2022年2022年高中数学《正弦定理》教学设计

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载奇妙提问,探寻课堂学问生长点正弦定理新授课的教学设计一.教学内容分析 ：正弦定理为一般高中课程标准数学教科书·数学必修 5人教 a版第一章解三角形： 1 1 “正弦定理和余弦定理”的第1 课,为解三角形的重要工具；“解三角形”既为高中数学的基本内容,又有较强的应用性；解三角 形作为几何度量问题, 应突出几何的作用和数量化的思想,为同学进一步学习数学奠定基础；本课“正弦定理” ,作为单元的起始课,为后续内容作学问与方法的预备,为在同学已有的三角函数及向量学问的基础上,通过对三角形边角关系作量化探究,发觉并把握正弦定理（重要的解三角形工具）,解决简洁的三

2、角形度量问题；教学过程中,应发挥同学的主动性,通过探究发觉.合情推理与演绎 证明的过程,提高同学的思辨才能；二.同学学情分析：由于本课内容和一些与测量. 几何运算有关的实际问题相关,教学中如能留意课程与生活实际的联系, 留意学问的发生过程, 定能激起同学的学习爱好； 当然本课涉及代数推理,定理证明中涉及三角函数与平面对量等多方面的学问方法,综合性强,同学学习方面有肯定困难；三.设计思想：培育同学学会学习. 学会探究为全面进展同学才能的重要前提,为高中新课程改革的主要任务； 如何培育同学学会学习. 学会探究呢？建构主义认为： “学问不为被动吸取的,而为由认知主体主动建构的；”这个观点从教学的角度

3、来懂得就为： 学问不为通过老师传授得到的,而为同学在肯定的情境中, 运用已有的学习体会,并通过与他人在老师指导和学习伙伴的帮忙下协作,主动建构而获得的,建构主义教学模式强调以同学为中心,视同学为认知的主体, 老师只对同学的积极建构起帮忙和促进作用；本节“正弦定理 ”的教学, 将遵循这个原就采纳奇妙提问.试验探究.自主学习.合作沟通的争论性学习方式,重点放在定理的形成.证明的探究及定理基本应用上,努力挖掘定理教学中蕴涵的思维价值；从实际问题动身,从同学已有学问动身,奇妙提问,层层推动,引入课题,猜想验证,理论证明,最终把所学学问应用于实际问题；四.教学目标：让同学从已有的学问体会动身、通过对特别

4、三角形边角间数量关系的探求,发觉正弦定理；再由特别到一般,从定性到定量,探究在任意三角形中,边与其 对角的关系,引导同学通过观看,猜想,比较,推导正弦定理,由此培育同学合 情推理探究数学规律的数学摸索才能；培育同学联想与引申的才能, 探究的精神与创新的意识, 同时通过三角函数. 向量与正弦定理等学问间的联系来帮忙同学初步树立事物之间的普遍联系与辩证统一的唯物主义观点；五.教学重点与难点：本节课的重点为正弦定理的探究.证明及其基本应用；难点为正弦定理应1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载用中“已知两边和其中一边的对角解三角形,判定解的个数”,以及规律思维能力的培育；六.教学过程设计：

5、（一）创设情境 :问题1：长沙市政府欲在湘江建一个隧道、需预先测量两地 a 和 b 的距离 、于为在江边选取一个测量点c、 测得a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载cb=435m、 cba=880 、 bca=42 0 ；由以上数据,能测精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载算出ab吗？这为一个什么数学问题.这个三角形为唯独确定的吗？理由为什么？引出：解三角形已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程； 设计意图：从实际问题动身,引入数学课题；师：我们知道：已知两角一边,依据三角形全等的判定aas或 asa ,该三角形为唯独确

6、定的；如何定量地求出88 0b435m420c精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载其余的边角呢？这就为我们这节课要争论的正弦定理；引出课题：正弦定理；师：在中学我们学到很多三角形的学问,你对三角形中的边角学问知道多少？生：· · · ,“大角对大边,大边对大角”师：“a b ca b c”,这为定性地争论三角形中的边角关系,为什么大角对大边,大边对大角？我们能否更深刻地.从定量的角度争论三角形中的边角关系？同学们能否结合特别三角形作一下合理猜想呢？ 设计意图：从联系的观点,从新的角度看过去的问题,使同学对于过去的学问有了新的熟悉,同时使新学问建立在已有学

7、问的坚实基础上,形成良好的学问结构；（二）猜想.试验：1.发散思维, 提出猜想： 从定量的角度考察三角形中的边角关系,猜想可能存在哪些关系？ 学情预设： 此处, 同学依据已有学问“ a b ca b c”,可能显现以下答案情形；如a/a=b/b=c/c、a/sina=b/sinb=c/sinc、a/cosa=b/cosb=c/cosc、a/tana=b/tanb=c/tanc,·· ···等等 ； 设计意图：培育同学的发散思维,猜想也为一种数学才能2 .争论特例,提炼猜想：考察等边三角形.特别直角三角形的边角关系,提炼出abc精品学习资料精选学

8、习资料 - - - 欢迎下载sin asin bsin c ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3.试验验证,完善猜想：这一关系式在任一三角形中为否成立呢？请同学以量角器.刻度尺.运算器为工具,对一般三角形的上述关系式进行验证,老师用几abc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载何画板演示； 在此基础上, 师生一起得出猜想, 即在任意三角形中, 有 sin a 设计意图：着重培育同学对问题的探究意识和动手实践才能（三）证明探究：sin bsin c ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载对此猜想, 据以上直观考察,我们感情上为完全可以接受的,但数学需要理性思维；如

9、何通2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载过严格的数学推理,证明正弦定理呢？1. 特别入手,探究证明：在中学, 我们已学过如何解直角三角形,下面就第一来探讨直角三角形中,角与边的等量关精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载系；在rtabc中,设bc=a、ac=b、ab=c、c900 , 依据锐角的正弦函数的定义,有精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a sin ab sin bsin c1cabcc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载c, c,又abcc 、就 sin asin bsinc,从而在直角三精品学习

10、资料精选学习资料 - - - 欢迎下载角形 abc 中, sin asin bsin c ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.推广拓展,探究证明：问题 2：在锐角三角形abc 中,如何构造直角三角形,表示“ a 与 sina . b 与 sinb ”的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载关系呢？探究 1：能否构造直角三角形,将问题化归为已知问题？ 学情预设：此处,同学可能显现以下答案情形；同学对直角三角形中证明定理的方法记忆犹新,可能通过以下三种方法构造直角三角形；生 1：如图 1,过c 作 bc 边上的垂线cd ,交 ba 的延长线于d ,得到直角三角形dbc ；生

11、 2：如图 2,过 a 作 bc 边上的高线ad ,化归为两个直角三角形问题；生 3：如图 3,分别过b. c 作 ab .ac 边上的垂线,交于d,连接 ad ,也得到两个直角三角形·· · · 经过师生争论指出：方法1 明显不行取,方法2,简洁明白,简洁得到“c 与 sin c .b 与 sinb ”的关系式；而方法3 将把问题延长到四点共圆,深究下去,可得精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a sin ab sin bc sin c2 r ,而且对钝角三角形也适应；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 学问链接：依据化归这一解决

12、数学问题的重要思想方法,把锐角三角形中正弦定理的证明归结为直角三角形问题为自然不过的；图 1图 23精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载_d a cos - b 、a sin -b c_ b cosa 、bsina a_b_a_cb_ c、0 图 3图 4探究 2：能否引入向量,归结为向量运算？（1）图 2 中蕴涵哪些向量关系式？精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载同学探究,师生.生生之间沟通争论, 得 abbcac 、 abbcca0、 abcbca、（这精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载三个式子本质上为相同的）、adbc0等 、（2）如何将向量关系转化为数量

13、关系？ 施以什么运算 .生：施以数量积运算（3）可取与哪些向量的数量积运算？ 学情预设： 此处,同学可能会做如下种种尝试,如两边自乘平方. 两边同时点乘向量ab（或bc.ac ）,均无法如愿；此时引导同学两边同时点乘向量ad 、并说出理由：数量积运算产生余弦,垂直就实现了余弦与正弦的转换； 学问链接：过渡教材中,证明方法所引用的单位向量j 就为与向量ad共线的单位向量；过去,同学常对此感到费解,经如此铺垫方显自然探究 3：能否引入向量的坐标形式,把向量关系转化为代数运算？（1）如图 4,建立直角坐标系,可得：a0、0、bc、0、cbcosa、bsina、（2）向量 bc 的坐标 =？（ bco

14、sa-c , bsina ）（3）哪一点的坐标与向量bc 的坐标相同？由三角函数的定义,该点的坐标又为多少？精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载0师：依据平行四边形法就,bc 与 d 点坐标相同；d（ a cos180b、 a sin1800b ）,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载0从而建立等量关系：bcosa c= acos180b、0bsina=a sin180b 、 整理,得c=精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载bcosa+ acosb （这其实为射影定理） , a/sina=b/sinb ,同理可得a/s

15、ina=c/sinc ； 学问链接：向量,融数与形于一体,为重要的数学工具,我们可以通过向量的运算来描述和争论几何元素之间的关系（如角与距离等）,这里同学已经学过向量,可依据同学素养情4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载况打算为否采纳探究2 与 3问题 3：钝角三角形中如何推导正弦定理？（留做课后作业）（四）懂得定理.基本应用：1.正弦定理：在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a sin ab sin bc2 rsin c精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载问题 4.定理结构上有什么特点,有哪些变形式？（1）从结构

16、看：各边与其对角的正弦严格对应,成正比例,表达了数学的和谐美；（2）从方程的观点看：每个方程含有四个量,知三求一；从而知正弦定理的基本作用为：ab sin a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如sin b；sin aa sin b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如b；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3 常见变式：a 2 r sin ab 2 r sin bs i na : si nb: s i nca : b : c精品学习资料精选学习资料 - - - 欢

17、迎下载c 2 r sin c精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如：在abc 中,sin 2 asin 2 bsin 2 c ,试判定abc 的外形；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.例题分析例 1在abc 中,已知a32.00 , b81.80 , a42.9 cm,解三角形；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载评述：定理的直接应用,对于解三角形中的复杂运算可使用运算器；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 2在abc 中,已知 a精确到 1cm）；20cm、 b28cm、 a040,解三角形（角度

18、精确到01 ,边长精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载评述：应留意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形；摸索：已知三角形的两边一角,这个三角形能唯独确定吗？为什么？让同学先行摸索,下节课在“正.余弦定理”其次课时中予以下图的剖析阐述；已 知 边 a、b 和a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ccbabaaaahhccbbaaaab1hb2hb精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a<ch =b sina无 解a = ch = bsina仅有一个解ch = bsina<a<b有两个解a b仅有一个解精品学习资料精选学习资料 - -

19、- 欢迎下载5精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3.课堂练习：（1）.引题（问题1）（2）.在 abc 中,a.b.c 分别为 a . b. c 的对边,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a3、b2、 b450 、 求角a .c及边 c精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（五）课堂小结：问题 5：请同学们用一句话表述学习本课的收成和感受；生 1：原先我只会解直角三角形,现在我会解一般三角形了师：通过本课学习,你发觉自己更强大了；生 2：原先我以为正弦定理的证明,只有书上一种方法,今日我们学到了课本以外的众多方法；师：我们学习过两个重要数学工具,即三角函数与平面

20、对量,正弦定理的证明充分展现了它们的妙用；生 3：公式很美；师：美在哪里？生 3：表达了公式的对称美,和谐美·· ··在同学们的热闹争论的基础上,用课件展现小结：1.在正弦定理的发觉及其证明中,蕴涵了丰富的思想方法,既有由特别到一般的归纳思想,又有严格的演绎推理；在定理证明中我们从直观几何角度.向量运算角度探求了数学工具的多样性；2.正弦定理反映了边与其对角正弦成正比的规律、据此,可以用角的正弦替代对边,具有美学价值3.利用正弦定懂得决三类三角形问题：（1）已知两角和任一边,求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,进而求出其他的边和角；（3）实现边与角的互化； 设计意图：通常,课堂小结均由老师和盘托出,同学接受现成的结论；本设计充分发挥同学