随机过程例题实用教案

1、例例2 设 X (t) 为信号过程(guchng)，Y (t) 为噪声过程(guchng)，令W (t) = X (t) + Y (t)，则 W (t) 的均值(jn zh)函数为其相关(xinggun)函数为)()()(tmtmtmYXW),(),(),(),()()()()()()()()()()()()()()(),(tsRtsRtsRtsRtYsYEtXsYEtYsXEtXsXEtYtXsYsXEtWsWEtsRYYXXYXW 2随机过程的基本概念第1页/共27页第一页，共27页。例例 求在求在0, 10, 1区间区间(q jin)(q jin)均匀分布的独均匀分布的独立随机序列的均值

2、向量、自相关阵和协方立随机序列的均值向量、自相关阵和协方差阵，设差阵，设N=3N=3。解：其它 , 010 , 1)(xxfiXXi 的一维概率密度函数为：的一维概率密度函数为：Xi 的均值的均值(jn zh)：21dd)(10-xxxxfxXEmiiXiXjiXEXEjiXEXXErjiijiij , 4/1 , 3/12Xi 的自相关的自相关(xinggun)函数：函数：均值向量均值向量2/12/12/1XM自相关阵自相关阵3/14/14/14/13/14/14/14/13/1XR协方差阵协方差阵12/100012/100012/1XC 2随机过程的基本概念第2页/共27页第二页，共27页

3、。例例3n设复随机过程 ，其中A1, A2, , An 是相互独立且服从 N(0, )的随机变量， 1, 2, , n 为常数，求 Zt , t 0 的均值函数 mZ (t) 和相关函数 RZ (s, t) 。0,e1jtAZnktktk2knktskZZktsRtm1)(j2e),(0)( 2随机(su j)过程的基本概念第3页/共27页第三页，共27页。例例1 设有随机相位(xingwi)过程 X (t) = a sin(t+)，a, 为常数， 为(0, 2)上服从均匀分布的随机变量，试讨论随机过程 X (t) 的平稳性。解因此因此 X (t)是平稳随机是平稳随机(su j)过程。过程。0

4、)sin(2)()sin()sin()(2020dtadftataEtXEcos2)(sin)sin(2)()(),(2202adttatXtXEttRX 3平稳(pngwn)过程第4页/共27页第四页，共27页。例例2（白噪声（白噪声(zoshng)序列）序列） 设 Xn , n = 0, 1, 2, 是实的互不相关随机变量序列(xli)，且 EXn = 0，DXn = 2 ，试讨论随机序列(xli)的平稳性 。解因为(yn wi): (1) EXn = 00 , 00 ,),( ) 2(2nnXXXEnnR故故 随机序列的均值为常数，相关函数仅与随机序列的均值为常数，相关函数仅与 有关，因

5、此有关，因此它是平稳随机序列。它是平稳随机序列。3平稳过程第5页/共27页第五页，共27页。例例3 3 设有随机(su j)相位过程 X (t) = a cos(t+)，a, 为常数， 为(0, 2)上服从均匀分布的随机(su j)变量，试问 X (t) 是否为各态历经过程。021)cos()(20dtatXE0)cos(21lim)(TTTdttaTtX)()()cos(2)(2tXtXaRX故 X (t) 是为各态历经(l jn)过程。 3平稳(pngwn)过程第6页/共27页第六页，共27页。 例例4 4 设有两个随机设有两个随机(su j)(su j)过程过程X (t) = a cos

6、(X (t) = a cos(t+t+) ) 和和Y (t) Y (t) = b sin(= b sin(t+t+) )，其中，其中a, b, a, b, 为常数，为常数， 为为(0, 2(0, 2) )上服从均上服从均匀分布的随机匀分布的随机(su j)(su j)变量，分析变量，分析X (t)X (t)和和Y (t)Y (t)是否联合平稳。是否联合平稳。解)(cos),(22XaXRttR故 X (t)和 Y (t)均是平稳(pngwn)过程。0)()(tYEtXE)(sin2)(sin)cos( )()(),(XYXYRabtbtaEtYtXEttR)(cos),(22YbYRttR所以

7、(suy) X (t)和 Y (t) 是联合平稳的。 3平稳过程第7页/共27页第七页，共27页。解例1 设有随机过程 X (t) = a cos(0t + )， 其中 a, 0 为常数， 在下列情况下，求 X (t) 的平均功率：(1) 是在( 0, 2 ) 上服从(fcng)均匀分布的随机变量；(2) 是在( 0, /2 ) 上服从(fcng)均匀分布的随机变量。(1) 随机过程(guchng) X (t) 是平稳过程(guchng)，相关(xinggun)函数：)cos(2)(02aRX平均功率：2)0(2aRPX(2)2sin(2)(cos)(0220222taataEtXE平均功率：

8、X (t) 是非平稳过程2d)(21lim22attXETPTTT 4谱分析第8页/共27页第八页，共27页。例例2解20220200000)()(d)cos()cos(ed)cos()cos(e2)(aaaaGaaX)cos(e)(0aXR 已知平稳过程的相关函数为 ，其中 a 0, 0 为常数，求谱密度 GX ( ) . 4谱分析第9页/共27页第九页，共27页。0)1()()()(nWnWEnXEnmX解)1() 1()(2)1()()1()()()()(2mmmnWnWmnWmnWEnXmnXEmRX例3 设随机序列X(n) = W(n) +W(n-1)，其中W(n)是高斯随机序列，m

9、W=0, RW(m)=2(m)，求X(n)的均值、自相关函数(hnsh)和谱密度 GX () .)cos1 (2)ee2(e)()(jj2jmmXXmRG 4谱分析第10页/共27页第十页，共27页。 例例4 4 如图所示如图所示X (t) X (t) 是平稳过程是平稳过程(guchng)(guchng)，过，过程程(guchng)Y (t)= X (t)+ X (t(guchng)Y (t)= X (t)+ X (tT)T)也是平也是平稳的，求稳的，求Y (t) Y (t) 的功率谱。的功率谱。解)()()(2)()()()( )()(),(TRTRRTtXtXTtXtXEtYtYEttRX

10、XXY)cos(1)(2e)(e)()(2de)()()(2de)()(jjjjTGGGGTRTRRRGXTXTXXXXXYY X (t)Y (t)延迟T 4谱分析第11页/共27页第十一页，共27页。例例1 （h(t) 的估计的估计(gj)） 设线性系统输入一个白噪声(zoshng)过程 X (t)，其自相关函数为 RX ( ) = N0 ( ) ，则)(d)()()(00hNuuhuNRYX)(1)(0YXRNh通过测量互相通过测量互相(h xing)关函数，可以估计线性系统的单位脉冲响应。关函数，可以估计线性系统的单位脉冲响应。)()(1)(0tXtYNh假定过程 X (t) 和 Y (

11、t) 是各态历经的， 5随机信号通过线性系统的分析第12页/共27页第十二页，共27页。例例2 如图如图RC电路，若输入电路，若输入(shr)白噪声电压白噪声电压 X (t) ，其相关函数为，其相关函数为 RX ( ) = N0 ( ) ，求输出电压，求输出电压 Y (t) 的相关函数和平均的相关函数和平均功率。功率。解RCiH1 , )(其中)()(tuetht0)(FT)(NRGXX02222)()()(NGHGXYeNGRYY2)(IFT)(02)0(0NRPYX (t)Y (t)RC 5随机信号(xnho)通过线性系统的分析第13页/共27页第十三页，共27页。例例3 如图有两个如图有

12、两个LTI系统系统H1()和和H2()，若输入，若输入同一个均值为零的平稳过程同一个均值为零的平稳过程 X(t) ，它们，它们(t men)的输出分别为的输出分别为 Y1(t) 和和Y2(t)。如何设计。如何设计H1()和和H2()才能使才能使Y1(t) 和和Y2(t)互不相互不相关？关？解X (t)Y1(t)H1( )H2( )Y2(t)互不相关(xinggun) 协方差为零d)()()()()(htXthtXtY0d)(11hmmXY0d)(22hmmXY )()()(dd )()()( )()()(21212121 hhRvuvhuhvuRtYtYERXXYY)()()()(2121HH

13、GGXYY, 0)( 21时当YYG0)(21YYR0)(21YYC当两个当两个LTI系统的幅频特性互不系统的幅频特性互不重叠时，则它们重叠时，则它们(t men)的输出的输出Y1(t) 和和Y2(t) 互不相关。互不相关。 5随机信号通过线性系统的分析第14页/共27页第十四页，共27页。 例例1 1 已知仪器在已知仪器在 0 , t 0 , t 内发生振动的次内发生振动的次数数 X(t) X(t) 是具有参数是具有参数的泊松过程的泊松过程(guchng)(guchng)。若仪器振动。若仪器振动k (k k (k 1) 1)次就会次就会出现故障，求仪器在时刻出现故障，求仪器在时刻 t0 t0

14、 正常工作的概率。正常工作的概率。解0 , 00 ,)!1()()(1ttktetfktWk故仪器(yq)在时刻 t0 正常工作的概率为:0d)!1()()(10tktktktetWPP故障(gzhng)时刻就是仪器发生第k振动的时刻Wk ，服从 分布:1000!)()(0knntntektXP 6泊松过程第15页/共27页第十五页，共27页。)()(ntXksXPknkkntstsC1参数(cnsh)为 n 和 s/t 的二项分布例例2 设在设在 0 , t 内事件内事件(shjin)A已经发生已经发生 n 次，且次，且0 s t，对于，对于0 k n ，求在，求在 0 , s 内事件内事件

15、(shjin)A发生发生 k 次的概率。次的概率。)()(,)(ntXPntXksXP)()()(,)(ntXPknsXtXksXP!)()!()(!)()(netknestkestnstknsknknktstsknkn)()!( ! 6泊松过程(guchng)第16页/共27页第十六页，共27页。)()(nsftXWk 例例3 3 设在设在 0 , t 0 , t 内事件内事件A A已经发生已经发生(fshng) n (fshng) n 次，求第次，求第k k次次(k n) (k n) 事件事件A A发生发生(fshng)(fshng)的时间的时间Wk Wk 的条件概率密度函数。的条件概率密

16、度函数。knkktstsknkn1)!()!1(!1Beta分布(fnb)(ntXhsWsPk)()(,ntXPntXhsWsPk)()()(,ntXPknhsXtXhsWsPk)()()(ntXPknhsXtXPhsWsPkhntXhsWsPkh)(lim0)()()()(ntXPknsXtXPsfkW 6泊松过程(guchng)第17页/共27页第十七页，共27页。24380321325)3(4)2(45445CXXP例例4 某电话交换台在某电话交换台在 0, t 时间内收到的呼叫次时间内收到的呼叫次数数X(t)是一个是一个(y )泊松过程，平均每分钟泊松过程，平均每分钟2次。次。 (1)

17、 求求 3分钟内接到分钟内接到5次呼叫概率；次呼叫概率；(2) 若若3分钟分钟内已接到内已接到5次，求前次，求前2分钟收到分钟收到4次呼叫的概率，次呼叫的概率，以及第以及第2次呼叫发生在第次呼叫发生在第1分钟内的概率。分钟内的概率。2)( )()(ttmttXEtmXX243131d31920d)5(5)3(1010310)3(22sssssfXWPXW16. 0e! 5)3(5)3( e!)()(35XPktktXPtk 6泊松过程(guchng)第18页/共27页第十八页，共27页。马尔可夫链的几个简单马尔可夫链的几个简单(jindn)(jindn)例例子子例1 二进制对称信道模型是常用于

18、表征(bio zhn)通信系统的错误产生机制的离散无记忆信道模型。假设某级信道输入0, 1数字信号后，其输出正确的概率为p，产生错误的概率为q，则该级信道输入状态和输出状态构成一个两状态的齐次马尔可夫链。0011ppqq一步转移概率(gil)(gil)矩阵：) 1 , 0,( , ,jijiqjippijpqqpP二步转移概率矩阵：22222)2(22qppqpqqpPP 7马尔可夫链第19页/共27页第十九页，共27页。 例例2 2 具有吸收壁和反射壁的随机具有吸收壁和反射壁的随机(su j)(su j)游动游动设质点在线段设质点在线段1,4上作随机游动。假设它只能在时刻上作随机游动。假设它

19、只能在时刻(shk) nT 发生移动，发生移动，且只能停留在且只能停留在1,2,3,4点上。当质点转移到点上。当质点转移到2,3点时，它以点时，它以1/3的概率向左或向的概率向左或向右移动一格，或停留在原处。当质点移动到点右移动一格，或停留在原处。当质点移动到点1时，它以概率时，它以概率1停留在原处。停留在原处。当质点移动到点当质点移动到点4时，它以概率时，它以概率1移动到点移动到点3。若以。若以Xn 表示质点在时刻表示质点在时刻(shk) n 所处的位置，则所处的位置，则 Xn , n T 是一个齐次马尔可夫链。是一个齐次马尔可夫链。 7马尔可夫链第20页/共27页第二十页，共27页。例3

20、设设 Xn , n T 是一个马尔可夫链，其状态是一个马尔可夫链，其状态空间空间 I = a, b, c，转移矩阵为，转移矩阵为05/25/33/103/24/14/12/1P求： )2(;, ) 1 (204321bXcXPcXcXaXcXbXPnn 7马尔可夫链第21页/共27页第二十一页，共27页。, ) 1 (04321cXcXaXcXbXP/ 0001122334cXPcXPcXbXPbXcXPcXaXPaXcXPcbbccaacPPPP50152315341/,043210cXPcXaXcXbXcXP05/25/33/103/24/14/12/1P解： )2(2bXcXPnn二步转

21、移(zhuny)概率矩阵：901720330176110315824540930172)2(PP61)2(bcP 7马尔可夫链第22页/共27页第二十二页，共27页。例4 设马尔可夫链的状态空间(kngjin) I = 0, 1, 2, ，其转移概率为分析(fnx)各状态的类型。, 1)0(00p解：解：Iipppiii ,21 ,21 ,2101,00先考查先考查(koch)状态状态0，,21)1(00p,210)(00npnn可见状态可见状态0是非周期的，因而状态是非周期的，因而状态0也是遍历的。也是遍历的。,21)(00np021)(00limnnp由归纳法可知，由归纳法可知，(根据根据pij(n)来判断来判断),21)2(00p 状态状态0 0为常返态为常返态 状态状态0 0为正常返态为正常返态因为因为 其它其它i 0 ，故所有，故所有 i 也是遍历的。也是遍历的。 7马尔可夫链第23页/共27页第二十三页，共27页。例5 设马氏链 Xn 的状态空间 I = 1, 2, 3, 4, 5 ，转移(zhuny)矩