高中数学第二章直线和圆的极坐标方程学案选修4-4

1、教育资源1 2.4 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化*2.5 圆锥曲线统一的极坐标方程1能在极坐标系中，求直线或圆的极坐标方程2会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化3了解圆锥曲线统一的极坐标方程1直线和圆的极坐标方程(1) 极坐标方程与曲线在极坐标系中，曲线可以用含有， 这两个变量的方程( ，) 0 来表示如果曲线c上的点与一个二元方程( ，) 0 建立了如下关系：曲线c上的每个点的极坐标中_满足方程( ，) 0；极坐标满足方程( ，) 0 的_都在曲线c上那么方程 ( ，) 0 叫作曲线c的_， 曲线c叫作极坐标方程( ，)0 的_(2) 直线的极坐标方程直线l经过极点，倾斜角为，

2、则直线l的极坐标方程是_(3) 圆的极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程是_ _；圆心在 (a,0)(a0) ，半径为a的圆的极坐标方程是_【做一做11】在极坐标系中，过点m2，2，且平行于极轴的直线的极坐标方程是_【做一做 12】在极坐标系中，圆心在点a，2(a0)处，且过极点的圆的极坐标方程是 ( ) a 2acos b 2asin (0 ) catan d 2atan (0 ) 2曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化根据点的直角坐标与极坐标互化关系式，曲线方程两种形式的互化可以顺利完成点的直角坐标与极坐标互化关系如下：(1) 点m的极坐标 ( ，) 化为直角坐标(x，y) 的公

3、式：x，y；(2) 点m的直角坐标 (x，y) 化为极坐标 ( ， ) 的公式：2，tan x【做一做 21】极坐标方程cos 22( 0)表示的曲线是( )a余弦曲线 b两条相交直线c一条射线 d两条射线【做一做 22】直角坐标方程x2(y2)24 化为极坐标方程为_3圆锥曲线统一的极坐标方程圆锥曲线统一的极坐标方程是_，当 0e1 时，它表示 _；教育资源2 当e1 时，它表示 _；当e1 时，它表示 _【做一做 3】把极坐标方程 42cos 化为直角坐标方程1求曲线的极坐标方程的步骤剖析： (1) 建立适当的极坐标系，设p( ，) 是曲线上的任意一点；(2) 由曲线上的点所满足的条件，列

4、出曲线上任意一点的极径 和极角 之间的关系式f( ， ) 0；(3)将列出的关系式f( ，) 0 进行整理，化简，得出曲线的极坐标方程； (4) 证明所得的方程就是曲线的极坐标方程，若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，这一证明可以省略2直角坐标与极坐标互化时的注意事项剖析： (1) 两组公式是在三个条件规定下得到的；(2) 由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但一般约定只在规定范围内求值；(3) 由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要化简；(4) 由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用 去乘方程的两端答案：1(1) 至少有一组( ，) 点极坐标方程曲线(2) (

5、r)(3) r2acos 【做一做11】sin 2( 0)如图，设p( ，)( 0)为所求直线上任意一点，在 rtomp中，cos2 2( 0)，即 sin 2( 0)【做一做 12】 b 如图所示， 圆与射线op的交点为p2a，2， 在圆上任取一点m( ，) ，连接om和mp，则有ommp，在 rt mop中，由 rtmop的边角关系可得2acos2 2asin (0 )教育资源3 2(1) cos sin (2)x2y2yx【做一做 21】d cos 22， cos 22 . 两边平方，得x212(x2y2) ，即yx. 又 0， cos x0.yx(x0) 表示两条射线【做一做 22】4

6、sin x2(y2)24 可化为x2y24y，把x cos ，y sin 代入，得 ( cos )2( sin )24sin ，化简得 4sin . 3ep1ecos 椭圆抛物线双曲线【做一做 3】 解： 由 42cos 变形得 2cos 4， 把 x2y2，xcos 代入，平方，得4x2 4y2x28x 16，即 3x28x4y2160. 题型一求直线的极坐标方程【例 1】设p2，4，直线l过p点且倾斜角为34，求直线l的极坐标方程分析： 设m( ，)( 0)是直线l上除p点外的任意一点，极点为o，构造三角形求om. 反思：在极坐标系中，求直线的极坐标方程的一般方法为：设m( ，) 为直线上

7、任意一点，极点为o，连接om，构造出含有om的三角形，再找出我们需求的 与 的关系，即为直线的极坐标方程也可以先求出直角坐标方程，再化为极坐标方程题型二求圆的极坐标方程【例 2】求以c(4,0) 为圆心，半径等于4 的圆的极坐标方程反思：在极坐标系中，求圆的极坐标方程时，关键是找出曲线上的点满足的关系，将它用坐标表示并化简，得到 和 的关系，即为所求极坐标方程题型三极坐标方程和直角坐标方程的互化【例 3】 将下列式子进行直角坐标方程与极坐标方程之间的互化(1)x2y24；(2)(x1)2(y2)2 4；(3) 3cos ；(4) cos 4. 反思：极坐标系和直角坐标系都是用一对有序实数来确定

8、平面上点的位置的方法，都是研究平面图形的重要工具在进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，除了正确使用互化公式外，还要注意变形的等价性题型四圆锥曲线的极坐标方程【例 4】平面直角坐标系中，有一定点f(2,0) 和一条定直线l：x 2. 求与定点f的距离和定直线l的距离的比等于常数12的点的轨迹的极坐标方程分析：用待定系数法求极坐标方程反思：求圆 锥曲线的极坐标方程，关键是建立极坐标系，明确p的几何意义，求出e和p，圆锥曲线的极坐标方程就求出来了答案：【例 1】解：如图所示，设m( ，)( 0)为直线l上除p点外的任意一点，极点为o，连接om，op，该直线交ox于点a，教育资源4 则有 |om| ，

9、|op| 2，mop | 4| ，opm2，所以 |om|cos mop|op| ，即 cos 42，即 cos 42，显然点p也在这条直线上故所求直线的极坐标方程为cos 42. 【例 2】解： 如图所示，由题设可知，这个圆经过极点，圆心在极轴上，设圆与极轴的另一个交点是a，在圆上任取一点p( ，) ，连接op，pa，在 rtopa中， |oa| 8，|op| ， aop，|oa| cos ，即 8cos ，即 8cos 就是圆c的极坐标方程【例 3】 解： (1) 将xcos ，ysin 代入x2y24 得( cos )2( sin )24，即 24. (2) 将(x1)2(y 2)24

10、展开得x22xy24y 1. 将xcos ，ysin 代入x22xy24y 1，得 ( cos )22cos ( sin )24sin 1. 化简，得 22cos 4sin 10. (3) 因为 3cos ，所以 2 3cos ，即x2y23x. (4) 由 cos 4cos cos4sin sin422cos 22sin . 整理，得 222cos 22sin ，即x2y222x22y. 即x222xy222y 0. 【例 4】解：过定点f作定直线l的垂线，垂足为k，以f为极点，fk的反向延长线fx教育资源5 为极轴，建立极坐极系由题意，设所求极坐标方程为ep1ecos ，定点f(2,0)

11、，定直线l：x 2，p为f点到直线l的距离，为2( 2) 4. 又常数12e，所求点的轨迹的极坐标方程为ep1ecos 124112cos ，即 42cos . 1 极坐标方程为2cos 的圆的半径是 ( ) a1 b2 c12 d3 2 过点a(2,0)，并且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( ) acos 2 bsin 2 ccos 1 dsin 1 3 已知一条直线的极坐标方程为2sin42，则极点到该直线的距离是_4 从原点o引直线交直线2x 4y10 于点m，p为射线om上一点，已知|op| |om|1. 求p点的轨迹的极坐标方程答案：1a 2cos ， 22cos ，即x2y22x. 化简，得 (x 1)2y21. 半径为1. 2a 如图所示，设m(，) 为直线上除a(2,0) 外的任意一点， 连接om，则有aom为直角三角形，并且aom ，|oa| 2，|om| ，所以有 |om|cos |oa| ，即 cos 2，显然当2，0 时，也满足方程 cos 2，所以所求直线的极坐标方程为cos 2. 322sin 4 sin cos4cos sin422sin 22cos 22，sin cos 1，即xy1. 则极点到该直线的距离d|0 01|222. 4解： 以o