广东省中山市2023-2024学年高一上学期第3次段考 数学试卷含答案VIP

2023-2024年度第一学期高一第三次段考数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.1．设集合，，则（

）A． B．C． D．2．命题“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，3．下列函数中，既是奇函数又在上是减函数的为（

）A． B．C． D．4．下列式子正确的是（

）A． B．C． D．5．计算（）A．0 B．1 C．2 D．46．化简（其中）的结果是A． B． C． D．7．已知函数（且）在区间上单调递增，则a的取值范围为（

）A． B．C． D．8．已知函数满足，，，则（

）A． B．C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列各式中，正确的是（

）A． B．C． D．10．若正实数，满足，则下列说法正确的是（

）A．有最大值 B．有最大值C．有最小值4 D．有最小值11．下列运算法则正确的是（

）A．B．C．（且）D．12．已知函数，若有三个不等实根，，，且，则（

）A．的单调递增区间为B．a的取值范围是C．的取值范围是D．函数有4个零点三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．设是定义在上的偶函数，则是．14．集合的子集个数为．15．设，则大小关系是.16．如果关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是.四、解答题.本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骠.17．计算下列各式的值；(1)；(2)18．函数是定义在上的奇函数，且．(1)求的值；(2)判断在上的单调性，并用定义证明；19．已知集合，.（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.20．某快递公司为降低新冠肺炎疫情带来的经济影响，引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本.已知购买x台机器人的总成本为（单位：万元）.(1)应买多少台机器人，可使每台机器人的平均成本最低；(2)现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m人将物件放在机器人上，机器人将物件送达指定分拣处.经过实验知，每台机器人日平均分拣量为（单位：件）.求引进机器人后，日平均分拣量的最大值.21．已知关于的不等式.（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.22．定义在上的函数满足对任意的，都有，且当时，.(1)判断函数的奇偶性，并证明；(2)判断在上的单调性，并用定义证明．1．C【分析】利用自然数集的概念化简集合，再利用集合的交集运算即可得解.【详解】因为，又，所以.故选：C.2．B【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可解出.【详解】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可得：“，”的否定为，.故选：B.3．D【分析】画出对应选项中常见函数的图象，即可数形结合判断函数奇偶性和单调性.【详解】对于选项A:数形结合可知：是奇函数，且在单调递增，故选项A错误；对于选项B:数形结合可知：是偶函数，且在单调递增，在单调递减，故选项B错误；对于选项C:数形结合可知：是奇函数，且在,单调递减，故选项C错误；对于选项D:数形结合可知：该函数在是奇函数，在上是减函数，符合题意，故选项D正确；故选：D.4．D【分析】根据题意构造幂函数以及指数函数，根据幂指函数的单调性即可逐一比较.【详解】对于选项A:由在单调递增，且，所以，故选项A错误；对于选项B:由在单调递增，所以，由在单调递减，所以，故，故选项B错误；对于选项C:由,在单调递减，且在第一象限底大图高，所以,故选项C错误；对于选项D:由在单调递增，且，所以,故选项D正确；故选：D.5．B【分析】根据给定条件，利用对数运算性质计算即得.【详解】因为，，所以.故选：B6．C【分析】根据分数指数幂化简即可.【详解】=,选C.【点睛】本题考查分数指数幂运算,考查基本求解能力,属基础题.7．C【分析】由复合函数单调性法则得，即，解不等式即可得出答案.【详解】由且，得为单调递减函数，由复合函数单调性法则得，又，解得．故选：C．8．C【分析】令可求得；令可证得为奇函数，令可求得，根据可得结果.【详解】令，则，解得：；令，则，为奇函数，，.故选：C.9．AC【分析】利用元素与集合，集合与集合之间的关系逐一判断即可.【详解】对于选项A：由元素与集合的关系可知，故A正确；对于选项B：由集合与集合的关系可知，故B错误；对于选项C：由空集是任何集合的子集可知，故C正确；对于选项D：由于具有不确定性，故无法判断与的关系,故D错误.故选：AC.10．ABC【分析】利用基本不等式可判断A的正误，利用A的结果可判断BC的正误，利用反例可判断D是错误的，故可得正确的选项.【详解】因为正实数a，b满足，所以，所以，故当且仅当时等号成立，故有最大值，A正确；由A可得，当且仅当时等号成立，故有最大值，B正确；，当且仅当时等号成立，故有最小值4，C正确；取，此时，所以的最小值不是，故D错误，ABC..ABC..11．CD【分析】取可判断A选项的正误；取，可判断B选项的正误；利用对数的换底公式可判断C选项的正误；利用指数的运算性质可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，若，则无意义，A选项错误；对于B选项，若，，则无意义，B选项错误；对于C选项，由换底公式可得（且），C选项正确；对于D选项，当，、时，，D选项正确.故选：CD.12．CD【分析】作出的图象，结合图象逐一判断即可．【详解】作出函数的图象，如图所示：

对于A，由图象可得的单调递增区间为，故A不正确；对于B，因为有三个不等实根，即与有三个不同交点，所以,，故B不正确；对于C，则题意可知：，，所以，所以,，故C正确；对于D，令，则有，令，则有或，当时，即，即，解得；当时，即，所以或，解得，或或，所以共有4个零点，即有4个零点，故D正确．故选：CD．13．【分析】由函数具有奇偶性，则定义域关于原点对称，可求，再根据偶函数定义，可求.【详解】因为是定义在上的偶函数，所以，即，所以是定义在上的偶函数，所以，即，整理得，因为不恒为，所以.所以.故答案为：.14．8【分析】首先计算出集合A，再根据子集个数的公式得出答案.【详解】由题意可知，所以集合A的子集的个数为故答案为：815．【分析】抓住同底与同指构造函数，利用单调性比较大小.【详解】因为在单调增，所以，即，因为在单调减，所以，即综上，.故答案为：.16．【分析】分和两种情况讨论，当时，即可求出参数的取值范围.【详解】解：因为关于的不等式对一切实数恒成立，当，即时，显然恒成立；当，则，解得；综上可得；故答案为：17．(1)(2)【分析】（1）根据指数幂的运算法则，直接计算，即可得出结果；（2）根据对数的运算性质，逐步计算，即可得出结果.【详解】（1）.（2）18．(1)；(2)在上单调递增，证明见解析.【分析】（1）利用待定系数法，借助计算即可；（2）利用单调性的定义证明即可.【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，且，所以，解得，即，经检验当时，满足在上是奇函数.故.（2）由（1）问可知，在上单调递增，证明如下：任取且，则，因为，所以，因为，所以，所以，所以，即，所以在上单调递增.19．（1）；（2）.【解析】（1）由得到，再利用交集运算求解.（2）根据，得到，然后分和求解.【详解】（1）当时，，又集合，所以.（2）因为，则.当时，，解得；当时，由得，即，解得.综上，的取值范围是.20．(1)200台(2)件【分析】（1）根据题意，每台机器人的平均成本为，然后利用基本不等式求出最小值，即平均成本最低.（2）根据每台机器人日平均分拣量方程，求出每台机器人日平均分拣量的最大值，然后乘以机器人数即可得到答案.【详解】（1）每台机器人的平均成本为，当且仅当，即时取等号.因此应买200台机器人，可使每台机器人的平均成本最低.（2）当时，每台机器人日平均分拣量的最大值为450，当时，.当时，每台机器人的日平均分拣量的最大值为480.因此引进200台机器人后，日平均分拣量的最大值为件.21．（1）；（2）.【分析】（1）由题意可得，且和时关于的方程的两个实数根，从而可求出的值；（2）由题意得或，从而可求出的取值范围【详解】（1）因为关于的不等式的解集为，所以，且和时关于的方程的两个实数根，则，解得.（2）因为关于的不等式恒成立，所以或，即或，则实数的取值范围为.22．(1)为奇函数，证明见解析；(2