的点在第四象限，则复数z-Q+i)i°°对应的点在(▲)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.动点MQj)到定点f(T,0)的距离与M到定直线/:x=-至的距离的比等于2,则动点〃的

45

轨迹方程是(▲)

A.=+亡=1B.占+己=1C.金+兰=1D.丈+==1

25925162592516

4.已知向量。=(0,4),A=(-3,-3),则a在6上的投影向量的坐标是(▲)

A.(-2,-2)B.(2,2)C.(0,-3)D.(0,3)

5.已知离散型随机变量X的分布例如下表所示.

Xaa+1a+2

P0.40.20.4

则O(X)=(▲)

A.0.4+ciB.0.8+aC.0.4D.0.8

数学试题卷第1页共4页

6.若函数〃乃=25皿西-券工€［0,，的值域为［-百,2］,则。的取值范围是（▲）

A.弓,4］B.［消C・居］4,学

7.已知｛4｝为等比数列，则“。2024=1”是“。「。2…-4047F，〃是任意正整数”的

（▲）

A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件

C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件

8.如图，所有棱长都为1的正三棱柱ZSC-Z/iG，BE=2EC,点

尸是侧棱44］上的动点，且万=2访，H为线段网上的动点，

直线can平面超G=M,则点M的轨迹为（▲）

A.三角形（含内部）

B.矩形（含内部）

C.圆柱面的一部分

D.球面的一部分

第8题图

二'选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2

9.在一次数学考试中，某班成绩的频率分布直方

图如图所示，则下列说法正确的是（▲）

A.图中所有小长方形的面积之和等于1

B.中位数的估计值介于100和105之间

C.该班成绩众数的估计值为97.5

D.该班成绩的极差一定等于40

10.已知平面aCl平面4=m,则下列结论一定正

确的是（▲）

A.存在直线au平面a,使得直线a_L平面6

B.存在直线au平面a,使得直线a〃平面£

C.存在直线au平面a,直线bu平面力，使得直线a_L直线6

D.存在直线au平面a,直线6u平面夕，使得直线a〃直线6

11.若圆C与直线3x-4y-12=0相切，且与圆-2x+/=o相切于点4（2,0）,则圆C的半径

为（▲）

53

A.5B.3C.-D.—

34

数学试题卷第2页共4页

12.定义在R上的函数，(x)的导函数为/'(x),对于任意实数x,都有/(T)+e2，/(x)=0,且

满足2/(x)+/'(x)=2,则(▲)

A.函数尸(x)=e"(x)为奇函数

3

B.不等式的解集为(0,山2)

p.

C.若方程/(x)-(x-a)2=0有两个根内/2,则玉+工2>2々

D./(x)在(0,/(0))处的切线方程为y=4x

非选择题部分(共90分)

三'填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.把答案填在题中的横线上

13.-已知sin63°=a,则sin333°=▲(用a表示).

14.j+(1-.

15.与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台的上下底面半径为不

且彳/=1,则它的内切球的体积为▲.

16.斜率为1的直线与双曲线E：W-4=l(a>0,6>0)交于两点是E上的一点，满足

a1bl

ACLBC,△OZC,AOBC的重心分别为P,0,A45c的外心为R,记直线。尸,O0,OH的斜

率为左,0,&，若占&&=-8,则双曲线E的离心率为▲.

四、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步躲.

17.(本小题满分10分)已知四棱锥尸-488的底面4BCD为等腰梯形，AD//BC,^BAD=~,

4

AD=2BC=4,PB1YffiABCD.

(1)求证：AP1CD；

(2)若四棱锥P-”8的体积为2,求平面PCD与平

面尸C8夹角的余弦值.

D

第17题图

18.(本小题满分12分)设A48c的三个内角所对的边分别为a,b,c,且。=工.

・3

(1)若a+b=l,求c的最小值；

(2)求cos/+cos8-cos土包的值.

2

19.(本小题满分12分)等差数列｛(｝的前〃项和为S〃，W=3,S5=$4+S3.

(1)求工；

(2)记7；为数列｛，｝的前〃项和，若3=13,且｛JS.+7；｝是公差为2的等差数列,求数

列也｝的通项公式.

i-l

20.(本小题满分12分)已知f(x)=ex(x>0).

(1)求导函数/'(x)的最值；

(2)试讨论关于x的方程/(》)=丘">0)的根的个数，并说明理由.

21.(本小题满分12分)已知抛物线/=”的焦点为尸，抛物线上的点4(x。,%)处的切线为/.

(1)求/的方程(用曲，玲表示)；

(2)若直线/与y轴交于点3,直线u与抛物线交于点C,若4。为钝角，求为的取值

范围.

22.(本小题满分12分)某电子器件由若干个相同的电子模块构成，每个电子模块由4个电子

元件按如图所示方式联接，其中每个电子元件导通的概率均为0.9.

第22题图

(1)求每个电子模块导通的概率P(保留两位有效数字)；

(2)已知某电子器件由20个相同的电子模块构成，系统内不同电子模块彼此独立，是否导

通互不影响，当且仅当电子器件中不低于50%的电子模块处于导通状态时，电子器件

才能正常工作.若在该电子器件中再添加两个相同的电子模块，试判断新电子器件较

原电子器件正常工作的概率是增加还是减小？请说明理由.

瓶。百丽必F4京4+，石

一、选择懑：本大题共8小即,每小题5分，共'40分.

rionenwullUMWSL

13.；14.82；15y-;16.y/3

3

线而乖白：一线线垂口：一线而垂直一线或乖百

17.解：（1）•.•P5J_i®ASC7X.•.必1.CZ）,.................1分

JT

过点B作BH〃CD,由ABCD为等腰梯形,ZBAD=

4

冗兀

故ZBHA=Z.BAD=-,4BH=—,即ABA.BH，即ABLCD,……2分（合计3分）

42

.•.CD_L面R4B,"J_CD.....................................1分（合计4分）

线而渔白一而而近直一线而乖自一线线近百

解：（1）•.,尸8_1面488，二.平面K4B_L平面48co................1分

过点B作BH//CD,由ABCD为等腰梯形,ZBAD=-

4

万几

故ZBHA=ZBAD=—,ZABH=—，即BH1AB,•.….2分（合计3分）

42

'…—―z

…14冷订4分

D〜IId

如图，建立空间直角坐标系,

B(0,0,0),C(V2,-V2,0).D(2>/2,-V2,0),

设尸（0,0,〃），则丽二（e,0,0）,CD向量正确1分

万=(0,-6,p),2分（合计3分）

CD^AP=0,:.CD±AP

注意第一步建系不单独给分

y

分

(2)Kr-AAo„\r,Dn=-3SPB=2,-.-S-3,：.PB=21

如图，建立空间且角坐标系，8（0,0,0）,。（力,-血,0）,以2亚,-0,0）建系…1分（合计2分

设尸（0,0,2）,面PC。法向量为7,则左五=0,皮扇=0,

得m=(0,立1)

同理，设面尸8C法向量为兀则无i=0,而£=0,而=（力,-e,0）,

得〃（1,1,0）.（有求法向量思想1分，法向量有一个正确就得1分）.2分（合计4

C/

由题意，cos〈孙〃>=上二-=一二尸=走（面面角公式1分，纺/行1……,

川6分）

|w||n|V3-V23b

江总；答案错快，E能得3分（建系、求法向能思想、求布公式）F

1分

⑵VP.ABCD--S-PB-2,•/S=3,/.PB-2

•/PB±而438平面依C_L平面48s

过D作。"_L3C,则DH1平面PBC垂足为“，（找面垂线）1分（合计2分）

过〃作PC的垂线,垂足为E,连DE,

则NDE”为所求二面角夹角的平面向（找角）2分（合计4分）

6

DH=\,HE=—(有

2

叵

HE

cosZDF77=—=

DE5

解：(1)由余弦定理知c"=a?+/-2a6cos工步骤1：用余弦定理解读条件，2分

3

方法1：J="+及-ab=4-3ab

*(4+6)2一3^)=1

步骤2：用基本不等式或消元化二次

方法2：c2-a2-¥~aba2+(\-a)2-a(l-a)函数求得下界，2分

=3a2-3a+l=3(a--)2+-^-

244

所以当a二〃=1时取荐号，此时AABC为正三角形

22

步骤3：等号成立的条件交待，1分

综上，c的馔小值为1.

2

(2)方法1，因为a+8="-C=2，

3

2"2小竺小加

所以原式=cosA+cos(-^--A)-cos(——步骤1：消元,3分(其中得到A+B=2TT/3有1分)

=cosA+^-—cosA+—sinA-COS(>1-g)

22

步骤2:利用和差角正余弦公式展开

-cosX+—sin>l—cos月-----sinA=0化简计算得到笞案，4分

2222

步骤2注：1、写对答案6没白过程或过程有错，给2分

2、答案有错,过程中行用对公式,给2分

方法2：因为乂+6=万一。=半，步骤1：得到A+B=2TT/31分

原式=2cos土艺cos土卫-cos土/

222

步骤2：利用和差公式化简计算得到答案，6分

A—BA—B

二cos------cos-----

22步骤2注：和年化积公式运用正确•结果N算有错给3分

-0

19.（本题本分12分）

等差数列｛q｝的前〃项和为S”，%=3,55=84+83.

（1）求斗；4分

（2）记7：为数列应｝的前〃项和，若4=13,且｛图团｝是以2为公差的等差数

列，求数列应｝的通项公式.8分

（1）解一：设等差数列｛《｝的公差为d,则用二4+^=？，由$5=54+83可得

2（\~d,解得q;1,d=2,...............2分

故S“=〃+也牛»=".................4分

解二：由S§=S4+S3得%=3电=9,则]=美a=2,.............2分

故4=?+（弁—2）a=2〃_i,贝gs“二7，.............4分

说明：不论采用哪种方法，有适当的过程得出邑=〃2的都给4分；

（2）若用二川结果错误，但得出4=1或〃=2就给2分（两者都正确也给2分）.

（2）解一：由题意知后忑一何正=2,............6分

则J17+&-正五'=2,移项平方得^7^=3,则4=8...........8分

可得卜/&+]｝是首项为3,公差为2的等差数列，则疯轨=2”+1,可得

3

S„+7；）=（2H+1）,则4=34+4〃+1,.............10分

故4Tx；

解二：由题意可设心,+，=2〃+g(4是常数),6分

[J1+4=2+4

则;______，平方相减可得g=l,................8分

[J17+A=4+q

则离轨=2n+l,可得Sn+7；=(2〃+l)2,

则4=3/J+4〃+1,...............10分

18,n-\

故3篇+1”2…12分

说明：(O有类似表示公差为2的式子都给2分,如+T)~+.=2、

—

Jsn+MJs”_i+北==2、^Sn+Tn=2"+q等;

(2)如果写成4=6九+1,而对A=8没有讨论扣1分.

第(1)问6分

1-1(1\

解：⑴Vf'(x)=ex—,记g(x)=/'(x)....2分

lx)

11--(-2)•---1—2x

：•g'(x)=eY—+ex•—=ex———2分

解得：x=L

2

当xw(0,g)时，g'(x)>0,g(x)单调递增，当xw(；,+8)时，g'(x)<o,g(x)单调递减,

2分

注；①一阶导数正确给2分，二阶导致正确再给2分，最大值计算2分；

②二阶求导的2分，只要求导法则运用正确，没有做整理也给2分：

③最大值计算的2分主要看结果，结果'错误，2分就没有。•

第(2)间6分

方法1：由/(x)=Ax,即e'、=fcc，即—......2分

令左(¥)=£—,/.k\x)=-•由％'(x)=0解得：x=l

XX

，Mx)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，爆略(x)=k⑴=1,且以x)>0.....2分*

所以：当人>1时，方程无解.；当〃=1时，方程有1个解；当0<%<1时，方程有2个解。.....2分

注：①变量分离2分，函敷九(x)的性质分析2分，结果讨论2分；

②函4U(x)的性质分析的2分关键是看求导，求导正确就可以给2分，

最大位是否计算正确不在这2分中体现，在结果讨论的2分中体观；

③结果讨论的2分，三种情况讨论完整的给2分，不完终的酌情扣掉1分。

方法2：[tlf(x)—kx,即e*=kx、即％=—......2刀

X

令1=/€(0,+6),/。)=於1,.•./'«)=(IT)/',由/'。)=0解得：1=1

X

.../(，)在(0,1)上单调递增，在(L+o。)上单调递减，；./01axQ)=/(I)=I,且/«)>o.....2分

所以：当％>1时，方程无解；当k=1时，方程有1个解；当0<无<1时，方程有2个解。......2分

注:①变量分离2分，甬数Q)的性质分析2分，结果讨论2分；

②函数/⑺的性质分析的2分关键是看来导，求导正确就可以洽2分，

最大值是否计算正确不在这2分中体现，在结果讨论的2分中体现；

③结果讨论的2分，三种情况讨论完整的洽2分，不完整的酌情扣掉1分。

方法3

由/(x)=fcv,即e'-；=Ax,两边取对数得：l--=ha+ln.v,即ln&=l-L-lnx2分

XX...............

令/J(X)=I-L-lnx,所以由力'(.\,)=17-1==^=0,解得x=l

XXXX'

当xw(0,l)时，h\x)>0,6(x)单调递增，当xe(L+x))时，"(x)<0，A(x)单调递减

所以〃.。)=力0)=0......2分

M1h\k>0,即k>l时,方程无解।

当ln*=0,即/=1时，方程TTI个解：、

'IlnkvO,即0<太<1时，方程有2个解。......2刀

注：①变受分离2分，函数秋的性质分析2分,结果讨论2分：

②函数秋x)的性质分析的2分关键是看求导，求导正确就可以给2分，

最大值是否计算正确不在这2分中体现，在结果讨论的2分中体现；.

③幼果时论的2分，三种情况讨论完整的给2分，不完整的的惘扣掉1分0.

21.解法I：⑴抛物线£：--4y即)，=］所以，/L8的斜率为％」与，2分用求导的方法踩分点为

42(D求得斜率2分，

所即心⑵写出正确的直线方程2分

所以,心)-必Jy-产一加4分⑶的方程不正确，写了点斜式给

1分

(4)馥方程写成y=gx°x-斗

也再寸的.

21.解法2：(1)设切线方程为丁-%=左。-.%),与抛物线E:P=4y联立得,

用直线与抛物线的位置关系踩分点

(1)联立方程写出判别为零2分，

X?-4Ax+4飙-4%=0,(*)(2)求得斜率1分

(3)直线方程正确1分，点斜式这里

因为直线与抛物线相切，故方程(*)的判别式

不记分，已归到(1)中.

2

△=16Z:-16fcrc+16%=02分

即△二1必；16a+4*=0,解得〃=£,3分

所以，/8:y-yo=；%(x-%),即y=；与x-%.4分

(2)易知F(0J).8(0,-v“，'分第(2)小题的踩分点

(1)求出焦点坐标1分；

设直线//-：y=h+l,C(4H),(2)联立方程到韦达定理2分；

(3)将钝角转化为代数形式或向量形

代入抛物线方程得!-4fe-4=0.

x式1分；

故5飞--4..%»一吟7,7分(4)有消元思想或单变量思想，式子

错误给1分，答案正确给2分；

因为4cs为钝角，(5)结果正确2分

所以而•而<0,8分

即(_演X-X)+0-M)(-%-M)=¥-%-乂+JiM+W<0，

即3匕-工+】+/<0，<*>

因为%>0.不等式(•)4+3.彳+丹-】<010分

即(»+IX.v,+1-&)(_%+1+后)<0，

解得〈正-1,所以.%>也+112分

22.

(1)该电子模块导通即电子1、4必须导通且电子23至少要有一个导通........2分

所以p=0.92(I-ofb0,8019«0.8......2分

①答案正确,基本有过程给4分

②答案错，有过程，过程不论是文字叙述还是式子表达，都给2分

③只有一个正确答案，无任何过程，给2分

"Ten去一心》为族胡子潮伶中符动的子模块留个数.乂~8(24p).削薪电子器件正常工作期原电子耦件中至

少有11个里子摸埃导阴；或者原电子爵件中怡韦'1。个电子根块易通，且新加入的两个根境至少有一个好通；或分类2分

表原电子静件中恰得9个根坎身通.且新加入的菊个根块寻遍.

设事件才:%电字被件不己■看;不电子喷块号通,,则P(4)=P(X211)=P(XN10)-P(X=10)

事件8天原电子皤件中恰有10个模块导通,且新加入的梗块至少有一个模块导通,事件

的

野JP(8)=P(X=10)(1-(1-p)?)A,B,C

概率2分

事件C=r原电子翱件恰有9个模块导道.且新加入的模块两个掷导通"则p(C)=P(X=9),P?

舜沪(新电子器件正常工作)RP(4)+P(B)+P(C)

=P(Xa10)-P(XH10)+P(X=10)(1-(1-p)2)+P(Xn9)•/

艾；中(微苞手酱柞芷忸工作)=户(x210)~~*'

做差式子出

••户脩电子踞件正常工作)-P(原电子健件正常工作)

现并正确

锂-P(X腔10)+P(X=10)<1-(J-p)2)+P(X=9),/«^(**10)[-(1-^)4+。4=«9加22

分

=或"a-p)”/~丁*(1」严(1r—

=/P”(I_p)“-CjMWl-p严=pe(l_p)U[C%p_C/0_p)j|化简正确并

―叫费昂-禹分/aw岛(EWd时结果正确2

所以再添加沟个电子模块,新鼎子器件软原电子辑件正常工作的利率塌大.|」分

方法(-)评分标准

第2间总共8分，分四个部分，每部分2分

C南新电子器件正常工作分为3种情况即事