2022年2022年高中数学不等式知识点总结2

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载1.不等式的基本性质（对称性）abba弹性学制数学讲义不等式（ 4 课时）学问梳理精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（传递性）ab、 bcac精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（可加性）abacbcab、 cdacbdab、 cdacbd（同向可加性）（异向可减性）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（可积性）ab、 c0acbc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ab、 c0acbc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（同向正数可乘性）ab0、 cd0acbd

2、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（异向正数可除性）ab0、0cdabcd精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（平方法就）ab0a nbn nn 、且n1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（开方法就）ab0n an b nn、 且n1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ab0（倒数法就）11 ; ab011abab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资

3、料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.几个重要不等式a 2b 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a2b22aba, br、（当且仅当ab.ab 时取 "" 号）.变形公式：2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（基本不等式）ababa,br、（当且仅当ab 时取到等号）.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载变形公式：ab2ab22abab.2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载用基本不等式求最值时（积定和最小,和定积最大）,要留意满意三个条件“一正.二定.精品学习资料精选学习资料 -

4、 - - 欢迎下载三相等” .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（三个正数的算术几何平均不等式）abc 33 abca.b.cr （当且仅当精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载abc 时取到等号） .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2ab2c2abbccaa,br精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（当且仅当abc 时取到等号） .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3a b3c33abc a0、 b0、 c0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（当且仅当abc 时取到等号） .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如a

5、b0、就 baab2（当仅当 a=b 时取等号）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如ab0、就 baab2（当仅当a=b 时取等号）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b bm aam1anbnab ,（其中 ab0, m0, n0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载规律：小于1 同加就变大,大于1 同加就变小 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 当a0时,xax2a2xa或xa;精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22xaxaaxa.精品学习资料

6、精选学习资料 - - - 欢迎下载肯定值三角不等式ababab .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3.几个闻名不等式2平均不等式：a 1b 1aba2b2ab22,（ a、 br,当且仅当ab 时取精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载"" 号） .（即调和平均几何平均算术平均平方平均） .变形公式：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2ababa2b2;a2b 2ab 2.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载222幂平均不等式：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 2a 2

7、.a 21 aa.a 2.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载12n12nn二维形式的三角不等式：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x 2y 2x 2y 2xx 2 yy 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载11221212二维形式的柯西不等式： x1 、 y1、 x2 、 y2r.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 2b 2 c2d 2 acbd 2 a、 b、 c、 dr.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当且仅当 adbc 时,等号成立.三维形式的柯西不等式：精品学习资料精选学习资料

8、 - - - 欢迎下载a 2a 2a 2 b 2b 2b 2 a ba ba b2 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1231231 12 23 3一般形式的柯西不等式：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载222222aa.abb.ba ba b.a b 2 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载12n12n1 12 2n n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载向量形式的柯西不等式：urur设、为两个向量,就时,等号成立.urururur、ururur当且仅当为零向量,或存在实数k ,使k精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载排序不等式（排序

9、原理）：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设 a1a2.an 、 b1b2.bn 为两组实数 . c1 、c2 、.、 cn 为 b1 、b2 、.、 bn 的任一排列,就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a1bna2bn 1.anb1a1c1a2 c2.ancna1b1a2b2.an bn .（反序和乱序和精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载次序和）,当且仅当a1a2.an 或 b1b2.bn 时,反序和等于次序和.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载琴生不

10、等式:（特例 :凸函数.凹函数）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如定义在某区间上的函数f x 、对于定义域中任意两点x1、 x2 x1x2 、 有精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f x1x2 2f x1 f x2 或2f x1x2 2f x1 f x2 .2就称 fx 为凸（或凹）函数.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4.不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差,作商法）.综合法.分析法；其它方法有：换元法.反证法.放缩法.构造法,函数单调性法,数学归纳法等.常见不等式的放缩方法：精品学习资料精选学

11、习资料 - - - 欢迎下载 a123a1 2 ;精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载舍去或加上一些项,如242精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载将分子或分母放大（缩小）,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载11、11、2212、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载k如2k k1k 2kk12 kkkkkk1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载12kn * 、 k1kkk1等.5.一元二次不等式的解法精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载求一元二次不等式ax2bxc0或0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学

12、习资料 - - - 欢迎下载a0、b24ac0 解集的步骤：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载一化：化二次项前的系数为正数.二判：判定对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：依据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时,小于取中间,大于取两边.6.高次不等式的解法：穿根法.分解因式,把根标在数轴上,从右上方依次往下穿（奇穿偶切）,结合原式不等号的方向,写出不等式的解集.7.分式不等式的解法：先移项通分标准化,就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f x0f xg x0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载g x精品学习资料精选学

13、习资料 - - - 欢迎下载f x0f xg x0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载g xg x0（“或”时同理）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 8.无理不等式的解法：转化为有理不等式求解f x0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f xaa0f xa2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f xa a0f x02精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f xa精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f xf xg xgxf x0g x0或f x

14、gx 2f x0g x0f x0g x0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f x g x 2f x0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f xg xg x0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f xg x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载规律：把无理不等式等价转化为有理不等式,诀窍在于从“小”的一边分析求解.9.指数不等式的解法：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 af xa1 时、a g xf xg x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 0a1时、a f x a g x f

15、xg x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载规律：依据指数函数的性质转化. 10.对数不等式的解法f x0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载log af xlogag xg x0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 a1 时、f xg x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载log af xlog a g xf x0g x0.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 0a1时、f xgx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载规律：依据对数函数的性

16、质转化.11.含肯定值不等式的解法：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a定义法：aa0.a a0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22平方法：f xg xf xg x.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载同解变形法,其同解定理有：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 xaaxaa0;精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 xaxa或xaa0;精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 f xg xg xf xg x g x0精品学习资料精选学习资料

17、 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 f xg xf x g x 或f xg x g x0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载规律：关键为去掉肯定值的符号.12.含有两个（或两个以上）肯定值的不等式的解法：规律：找零点.划区间.分段争论去肯定值.每段中取交集,最终取各段的并集.13.含参数的不等式的解法精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解形如ax 2bxc0 且含参数的不等式时,要对参数进行分类争论,分类争论的标准有：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载争论 a 与 0 的大小；争论与 0 的大小；争论两根的大小. 14.恒成立问

18、题精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载不等式ax 2bxc0 的解集为全体实数（或恒成立）的条件为：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 a0 时b0、 c0;精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a0当 a0 时0.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载不等式ax 2bxc0 的解集为全体实数（或恒成立）的条件为：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 a0 时b0、 c0;精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a0当 a0 时0.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 f xa 恒成立f xmaxa;精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f xa 恒成立f xmaxa;精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 f xa 恒成立f xmina;精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f xa 恒成立f x mina.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载15.线性规划问题常见的目标函数的类型：精品学习资料精选学习