《立体几何》解答题20题及答案

1、立体几何解答题(1)1、如图，在棱长为 2的正方体 ABCDAiBiCiDi中，M、N分别为棱 AB、BC的 中点。(I)证明：平面 MNBi丄平面BDDiBi(U)求点B到平面MNB1的距离。14(I)证明： MN BD,且 MN BB1,MN 面BB1D1D,又 MN 面B1MN,平面 MNBi 丄平面 BDDiBi(U)解：设点B到平面MNBi的距离为d ,则三棱锥VB B1MN的高等于d。1 1VB B1MNVBI BMN 3 S BIMN d 3 S BMN BBIS =3BiMN - 2 ?S =1BMN 一 21 3d 1 1 23 23 2 d23, 即点2B到平面MNBi的距

2、离为-32、已知四棱锥P ABCD的底面ABCD是边长为4的正方形, PD 平面ABCD , PD 6, E, F分别为PB, AB中点。(1)证明：BC平面PDC ;(2)求三棱锥P DEF的体积。解：(1) PD平面 ABCD, BC 平面 ABCD PD BC又底面ABCD是正方形，故BC CD PD, DC相交故BC 平面PDC1 EE'PD3设BD中点E',则2且 EE '/ PD ,又 PDS BDF1-424故 EE'平面 ABCD,又2E为PB中点，故P,B两点到平面DEF的距离相等故VP DEFVBDEFVEBDF平面ABCDVP DEF 故V

3、E BDF 3 4 3433、如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是矩形,PA AD 2，AB 1,BM PD 于点 M .求证：AM PD ;(2)求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值.PA平面PAD ,(1)证明：I PA 平面 ABCD，AB 平面 ABCD)二 PA AB .V AB ABV PDV BMBMV AM(2)解：由(1)知,AD，AD I PA 平面PAD . 平面 PAD AB PD, AB I BM平面 ABM , PD平面 ABM , AMAM PD，又 PAA,AD 平面 PAD , PAPD，B , AB 平面 ABM , 平面ABM .PD .AD

4、，则M是PD的中点,在Rt PAD中，得AM 2，在 Rt CDM 中,得 MC MD2 DC2设点D到平面ACM的距离为h ,由VD ACM VM ACD，得 ISACM h 1 S ACD I PA 解得 h -，3323设直线CD与平面ACM所成的角为，则CD 3直线CD与平面ACM所成的角的余弦值为4、如图，三棱柱ABC ABlCI的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面,侧棱长是,'3，D是AC的中点.(1) 求证：平面AIBD 平面AIACCI ；(2) 求直线ABi与平面AlBD所成的角的正弦值【解】：(1) 正三棱住ABC AiBiCi， AAi底面ABC ,又BD

5、AC，AIAlAC A, BD 平面 AiACCi ,又 BD 平面 AiB D 平面AiB D 平面AiACCi(2)作AM AiD ,M为垂足，由(I)知AM 平面AQB ,设ABi 与AiB相交于点P,连接MP ,则 APM就是直线AiB与平面D 所成的角，AAi =3 , AD=I ,在 Rt AAi D 中，AIDA =3AM i Sin60-,2AP AB i , Sin2 2APMAMAP2i7直线ABi与平面AiBD所成的角的正弦值为5、如图所示，AC BC i, ACB 90 IPA 平面 ABClCE / PA, PA 2CE 2. (I )求三棱锥E PAB的体积；(U

6、)在棱PB上是否存在一点F ,使得EF /平面ABC证明你的结论.解(I ) V E PABVB EPA(U)取棱PB勺中点为取棱PB的中点为F , AB的中点为GI连EFIFGIGCI则有FG1/ PA,且FG -PA I,又 EC / PA 且CE I,所以 FG / CEI且FG EC ,因此四2边形EFGC为平行四边形，所以 EF / CG,又EF 平面ABC,CG 平面ABC ,所以EF / 平面 ABC .6、如图，已知在侧棱垂直于底面的三棱柱 ABC AiBiCi 中,ClBiAC BC2,且AC BC ,点D是AB中点.Ai求证：平面 AC1D丄平面AIABBI ;若直线AG与

7、平面AiABBi所成角的正弦值为 J0 ,10求三棱锥Ai ACiD的体积.【解】(1)证明(略)(2)由(1)可知CQ平面AIABBI ,所以ACi与平面AiABBi所成的角为 GAD ,在RT GAD中，丄.CiD JiOJ由 Sin GAD,AA 2/2AC110VAl AC1DVCi A1AD Z1 2：3 SAIAD-CiD7、 已知四边形ABCD为矩形，AD = 4, AB= 2, E、F分别是线段AB、BC的中 点，PA丄面ABCD.(1) 求证：PF FD;(2) 设点G在FA上，且EG /面PFD ,试确定点G的位置.【解】证明：(1)连接AF ,在矩形ABCD中，V AD=

8、4,AB=2,点F是BC的中点， AFB= DFC= 45 , AFD= 90 ,即 AF 丄 FD,又 V PA面 ABCD, A PA FD,又 V AF PA=A,FD 丄面 PAF,V PF 面 PAF,a PF FD(2)过 E 作 EH / FD 交 AD 于 H ,贝U EH /面 AFD,且 AH=-AD,4过H作HG / PD交PA于G,1贝U GH / 面 PFD 且 AG=4PA,面 EHG / 面 PFD,则 EG / 面 PFD,1从而G点满足AG=4PA,及G点的位置在PA上靠近A点处的四等分点8 如图，三棱锥 A BCD 中，DC BC , BC 23 ,CD A

9、C 2 , AB AD 2、2.(I)(U)【解】（I）证明:在ACD 中,ACCD2 , ADAC2CD2AD2 ,ACCD又Q DCBC,且ACBCCDC面ABC , 又Q AB 面ABCAB在三角形中，ACABCBC证明：AB CD ;求直线AC与平面ABD所成的角的正弦值.2.3CBC2 AB2AC2BA由（1）可知:DC面ABC在 RtVBDC 中, 在ABD中，S-S ABD C2BDABAB设点C到平面ABDQVCABD VD ABCh 2SInAC 22 , AB 2 2 ,S ABCAB2ISABCS ABC3(2 3)2 22AB2 AD2ACACDC1 - 2 2 2 2

10、 2 2- _22 234 /23BC2 CD2AD 2 2 ,1 _ _AD - 22 2 242的距离为h, CA与平面ABD所成的角为-4 h 色 h 2334,BD2 ,故 AB AD即AC与平面ABD所成的角的正弦值为于9、在边长为5的菱形ABCD中，_9Ao 8 .现沿对角线BD把厶ABD折起，折起后使 ADC的余弦值为25.（I）求证：平面ABD丄平面CBD ；（U）若M是AB的中点，求三棱锥A MCD的体积。【解】（I）证明 在菱形ABCD中，记AC , BD的交点为o , AD 5 ,OA 4 , OD 3 ,翻折后变成三棱锥A BCD ,在厶ACD中，2 2 2AC AD

11、CD 2AD CD CoS ADC925 25 2 5 532252 2 2在 VAoC 中，QA QC 32 AC又 AQ BDQC I BD QAQ 平面BCD又AQ 平面ABD平面ABD 平面CBDAQC 90o即 AQ QC10、如图一， ABC是正三角形, ABD是等腰直角三角形,AB=BD=2。# ABD() QM是AB的中点，所以A，B到平面MCD的距离相等,111VA MCDVB MCD二 VA BCDS BCD AQ8223沿边AB折起,使得 ABD与厶ABC成直二面角D面角D AB C中.BD 丄 AC ；AB C,如图二，在【解】：依题意，面ABD 面ABC，AB是交线，

12、 而 BD AB， BD 面 ABC ,又 AC 面 ABC，(2)由知，BD面ABC ,而BC 面ABC , BD 丄 BC ； Rt DBC 中，BC=BA=2 , BD=2 , DC= -DB2 BC2 = 22 22 =2 一2 ；取AB的中点H ,连CH、DH和DC, ABC是正三角形，CH AB , 又 面 ABC 面 ABD , CH 面 ABD ,DH是DC在面ABD内的射影，CDH是DC与面ABD成的角。.r3厂而 CH=J BC= 3 ,由(2)DC=2 2 ,HBCD2Sin CDH=CH =二3 =_6 即为所求。CD 2J2411、如图的几何体中，AB平面ACD, D

13、E丄平面ACD, ACD为等边三角形，AD =DE = 2AB, F为CD的中点.(1)求证：AF/平面BCE; (2)求直线CE与平面ADE所成角的正弦值.【解】（1）证明：取CE的中点G ,连结FG、BG .1GF DEV F 为CD 的中点， GF/DE 且 2. AB 平面 ACD, DE 平面 ACD, AB/ DE ,. GF / AB1AB - DE又 2. GF AB四边形GFAB为平行四边形，则AF/BGV AF 平面 BCE , BG 平面 BCE ,. AF / 平面 BCE .取AD的中点H ,连结CH，EH .Q ACD为等边三角形 CH AD面 ACD CD EH又

14、DE平面ACD , CH所以CH面ADE ,即CEH为CE与平面ADE所成角. 不妨设 AD 2 ,则 DE CD 2,CE 22,CH 爲.CH 76Sin AEH 在 Rt CHE 中，CE 4直线CE与面ADE所成角的正弦值为4 .ACB=90 ,点B1在底12、如图，斜三棱柱ABC -A1B1C1的底面是直角三角形,B1A1A面内的射影恰好是 BC的中点，且BC=CA=2(1) 求证：平面 ACC1A1丄平面BCC1B1；(U)若A1A=2 ,求点B到平面BQA的距离.【解】：(1)取BC中点M,连接B1M,则B1M 面ABC)面 BB1C1C 面 ABCQ BC=面 BB1C1CI

15、面 ABC)AC BCAC 面 BB1C1CBQ AC 面 ACC1A1 面 ACC1A1 面 BB1C1C(2) 设点B到平面B1CA的距离为h,1111L由VBBICA VBIBCA 有3(2 2 2)h 3(2 2 2)3， h 313、 如图，四棱锥S-ABCD的底面是矩形，SA丄底面ABCD , P为BC边的中点，AD = 2, AB=I .SP与平面ABCD所成角为.4(1) 求证：平面SPD平面SAP;(2) 求三棱锥S- APD的体积，CBVSAj. + 片FmPLttT半通P 为占C 申点小.P±fD. VSA APA ÷ P£>丄卒曲 S

16、AR ÷ SPDXlL* SAR <沁(2>P=T1Pl>2rU¾ =£$.、亦 t WZi =-y； '黑匝，晅*晅= C12 )14、如图，在四棱柱ABCD AB1GD1中，A1A 面ABCD， 底面ABCD是直角梯形， BAD 90 , BC/AD， AB BC 1，AD 2 ,异面直线AD“与BC所成角为45 .(1) 求证：AC 平面CCQQ ;【解】(1)由已知得,DQ底面 ABCD , AC平面ABCD ,所以AC DQ又 BAD 90 ,BC Z ZAD ,AB BC 1 ,AD2 ,所以AC、.2, CAD 45所以CD

17、,2, AC CD又CD IDD1 D , 故 AC平面 CC1D1DB CA1D1B C(2) 求直线DD1与平面ACD1所成角的正弦值.(2)因为BCzzAD ,所以 UAD为异面直线AD1与BC所成角，即为45， 又 DQ AD ,所以 DQ AD 2过点D作DH CD1 , H为垂足，由(1)知，AC DH ,又AClCDI C ,所以DH 平面ACD1 ,故 DDQ是直线DD1与平面ACD1所成角，记为在 Rt DiDC 中，CD '2CD1(2)另解：因为BC/AC ,所以、.6 ,所以 SinCD2 13CD163DiAD为异面直线ADi与BC所成角，即为45 ,又 Di

18、D AD ,所以 DiD AD 2即i i、2ii_h - -.2.2 2 ,解得 h23 23 2所以Sinh2JDiD3设点D到平面ACDi的距离为h ,直线DDi与平面ACDi所成角为 又由(i)知，AC CDi , CDi 、6 ,由等体积法得： VD ACDi VDI ACD ,15、如图，边长为4的正方形 在的平面相互垂直，且M、(1) 求证：MN / 面PCD ；(2) 求直线PC与平面PNB所成角的正弦值.ABCD与正三角形ADP所N分别为PB、AD中占I 八、【解】：(1)取PC的中点G ,连MG、DG ,在 中,Q MMGMG/Zz别为PB,PC1 i-BC ND -AD2

19、 ,又 2PBCMGBC且DN ,故四边形DNMG为平行四边形,DG 又 DG 面 PDC)MN 面PDC,MNMN(2)连接BN、NC、PN ,因为面ADP面 ABCD , 且 PN ADPN 面 ABCDPNB 面ABCD过点C 作 CH/ 面 PDC,所以,又PN面PNB ,所以AB面BN-垂足为H,连PH , CH 面PNB故CPH为直线PC与平面PNB所成的角在正方形ABCD中，易知ABNBCH(令)CH BC CoS4285.5在 Rt PNC 中，Q PN23,NC=2 5PC42Sin在Rt CHP中，CPHCH8PC4/25516、如图，在四棱锥S ABCD中，底面ABCD是

20、直角梯形，AB丄平面SAD ,点M是SC的中点，且SA AB BC 1 ,(1) 求四棱锥S ABCD的体积；(2) 求证：DM /平面SAB ；(3) 求直线SC和平面SAB所成的角的正弦值.AD / BC，SA CD，图解I AB丄底面SAD , SA 底面SAD , AD 底面SAD AB 丄 SA, ABI SA CD,AB、侧棱SA 底面(1)在四棱锥直角梯形，AD丄ADCD是平面ABCD内的两条相交直线ABCDABCD 中,侧棱 SA/ BC，AB 丄 AD，底面SAABCD，底面 ABCD是12AB BC 1， ADCD第19题图1LX2(2)取SB的中点N ,连接AN、MN。M

21、 1且 MN BC2I 底面 ABCD是直角梯形，AB垂直于 AD和BC , BC 1 V S ABCD 33SABCD SA14 点M是SC的中点MNAD/ BC 1 AD / BC 且 AD BC， MN 2四边形MNAD是平行四边形/ DM 平面 SAB， AN/ AD 且 MN AD平面SAB(3)：侧棱SA底面ABCD，BC 底面I AB垂直于BC， AB、SA是平面 BC 平面SAB ,垂足是点B 影，BC SBDM / AN DM / 平面 SABABCD BC SASAB内的两条相交直线 SB是SC在平面SAB内的射 BSC是直线SC和平面SAB所成的角I 在 Rt SBC 中

22、，BC 1， SB . 2. SC3Sin BSC BC -2SC3直线SC和平面SAB所成的角的正弦值是子17、如图，已知在侧棱垂直于底面的三棱柱 ABC ABC中,AC BC 72,且 AC BC，点 ID 是 AlBl 中点.求证：平面 AC1D丄平面AABBl ;若直线AG与平面AIABBI所成角的正弦值为 远,10求三棱锥A AC1D的体积.【解】证明：（1）证明（略）由（1）可知GD 平面AIABBl ,所以AC1与平面A1ABB1所成的角为 GAD,21610在 RT GAD中，由 Sin GAD CC 代3VAl AC1DVC1 A1AD =1 S A1AD GD31AA18.

23、（本小题满分14分）如图，三棱锥CABD 中，AB AD BD BCCDO为BD的中点,AOC 120o，P为AC上一点,Q为AO上一点，且APPCAQ 2.QO（I）求证：PQ/平面BCD ;（）求证：PO丄平面ABD ;（川）求四面体 ABCC的体积。18.（本小题满分14分）AQQOBCD ,C AP证明：（I） QPC又Q PQ 平面（ ）由等边AOI OC OBDPQ IICoCO平面BCDABD ,等边在 AOC 中，AOCOAC 30o，又 Q AP 2PCPQBCD , O 为 BD平面AOC BD平面AOC又Q PO120o，AO OC 3，ACAP.OA2/平面BCD 的中

24、点得：POOC2 2 OA OC cos120o4分BD AO, BD OC ,在 APO中，由余弦定理得：POPO2 AO2 AP2 PO AO 又AOI BD O PO丄平面ABD （皿）Q PO丄平面ABD9分.IO 分VP ABD1Sabd PO 1 -AB2 PO313Q CACPABD2vP ABD214分BCE的边长均为2 ,它们所在平面互相垂直,FD平面EFABCD的体积B19如图，菱形ABCD与正三角形ABCD ,且 FD 、3 (I)求证：EF/平面 ABCD ;()若 CBA 60 ,求几何体EDAFE作EHBC于H ,连接平面BCE,EH 平面 ABCD.HD. EH 、3.19解：（I）如图，过点Q平面ABCD 平面BCE , EH 平面ABCD I平面BCE于BC, 又