无穷级数知识点介绍整理人王浩

1、专转本专题知识点- 无穷级数数项级数定义 1 设给定一个数列u1, u2 ,u3,., un ,., 则和式u1u2u3.un.（ 11.1）称为数项级数，简称为级数，简记为un ,即n 1un = u1u2u3. un.n1其中，第 n 项 un 称为级数的一般项或者通项。式（11.1）的前 n 项和nSnu1 u2u3.unukk1称为式（ 11.1）的前 n 项部分和。当n 依次取 1， 2， 3，.时，部分和S1 , S2 , S3 ,., Sn .构成一个新的数列Sn ，数列Sn 也称为部分和数列定义 2 若级数un 的部分和数列Sn 有极限 Sn 1lim Sn S ，n则称级数u

2、n 收敛，称 S 是级数un 的和，即n 1n 1Sunu1u2u3.un.n 1如果部分和数列Sn 没有极限，则称为级数un 发散n 1数项级数的性质（1）若级数un 和级数vn 都收敛，它们的和分别为S 和，则级数(unvn ) 也n 1n 1n 1收敛，且其和为S（2）若级数un收敛，且其和为S，则它的每一项都乘以一个不为零的常数k,所得到的n 1级数kun 也收敛，且其和为kSn1（3）在一个级数前面加上（或去掉）有限项，级数的敛散性不变（4）若 级 数un收敛，则将这个级数的项任意加括号后，所成的级数n 1(u1 u2. un1 )(un11. un2 ) .(unk 1. unk

3、) .也收敛，且与原级数有相同的和（5）（级数收敛的必要条件）若级数un 收敛，则 lim un0n1naq n 1q1,收敛，其和为a综上所述，几何级数的敛散性1- qn1q1，发散。调和级数1 的敛散性发散n1 n数项级数的敛散性研究对象：正项级数、交错级数、任意项级数一正项级数正项级数：若级数un = u1 u2 u3 . un.满足条件 un0(n 1,2,3,.) ，则称此n 1级数为正项级数定理 1 正项级数收敛的充要条件是其部分和数列Sn 有界定理 2（比较判别法）若级数un 和级数vn 为两个正项级数， 且 uv(n 1,2,3,.) ，nnn 1n 1那么：（1）若级数vn

4、收敛时，级数un 也收敛n 1n 1（2）若级数un发散时，级数vn也发散n 1n 1那么 p级数1的敛散性是p1,发散n 1 npp，收敛1定理 3（达朗贝尔比值判别法）若正项级数un （ u0, n1,2,3,.）满足条件nn 1lim un 1lnun则（ 1）当 l 1 时，级数收敛（ 2）当 l 1时，级数发撒（ 3）当 l 1时，无法判断此级数的敛散性二交错级数级数(1)n un （ un0, n 1,2,3,.）称为交错级数n1定理 4（莱布尼兹判别法）若交错级数( 1) n un （ un0,n1,2,3,.）满足下列条件n 1（1） unun 1（2） lim un0n则交错

5、级数( 1) n un 收敛，其和 Su1 , 其余项的绝对值rnun 1n1三绝对收敛和条件收敛若级数( 1)n un 的各项为任意实数，则称级数un 为任意项级数n 1n 1定义 如果任意项级数un 的各项绝对值组成的级数un 收敛，则称级数un 绝对收n 1n 1n 1敛；如果un发散，而un收敛，则称级数un 条件收敛n 1n 1n 1定理 5如果级数un 绝对收敛，则级数un 必收敛n 1n 1定理 6如果任意项级数un 满足条件n 1lim un 1lnun（ 1）当 l 1 时，级数绝对收敛（ 2）当 l 1时，级数发撒幂级数定义 1 如果 u(x)( n1,2,3,.) 是定义

6、在某个区间I 上的函数，则称函数un ( x)u1 ( x)u2 (x).un (x). （ 11.4 ）n 1为区间 I 上的函数项级数定义2形如an (x x0 ) na0a1(x x0 ) a2 ( x x0 )2. an ( x x0 )n. （11.5 ）n1的级数称为 ( xx0 ) 的幂级数，其中a0 , a1 , a2 ,., an ,. 均为常数，称为幂级数的系数。当x0 0 时，级数an xna0 a1 x a2 x2. an xn. （ 11.6 ）称为 x 的幂级数n 1定义 3对于形如式（ 11.6）的幂级数若设 liman 1l ，则n anlim un 1an 1

7、xn1an 1limnlimx l xnunnan xnan根据任意项级数判别法可知：（1）当 l0 时，若 lx1R ，式（ 11.6 ）绝对收敛1，即 xl若 lx11R ，式（ 11.6 ）发散，即 xl若 lx11R ，则比值判别法失效，式（11.6 ）可能收敛也可能发散，即 xl（2）当 l0 ，由于 lx 0 1，式（ 11.6 ）对任何 x 都收敛称 R1为幂级数式（11.6 ）的收敛半径l定理 1 如果幂级数an xna0 a1 xa2 x 2. an xn.n 1的系数满足条件lim an1l ，则nan（1）当 0l时，1R（2）当 l0时， Rl（3）当 l时， R0幂级

8、数的性质an xnbn xn设幂级数 n 0与 n0的收敛半径分别是R1与 R2（ R1与 R2均不为 0），它们的和函数分别为S1( x) 与 S2 (x)1. （加法与减法运算）an xnbn x n( anbn ) xnS1 ( x)S2 ( x)n 0n 0n 0(anbn )xnR1 与 R2 中较小的一个所得的幂级数 n0仍收敛，且收敛半径是2.（乘法运算）( an xn )(bn xn )a0b0(a0b1a1b0 )x(a0b2a1b1 a2 b0 ) x2. (a0bn a1bn 1 . an b0 )xn.n 0n 0S1 (x) S2 ( x)两幂级数相乘所得的幂级数仍收

9、敛，且收敛半径是R1 与 R2 中较小的一个3.（微分运算）a xnn的收敛半径 R，则在（ -R,R）内和函数 S(x)可导，且有若幂级数 n0S (x) (an xn )(an xn )nan xn 1n 0n 0n 0且求导后所得的幂级数的收敛半径仍为R4.（积分运算）an xn若幂级数 n 0的收敛半径R，则和函数S(x)在该区间内可积，且有xxxan x n 1S(x)dx( an xn ) dxan xn dx00n 000 n 1n 0n且求导后所得的幂级数仍收敛，且收敛半径仍为R函数展成幂级数1. 泰勒级数设 f (x) 在 xx0 处任意阶可导，则幂级数f ( n) (x0 ) (x x0 ) n 称为 f (x) 在 xx0 处的泰n 1n!勒级数2. 麦克劳林公式当 x00 时，级数f ( n) (0)xn 称为 f ( x) 的麦克劳林级数n 0n!3. 几个常见的麦克劳林展开式1x n , x(1,1)1xn01(1)