2022届高三数学一轮复习（原卷版）第十二章 12.3数列问题-教师版

1、 第1课时进门测1等差数列an的前n项和为sn，若a11，s2a3，且a1，a2，ak成等比数列，则k等于()a1 b2 c3 d4答案d解析设公差为d，则2d12d，d1，ann，由aa1·ak，得41×k，k4.2已知等差数列an的前n项和为sn，a55，s515，则数列的前100项和为()a. b.c. d.答案a解析设等差数列an的首项为a1，公差为d.a55，s515，ana1(n1)dn.，数列的前100项和为1.3已知等比数列an的公比q>0，前n项和为sn.若2a3，a5,3a4成等差数列，a2a4a664，则q_，sn_.答案2解析由a2a4a664

2、，得a64，解得a44.由2a3，a5,3a4成等差数列，得2a4q3a4，即8q12，解得q2或q(舍去)又a1q34，所以a1，所以sn.4设sn是数列an的前n项和，且a11，an1snsn1，则sn_.答案解析由题意，得s1a11，又由an1snsn1，得sn1snsnsn1，因为sn0，所以1，即1，故数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以1(n1)n，所以sn.作业检查无第2课时阶段训练题型一等差数列、等比数列的综合问题例1已知数列an的首项为1，sn为数列an的前n 项和，sn1qsn1，其中q>0，nn*.(1)若a2，a3，a2a3成等差数列，求数列an的通项公式；

3、(2)设双曲线x21的离心率为en，且e22，求eee.解(1)由已知，sn1qsn1，得sn2qsn11，两式相减得an2qan1，n1.又由s2qs11得a2qa1，故an1qan对所有n1都成立所以，数列an是首项为1，公比为q的等比数列从而anqn1.由a2，a3，a2a3成等差数列，可得2a3a2a2a3，所以a32a2，故q2.所以an2n1(nn*)(2)由(1)可知，anqn1，所以双曲线x21的离心率en.由e22，解得q，所以eee(11)(1q2)1q2(n1)n1q2q2(n1)nn(3n1)思维升华等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标，为最

4、终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序(2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的已知首项为的等比数列an不是递减数列，其前n项和为sn(nn*)，且s3a3，s5a5，s4a4成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)设tnsn(nn*)，求数列tn的最大项的值与最小项的值解(1)设等比数列an的公比为q，因为s3a3，s5a5，s4a4成等差数列，所以s5a5s3a3s4a4s5a

5、5，即4a5a3，于是q2.又an不是递减数列且a1，所以q.故等比数列an的通项公式为an×n1(1)n1·.(2)由(1)，得sn1n当n为奇数时，sn随n的增大而减小，所以1<sns1，故0<sns1.当n为偶数时，sn随n的增大而增大，所以s2sn<1，故0>sns2.综上，对于nn*，总有sn.所以数列tn的最大项的值为，最小项的值为.题型二数列的通项与求和例2已知数列an的前n项和为sn，在数列bn中，b1a1，bnanan1(n2)，且ansnn.(1)设cnan1，求证：cn是等比数列；(2)求数列bn的通项公式(1)证明ansnn，

6、an1sn1n1.，得an1anan11，2an1an1，2(an11)an1，an1是等比数列首项c1a11，又a1a11.a1，c1，公比q.又cnan1，cn是以为首项，为公比的等比数列(2)解由(1)可知cn()·()n1()n，ancn11()n.当n2时，bnanan11()n1()n1()n1()n()n.又b1a1，代入上式也符合，bn()n.思维升华(1)一般求数列的通项往往要构造数列，此时要从证的结论出发，这是很重要的解题信息(2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的有错位相减法，分组求和法，裂项相消法等已知数列an的前n项和为sn，且a1，an1an.(1)

7、证明：数列是等比数列；(2)求数列an的通项公式与前n项和sn.(1)证明a1，an1an，当nn*时，0.又，(nn*)为常数，是以为首项，为公比的等比数列(2)解由是以为首项，为公比的等比数列，得·()n1，ann·()n.sn1·2·()23·()3n·()n，sn1·()22·()3(n1)()nn·()n1，sn()2()3()nn·()n1n·()n1，sn2()n1n·()n2(n2)·()n.综上，ann·()n，sn2(n2)·

8、()n.题型三数列与其他知识的交汇命题点1数列与函数的交汇例3已知二次函数f(x)ax2bx的图象过点(4n,0)，且f(0)2n，nn*，数列an满足f，且a14.(1)求数列an的通项公式；(2)记bn，求数列bn的前n项和tn.解(1)f(x)2axb，由题意知b2n,16n2a4nb0，a，则f(x)x22nx，nn*.数列an满足f，又f(x)x2n，2n，2n，由叠加法可得2462(n1)n2n，化简可得an(n2)，当n1时，a14也符合，an(nn*)(2)bn2，tnb1b2bn22.命题点2数列与不等式的交汇例4对任意正整数n，设an是方程x21的正根求证：(1)an1&g

9、t;an；(2)<1.证明由a1且an>0，得0<an<1.(1)a1，a1，两式相减得0aa<aa(an1an)(an1an)因为an1an>0，故an1an>0，即an1>an.(2)因为an(an)1，所以an，由0<an<1，得<1，从而当i2时，(1)<(11)<， (1)1 (1)<1 ()<.所以<1.思维升华数列与其他知识交汇问题的常见类型及解题策略(1)数列与函数的交汇问题已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；已知数列条件，解决函数问题，解决此类

10、问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形另外，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常见解法有助于该类问题的解决(2)数列与不等式的交汇问题函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式；放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到；比较方法：作差或者作商比较(3)数列应用题根据题意，确定数列模型；准确求解模型；问题作答，不要忽视问题的实际意义已知f(x)ln xx1，x为正实数，g(x)mx1(m>

11、0)(1)判断函数yf(x)的单调性，给出你的结论；(2)若数列an的各项均为正数，a11，在m2时，an1f(an)g(an)2 (nn*)，求证：an2n1.(1)解求导，得f(x)1，由f(x)0，得x1.当x(0,1)时，f(x)>0；当x(1，)时，f(x)<0，所以函数yf(x)在(0,1)上是增函数，在(1，)上是减函数(2)证明由题意，正项数列an满足a11，an1ln anan2，由(1)知f(x)ln xx1f(1)0，即有不等式ln xx1(x>0)下面用数学归纳法证明an2n1 (*)成立当n1时，a11211，(*)式成立假设当nk时，ak2k1成立

12、，则当nk1时，ak1ln akak2ak1ak22ak12(2k1)12k11.所以当nk1时，(*)式也成立由可知，an2n1成立.第3课时阶段重难点梳理1已知an是等差数列，bn是等比数列，且b23，b39，a1b1，a14b4.(1)求an的通项公式；(2)设cnanbn，求数列cn的前n项和解(1)设数列an的公差为d，bn的公比为q，由得bn的通项公式bnb1qn13n1，又a1b11，a14b434127，1(141)d27，解得d2.an的通项公式ana1(n1)d1(n1)×22n1(n1,2,3，)(2)设数列cn的前n项和为sanbn2n13n1，snc

13、1c2c3cn2×11302×21312×31322n13n12(12n)n2×nn2.即数列cn的前n项和为n2.2等差数列an中，a3a44，a5a76.(1)求an的通项公式；(2)设bnan，求数列bn的前10项和，其中x表示不超过x的最大整数，如0.90，2.62.解(1)设数列an的首项为a1，公差为d，由题意有解得所以an的通项公式为an.(2)由(1)知，bn.当n1,2,3时，1<2，bn1；当n4,5时，2<3，bn2；当n6,7,8时，3<4，bn3；当n9,10时，4<5，bn4.所以数列bn的前10项和为

14、1×32×23×34×224.3已知数列an的各项都大于1，且a12，aan1a10(nn*)(1)求证：an<an1<n2；(2)求证：<1.证明(1)由aaan11>0，得an1>an，an1an<1，an1(an1an)(a2a1)a1<n2.an1an>>，an(anan1)(a2a1)a1>2(n2)，又a12，an.(2)aaan111，a>a，即a，2a3，4()<1.4已知正项数列an中，a11，点(，an1)(nn*)在函数yx21的图象上，数列bn的前n项和sn2

15、bn.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)设cn，求cn的前n项和tn.解(1)点(，an1)(nn*)在函数yx21的图象上，an1an1，数列an是公差为1的等差数列a11，an1(n1)×1n，sn2bn，sn12bn1，两式相减，得bn1bn1bn，即，由s12b1，即b12b1，得b11.数列bn是首项为1，公比为的等比数列，bn()n1.(2)log2bn1log2()nn，cn，tnc1c2cn(1)()()()1.5已知fn(x)a1xa2x2a3x3anxn，且fn(1)(1)n·n，n1,2,3，.(1)求a1，a2，a3；(2)求数列an的通项公式；(3)当k>7且kn*时，证明：对任意nn*都有>成立(1)解由f1(1)a11，得a11，由f2(1)a1a22，得a23，又f3(1)a1a2a33，所以a35.(2)解由题意得fn(1)a1a2a3(1)nan(1)n·n