2022届高三数学一轮复习（原卷版）第七章 7.4基本不等式及应用-教师版

1、 第1课时进门测1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)函数yx的最小值是2.(×)(2)函数f(x)cos x，x(0，)的最小值等于4.(×)(3)“x>0且y>0”是“2”的充要条件(×)(4)若a>0，则a3的最小值为2.(×)(5)不等式a2b22ab与有相同的成立条件(×)(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项()2、设x>0，y>0，且xy18，则xy的最大值为()a80 b77 c81 d82答案c解析x>0，y>0，即xy()281，当且仅当xy9时，

2、(xy)max81.3、已知x>0，a>0，当yx取最小值时，x的值为()a1 ba c. d2答案c解析yx2，当且仅当x即x时，yx有最小值2.4、若a>0，b>0，且ab4，则下列不等式恒成立的是()a. b.1c.2 da2b28答案d解析4ab2(当且仅当ab时，等号成立)，即2，ab4，选项a，c不成立；1，选项b不成立；a2b2(ab)22ab162ab8，选项d成立5、若正数x，y满足x24y2x2y1，则xy的最大值为_答案解析由题意得1x24y2x2y4xy2·，则，则xy()2.作业检查无第2课时阶段训练题型一利用基本不等式求最值命题点1

3、通过配凑法利用基本不等式例1(1)已知0<x<1，则x(43x)取得最大值时x的值为_(2)已知x<，则f(x)4x2的最大值为_(3)函数y(x>1)的最小值为_答案(1)(2)1(3)22解析(1)x(43x)·(3x)(43x)·2，当且仅当3x43x，即x时，取等号(2)因为x<，所以54x>0，则f(x)4x2(54x)3231.当且仅当54x，即x1时，等号成立故f(x)4x2的最大值为1.(3)y(x1)222.当且仅当(x1)，即x1时，等号成立命题点2通过常数代换法利用基本不等式例2已知a>0，b>0，ab1

4、，则的最小值为_答案4解析a>0，b>0，ab1，2224，即的最小值为4，当且仅当ab时等号成立引申探究1若条件不变，求(1)(1)的最小值解(1)(1)(1)(1)(2)·(2)52()549.当且仅当ab时，取等号2已知a>0，b>0，4，求ab的最小值解由4，得1.ab()(ab)2 1.当且仅当ab时取等号3若将条件改为a2b3，求的最小值解a2b3，ab1，()(ab)12 1.当且仅当ab时，取等号【同步练习】(1)若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是_(2)已知x，y(0，)，2x3()y，若(m>0)的最小值为3，则m_.

5、答案(1)5(2)4解析(1)方法一由x3y5xy，可得1，3x4y(3x4y)()5.当且仅当，即x1，y时，等号成立，3x4y的最小值是5.方法二由x3y5xy，得x，x>0，y>0，y>，3x4y4y4y·4(y)25，当且仅当y时等号成立，(3x4y)min5.(2)由2x3()y得xy3，(xy)()(1m)(1m2)(当且仅当，即yx时取等号)，(1m2)3，解得m4.题型二基本不等式的实际应用例3某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为yx218x25(xn*)，则该公

6、司年平均利润的最大值是_万元答案8解析年平均利润为x18(x)18，x2 10，18(x)18108，当且仅当x即x5时，取等号【同步练习】1、某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品_件答案80解析设每件产品的平均费用为y元，由题意得y2 20.当且仅当(x>0)，即x80时“”成立第3课时阶段重难点梳理1基本不等式(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号2几个重要的不等式(1)a2b2

7、2ab(a，br)(2)2(a，b同号)(3)ab2 (a，br)(4)2 (a，br)以上不等式等号成立的条件均为ab.3算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值2.(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最大值.(简记：和定积最大)【知识拓展】不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f(x)在区间d上存在最小值，则不等式

8、f(x)>a在区间d上恒成立f(x)min>a(xd)；若f(x)在区间d上存在最大值，则不等式f(x)<b在区间d上恒成立f(x)max<b(xd)(2)能成立问题：若f(x)在区间d上存在最大值，则在区间d上存在实数x使不等式f(x)>a成立f(x)max>a(xd)；若f(x)在区间d上存在最小值，则在区间d上存在实数x使不等式f(x)<b成立f(x)min<b(xd)(3)恰成立问题：不等式f(x)>a恰在区间d上成立f(x)>a的解集为d；不等式f(x)<b恰在区间d上成立f(x)<b的解集为d.重点题型训练题型

9、三基本不等式的综合应用命题点1基本不等式与其他知识交汇的最值问题例4(1)正实数x，y满足：1，则x2y210xy的最小值为_(2)(2016·山西忻州一中等第一次联考)设等差数列an的公差是d，其前n项和是sn，若a1d1，则的最小值是_答案(1)36(2)解析(1)1xyxy，x2y210xy(xy)212xy(xy)212xy(xy6)236，由xyxy2，得xy4，故(x2y210xy)min36.(2)ana1(n1)dn，sn，(n1)(21)，当且仅当n4时取等号的最小值是.命题点2求参数值或取值范围例5(1)已知a>0，b>0，若不等式恒成立，则m的最大值

10、为()a9 b12 c18 d24(2)已知函数f(x)(ar)，若对于任意的xn*，f(x)3恒成立，则a的取值范围是_答案(1)b(2)，)解析(1)由，得m(a3b)()6.又62612(当且仅当时等号成立)，m12，m的最大值为12.(2)对任意xn*，f(x)3恒成立，即3恒成立，即知a(x)3.设g(x)x，xn*，则g(2)6，g(3).g(2)>g(3)，g(x)min，(x)3，a，故a的取值范围是，)【同步练习】(1)已知函数f(x)x2的值域为(，04，)，则a的值是()a. b. c1 d2(2)已知各项均为正数的等比数列an满足a7a62a5，若存在两项am，a

11、n使得4a1，则的最小值为()a. b. c. d.答案(1)c(2)a解析(1)由题意可得a>0，当x>0时，f(x)x222，当且仅当x时取等号；当x<0时，f(x)x222，当且仅当x时取等号，所以解得a1，故选c.(2)由各项均为正数的等比数列an满足a7a62a5，可得a1q6a1q52a1q4，所以q2q20，解得q2或q1(舍去)因为4a1，所以qmn216，所以2mn224，所以mn6.所以(mn)()(5)(52 ).当且仅当，即m2，n4时等号成立，故的最小值等于.题型五 利用基本不等式求最值例6 (1)已知x>0，y>0，且1，则xy的最小值

12、是_(2)函数y12x(x<0)的值域为_错解展示解析(1)x>0，y>0，12 ，2，xy24，xy的最小值为4.(2)2x2，y12x12.函数y12x(x<0)的值域为(，12答案(1)4(2)(，12现场纠错解析(1)x>0，y>0，xy(xy)()332(当且仅当yx时取等号)，当x1，y2时，(xy)min32.(2)x<0，y12x1(2x)()12 12，当且仅当x时取等号，故函数y12x(x<0)的值域为12，)答案(1)32(2)12，)纠错心得利用基本不等式求最值时要注意条件：一正二定三相等；多次使用基本不等式要验证等号成立

13、的条件思导总结(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值(4)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解(

14、5)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解(6)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围作业布置1已知a，br，且ab0，则下列结论恒成立的是()aab2 b.2c|2 da2b2>2ab答案c解析因为和同号，所以|2.2设非零实数a，b，则“a2b22ab”是“2”成立的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件答案b解析因为a，br时，都有a2b22ab(ab)20，即a2b22ab，而2ab>0，所以“a2b22ab”是“2”的必要不充分条件，故选b.3已知x>0，y>0

15、，lg 2xlg 8ylg 2，则的最小值是()a2 b2 c4 d2答案c解析因为lg 2xlg 8ylg 2，所以x3y1，所以()(x3y)24，当且仅当，即x，y时，取等号4若函数f(x)x(x>2)在xa处取最小值，则a等于()a1 b1c3 d4答案c解析当x>2时，x2>0，f(x)(x2)22 24，当且仅当x2(x>2)，即x3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x3，即a3，故选c.5已知x>0，y>0，且4xyx2y4，则xy的最小值为()a. b2 c. d2答案d解析x>0，y>0，x2y2，4xy(x2y)4xy2，4

16、4xy2，即(2)(1)0，2，xy2.*6.设a>b>c>0，则2a210ac25c2的最小值是()a2 b4 c2 d5答案b解析2a210ac25c2(a5c)2a2abab(a5c)2aba(ab)0224，当且仅当a5c0，ab1，a(ab)1时，等号成立，即取a，b，c时满足条件*7.若正数a，b满足1，则的最小值是()a1 b6 c9 d16答案b解析正数a，b满足1，b>0，解得a>1.同理可得b>1，所以9(a1)26，当且仅当9(a1)，即a时等号成立，所以最小值为6.故选b.8对任意的(0，)，不等式|2x1|成立，则实数x的取值范围是

17、()a3,4 b0,2c， d4,5答案d解析因为52× 59，当且仅当，即tan 时等号成立，所以|2x1|9，解得4x5，故选d.9已知x，yr且满足x22xy4y26，则zx24y2的取值范围为_答案4,12解析2xy6(x24y2)，而2xy，6(x24y2)，x24y24(当且仅当x2y时取等号)又(x2y)262xy0，即2xy6，zx24y262xy12(当且仅当x2y时取等号)综上可知4x24y212.10已知a，b为正实数，直线xya0与圆(xb)2(y1)22相切，则的取值范围是_答案(0，)解析xya0与圆(xb)2(y1)22相切，d，ab12，即ab1，(b1)4240.又a，b为正实数，等号取不到的取值范围是(0，)*11.函数yloga(x3)1(a>0，且a1)的图象恒过定点a，若点a在直线mxny10上，其中m，n均大于0，则的最小值为_答案8解析yloga(x3)1的图象恒过定点a(2，1)，由a在直线mxny10上得2mn10即2mn1.4248(当且仅当，即m，n时等号成立)12若正数x，y，z满足3x4y5z6，则的最小值为_答案解析3，令2yza，xzb，则2(2yz)3(xz)3x4y5z2a3b6，即1，