机床主轴结构的优化

1、1工工 程程 问问 题题 数数 学学 建建 模模实习题目实习题目机床主轴结构优化机床主轴结构优化学学院院机械工程学院机械工程学院专专业业机械设计制造及其自动化机械设计制造及其自动化学生姓名学生姓名唐齐、李艺凡、王明文唐齐、李艺凡、王明文学学号号2012013 31011121011124044042012013 310111101114104102012013 31011110111414414年年级级2012013 3 级级指导教师指导教师董浩董浩2目录摘要.3关键词.3一、问题重述.3问题 1.4问题 2.4问题 3.4二、问题分析.41、建立目标函数：.42、用罚函数法求取最优点.63、

2、用 matlab 实现该问题的求解.71)建立目标函数 zhou.m 文件：.72)建立非线性约束条件 zhouc.m 文件：. 83)在工作空间窗口输入：. 84、用 lingo 求解全局最优.91） 简单的模型表示.92） 方便的数据输入和输出选择. 93） 强大的求解器.104） 交互式模型或创建 turn-key 应用程序.10总结.12参考文献.133摘摘要要在设计机床主轴时，有两个重要因素需要考虑。一是主轴的自重；一是主轴外伸出端点的挠度。对于普通机床，并不最求过高的加工精度，对机床主轴的优化设计，以选取主轴的质量最轻为目标，外伸端的挠度为约束条件，建立数学模型。并通过 lingo

3、 和 matlab 及罚函数求出全局最优解，即满足挠度约束条件下的主轴质量最轻解。关键词关键词机床主轴挠度质量优化设计lingomatlab罚函数一、问题重述一、问题重述机床主轴一般多为空心轴，下图的主轴 a，b 两端支撑，c 点为其伸出点。主轴的该主轴的设计变量为 l，a，d。已知：d=30mm，外力 f=15000n，许用挠度 y0=0.05mm，以及150a90140d60650l300，（单位：mm），试确定这三个变量，使主轴的质量最轻（假设主轴材料密度一定）。图 14初始值问题问题 1 1：建立主轴在满足许用挠度和各段长度条件下的数学优化模型；问题问题 2 2：找出主轴满足的约束，如

4、不超过许用挠度及主轴各段的长度条件等；问题问题 3 3：求解这个优化模型，求解算法不限，给出连杆与从动件的数值。二、二、问题分析问题分析机床主轴是机床中重要的零件之一， 一般多为支撑空心阶梯轴。 为了便于使用材料力学进行结构分析，常常将阶梯轴简化成以当量直径表示的等截面轴。 如图 1 所示是一个已经简化了的机床主轴。设计这根主轴时，得考虑两个重要的因素。一是主轴的自重；一是主轴伸出端 c 点挠度。对于普通机床，并不追求过高的加工精度，因此在对主轴进行设计时，一般选取主轴的自重作为目标函数，外伸端的挠度则作为约束条件考虑。以此建立数学模型。并通过 lingo 和 matlab 及罚函数求出全局最

5、优解，即满足挠度约束条件下的主轴质量最轻解。1、建立目标函数：建立目标函数：图 1 为机床主轴变形简图，当主轴的材料选定时，其设计方案由四个设计变量决定，即孔径 d、外径 d、跨距 l 即外伸端长 a。由于机床主轴内孔常用于通过待加工的棒料，其大小由机床型号决定，不能作为设计变量。所以设计变量取为ttadlxxxx 321机床优化设计的目标函数则为4/ )()(22231dxxxxf式中 材料的密度。机床主轴的刚度是一个重要的性能指标，即其外伸端的挠度y 不得超过规定 y0，则有0)(0yyxg在外力 f 给定的情况下，挠度 y 是设计变量 x 的函数，其值可按下式计算：设计变量lda初始值4

6、80100120下限值3006090上限值6501401505z23)(eialfay式中）（44z64ddi则0)(3)(64)(04423123ydxexxfxxg此外，通常还应考虑主轴内最大应力不得超过许用应力。由于机床主轴对刚度要求比较高，当刚度满足要求时，强度尚有相当富裕，因此应力条件约束可以不考虑。另外，根据设计变量的取值范围有maxminmaxminmaxminaaadddlll综上所述，可将主轴设计的数学模型表示如下：4/ )()(22231dxxxxf01/)(3)(64)(044231231ydxexxfxxg01)(01)(01)(01)(min35max24min23m

7、in12axxgdxxgdxxglxxg在这里做如下假定：取主轴材料选 45 钢， 查得=7.85g/cm3， e=206gpa， 主轴内径 d=30mm， f=15000n，许用挠度 y0=0.05mm，设计变量的初值为 x1=480mm，x2=100mm，x3=120mm，上下限为300 x1650，60 x2140，90 x3150。将上述数值代入得数学模型为：0901)(01140)(0601)(03001)(01)30()(89. 9)(10)900)(165. 6)(352423124423123162231xxgxxgxxgxxgxxxxxgxxxxf62、用罚函数法求取最优点用

8、罚函数法求取最优点该目标函数在可行域外性质较复杂， 因此可以选择内点法求取最优点。 内点法算法步骤:(1) 构造障碍函数,选择初始点0 x， 初始点必须是内点; 选择初始惩罚因子01r,惩罚因子的缩小系数 c1;置 k=1。(2) 以1kx为初始点， 求解无约束障碍函数)(1)(min1miikxgrxf， 设其极小点为kx。(3) 如果|1kkxx,则kx就是所求的最优解。 停机; 否则转(4)。(4) 置kkcrr1,k=k+1; 转(2)。(2)针对车床主轴问题， 首先构造障碍函数:00090901401406060300300)900()(89. 9)900(10)900)(165.

9、6),(32132214231234262231xpxpxpxrxrxrxrxxxxxrxxxrxpkkkkkk取初始惩罚因子1r=1， 惩罚因子的缩小系数 c=0.2使用迭代法求解如表 1:表 1krkx1x2x31148010012020.2365.417482.6445114.491030.22333.303973.6699102.243840.23315.825068.912995.6997750.24307.261166.660192.5824.180.217300.000264.800990.0002190.218300.000164.800990.0001200.219300.0

10、00064.800990.0000210.220300.000064.800990.0000经过 21 次迭代后，5110|kkxx求得最优解9323. 7)(90.0000 64.8009 0000.300*t*xfx3、用用 matlab 实现该问题的求解实现该问题的求解matlab 是 matrix&laboratory 两个词的组合，意为矩阵工厂（矩阵实验室）。它将数值分析、 矩阵计算、 科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中， 为科学研究、 工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案， 并在很大程度

11、上摆脱了传统非交互式程序设计语言 （如c、fortran）的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。matlab 由一系列工具组成。这些工具方便用户使用 matlab 的函数和文件，其中许多工具采用的是图形用户界面。包括 matlab 桌面和命令窗口、历史命令窗口、编辑器和调试器、路径搜索和用于用户浏览帮助、工作空间、文件的浏览器。随着 matlab 的商业化以及软件本身的不断升级，matlab 的用户界面也越来越精致，更加接近 windows 的标准界面，人机交互性更强，操作更简单。而且新版本的 matlab 提供了完整的联机查询、帮助系统，极大的方便了用户的使用。 简单的编程环境提

12、供了比较完备的调试系统， 程序不必经过编译就可以直接运行，而且能够及时地报告出现的错误及进行出错原因分析。1)建立目标函数建立目标函数 zhou.m 文件：文件：function f=zhou(x)f=(6.165*(x(1)+x(3)*(x(2)2-900)*0.000001;（如图 2）8图 22)建立非线性约束条件建立非线性约束条件 zhouc.m 文件：文件：functionc,ceq=zhouc(x)c=9.89*x(3)2*(x(1)+x(3)/(x(2)4-810000)-1;ceq=;（如图 3）图 33)在工作空间窗口输入：在工作空间窗口输入：x0=480;100;120;a

13、=-1,0,0;1,0,0;0,-1,0;0,1,0;0,0,-1;0,0,1;b=-300;650;-60;140;-90;150;x,fval=fmincon(zhou,x0,a,b,zhouc)（如图 4）图 49运行结果如下（如图 5）：图 5所以当机床主轴跨距 l、外径 d、和外伸端长度 a 分别为 300.000，64.8009，90.0000 时，机床主轴的重量最轻，为 7.9323kg。4、用、用 lingo 求解全局最优求解全局最优lingo全称是linear interactive and general optimizer的缩写-交互式的线性和通用优化求解器。它是一套设计

14、用来帮助您快速，方便和有效的构建和求解线性，非线性，和整数最优化模型的功能全面的工具。包括功能强大的建模语言，建立和编辑问题的全功能环境，读取和写入 excel 和数据库的功能，和一系列完全内置的求解程序。lingo 是使建立和求解线性、非线性和整数最佳化模型更快更简单更有效率的综合工具。lingo 提供强大的语言和快速的求解引擎来阐述和求解最佳化模型。1） 简单的模型表示简单的模型表示lingo 可以将线性、非线性和整数问题迅速得予以公式表示，并且容易阅读、了解和修改。lingo 的建模语言允许您使用汇总和下标变量以一种易懂的直观的方式来表达模型，非常类似您在使用纸和笔。模型更加容易构建，更

15、容易理解，因此也更容易维护。2） 方便的数据输入和输出选择方便的数据输入和输出选择lingo 建立的模型可以直接从数据库或工作表获取资料。同样地，lingo 可以将求解结10果直接输出到数据库或工作表。使得您能够在您选择的应用程序中生成报告.3） 强大的求解器强大的求解器lingo 拥有一整套快速的，内建的求解器用来求解线性的，非线性的（球面&；非球面的），二次的，二次约束的，和整数优化问题。您甚至不需要指定或启动特定的求解器，因为 lingo 会读取您的方程式并自动选择合适的求解器。4） 交互式模型或创建交互式模型或创建 turn-key 应用程序应用程序您能够在 lingo 内创建

16、和求解模型，或您能够从您自己编写的应用程序中直接调用lingo。对于开发交互式模型，lingo 提供了一整套建模环境来构建，求解和分析您的模型.对于构建 turn-key 解决方案， lingo 提供的可调用的 dll 和 ole 界面能够从用户自己写的程序中被调用。lingo 也能够从 excel 宏或数据库应用程序中被直接调用。 在命令窗口输入程序（如图 6）：model:min=6.165*(x1+x3)*(x2)2-900)*10(-6);9.89*(x3)2*(x1+x3)/(x2)4-304)-1=0;300-x1=0;x1-650=0;60-x2=0;x2-140=0;90-x3

17、=0;x3-150=0;end图 611 最优解以及结果分析，运行结果如下（如图 7）：local optimal solution found.objective value:11.44830infeasibilities:0.2014077e-08extended solver steps:5total solver iterations:28variablevaluereduced costx1300.00000.000000x390.000000.000000x275.242900.000000rowslack or surplusdual price111.44830-1.00000

18、02-0.2014077e-086.63410930.0000000.4636514e-014350.00000.000000515.242900.000000664.757100.00000070.0000000.1937898860.000000.000000图 712总结总结在这次数学建模的题目过程中，我们一共经历几个阶段：（1）模型准备：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。用数学语言来描述问题。考虑到主轴的自重和主轴外伸出端点的挠度。(2)模型假设：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。以选取主轴的质量最轻为目标，外伸端的挠度为约束条件，建立数学模型。(3)模型建立：在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构（尽量用简单的数学工具）。通过lingo 和 matlab 及罚