高考数学二轮复习专题18 三角函数（知识梳理）（文）（解析版）

1、1 / 16 专题专题 18 三角函数（知识梳理）三角函数（知识梳理） 一、一、知识点知识点 (一一)角的概念的推广角的概念的推广 1、角：、角：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 其中顶点，始边，终边称为角的三要素。角可以是任意大小的。 (1)角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角。角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角。 正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角； 负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角； 零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角。 (2)在直角坐标系中讨论角：在直角坐标系中讨论角： 角的顶点在原点，始边在x轴的非负半轴上，角

2、的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。 若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫轴线角。 (3)终边相同的角的集合：设表示任意角，所有与终边相同的角，包括本身构成一个集合，这个集合可记为,360|znns+=。集合s的每一个元素都与的终边相同，当0=k时，对应元素为。 2、弧度制和弧度制与角度制的换算、弧度制和弧度制与角度制的换算 (1)角度制：角度制：把圆周360等分，其中1份所对的圆心角是1度，用度作单位来度量角的制度叫做角度制。 (2)1弧度的角：弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。 规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。任

3、一已知角的弧度数的绝对值rl=|，这种以“弧度”作为单位来度量角的制度叫做弧度制。 (3) 角 度 制 与 弧 度 制 的 互 化 ：角 度 制 与 弧 度 制 的 互 化 ：= 2360，=180；815730.571801=rad； rad01745. 01801=。 3、特殊角的三角函数值、特殊角的三角函数值 0 30 45 60 90 120 135 150 180 0 6 4 3 2 32 43 65 sin 0 21 22 23 1 23 22 21 0 cos 1 23 22 21 0 21 22 23 1 tan 0 33 1 3 3 1 33 0 2 / 16 4、平面直角坐

4、标系中特殊、平面直角坐标系中特殊线表示的角的集合：其中：线表示的角的集合：其中：zn，zk ； x轴正半轴 360n k2 第一象限角平分线 36045+ n +k24 x轴负半轴 360180+ n +k2 第二象限角平分线 360135+ n +k243 x轴 180n k 第三象限角平分线 360225+ n +k245 y轴正半轴 36090+ n +k22 第四象限角平分线 360315+ n +k247 y轴负半轴 360270+ n +k223 第一、三象限角平分线 18045+ n +k4 y轴 18090+ n +k2 第二、四象限角平分线 180135+ n +k43 坐标

5、轴 90n 2k 象限角平分线 9045+ n 24+k 5、弧长及扇形面积公式：弧长公式：、弧长及扇形面积公式：弧长公式：rl=|扇形弧长， 扇形面积公式：扇形面积公式：lrrs21|212=扇形，是圆心角且为弧度制，r是扇形半径。 (二二)任意角的三角函数任意角的三角函数 1、任意角的三角函数：、任意角的三角函数：设是一个任意角，它的终边上一点p(除了原点)的坐标为)(yx，它与原点的距离为0|2222+=+=yxyxr，那么： (1)半径等于单位长的圆叫做单位圆。设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与x轴交点分别为)01 ( ，a，)01(，a，而与y轴的交点分别为) 10( ，b，)

6、 10( ，b。由三角函数的定义可知，点p的坐标为)sin(cos，即)sin(cos，p。其中om=cos，on=sin。这就是说，角的余弦和正弦分别等于角终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标。过点)01 ( ，a作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点t(或t)，则at=tan(或ta )。 (2)正弦ry=sin；余弦rx=cos； 正切xy=tan；余切yx=cot； 210 225 240 270 300 315 330 360 67 45 34 23 35 47 611 2 sin 21 22 23 1 23 22 21 0 cos 23 22 21 0 21 22 23 1

7、tan 33 1 3 3 1 33 0 tt(1,tan)xyoa(1,0)nb(0,-1)a(-1,0)p(cos,sin)a(1,0)b(0,1)moyx3 / 16 正割xr=sec；余割yr=csc。 (3)有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。具有方向的线段叫做有向线段。规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。 (4)三角函数线的定义：设任意角的顶点在原点o，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点)(yxp，过p作x轴的垂线，垂足为m；过点)01 ( ，a作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点t。我们就分别称有向线段mp，om

8、，at为正弦线、余弦线、正切线。 (5)各象限的符号： sin cos tan 一全正 二正弦 三正切 四余弦 2、几个重要结论、几个重要结论 (1) (2) (3)若20 x，则xxxtansin。 证明：在单位圆o中，mpx =sin，atx =tan， 当20 x时，toapoapoasss扇形， 则atoarxmpoa2121212，则atxmp，则xxxtansin。 3、同角三角函数的基本关系：、同角三角函数的基本关系： (1)平方关系：1cossin22=+； (2)商数关系：=tancossin(+k2，zk)。 (3)几个常用关系式：+cossin，cossin， cossi

9、n三式之间可以互相表示。 推导：设t=+cossin，22，t，则： 22cossin21)cos(sint=+=+21cossin2=t； 4 / 16 222cossin21)cos(sint=22cossint=。 4、诱导公式：奇变偶不、诱导公式：奇变偶不变，符号看象限：变，符号看象限： 即公式中除以外的角是2的奇数倍则变，为角的相应的余名三角函数；是2的偶数倍则不变，为角的相应的同名三角函数；等号后面的符号是把看成锐角时等号左边的三角函数值的符号。 (1)=+sin)2sin( k =+cos)2cos( k =+tan)2tan( k (zk) (2)=sin)sin( =cos)

10、cos( =tan)tan( (3)=+sin)sin( =+cos)cos( =+tan)tan( (4)=sin)sin( =cos)cos( =tan)tan( (5)=cos)2sin( =sin)2cos( =cot)2tan( (6)=+cos)2sin( =+sin)2cos( =+cot)2tan( (7)=cos)23sin( =sin)23cos( =cot)23tan( (8)=+cos)23sin( =+sin)23cos( =+cot)23tan( (三三) 三角函数的图像与性质三角函数的图像与性质 1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质、正弦函数、余弦函数和正

11、切函数的图像与性质(zk) 函数 xysin= xycos= xytan= 定义域 r r ,|zkkxrxx 值域 11， 22+= kx时1max=y 22= kx时1min=y 11， = kx2时1max=y += kx2时1min=y r 无最大值 无最小值 周期性 周期为2 周期为2 周期为 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在2222+kk，上 在23222+kk，上 在22kk，上 在22+kk ，上 在)22(+kk，内 5 / 16 对称性 对称中心：)0(，k 对称轴：2+= kx 对称中心：)02(，+k 对称轴：= kx 对称中心：)02(，k 推导：|sin|

12、xy =与|sin xy =的性质(zk) 函数 |sin|xy = |sin xy = 定义域 r r 值域 10 ， 11， 奇偶性 偶函数 偶函数 周期 =t 不是周期函数 单调性 在2+kk ，上；在2+kk，上 增减区间规律不明显，只能就具体区间分析 2、函数函数)sin(+=xay，0a，0，rx的图像的作法的图像的作法五点法五点法 (1)确定函数的最小正周期=2t； (2)令0=+x、2、23、2得=x、)2(1、)(1、)23(1、)2(1，得到五个关键点)0(，、) 1)2(1(，、)0)(1(，、) 1)23(1(，、)0)2(1(，； (3)描点作图，先作出函数在一个周期

13、内的图像，然后根据函数的周期性，把函数在一个周期内的图像向左、右扩展，得到函数)sin(+=xay，0a，0，rx的图像。 3、三角函数的伸缩变化、三角函数的伸缩变化 复习：函数图像平移基本结论小结如下： (0)( )()aayf xyf xa= =+左移 个单位 (0)( )()aayf xyf xa= =右移 个单位 (0)( )( )aayf xyaf x= =上移 个单位 (0)( )( )aayf xyaf x= +=下移 个单位 1( )()yf xyfx= =各点横坐标变成原来的倍 ( )( )yf xayf x=1各点纵坐标变成原来的 倍a ( )( )xyf xyf x= =

14、绕 轴翻折 (1)先平移后伸缩：xysin=的图像 向左( 0)或向右(0)平移个单位长度得)sin(+=xy的图像 ()横坐标伸长(0 1)1到原来的纵坐标不变得)sin(+=xy的图像 ()aaa 纵坐标伸长(1)或缩短(0 1)为原来的 倍 横坐标不变得)sin(+=xay的图像 6 / 16 (0)(0)kkk 向上或向下平移个单位长度得kxay+=)sin(的图像。 (2)先伸缩后平移：xysin=的图像(1)(01)aaa 纵坐标伸长或缩短为原来的 倍(横坐标不变)得xaysin=的图像 (01)(1)1() 横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变得)sin( xay=的图像 (0)(

15、0) 向左或向右平移个单位得)sin(+=xay的图像 (0)(0)kkk 向上或向下平移个单位长度得kxay+=)sin(的图像。 4、函数)sin(+=xay的有关概念 )sin(+=xay，0a，0 振幅 周期 频率 相位 初相 a =2t =21tf +x (四四)三角函数公式三角函数公式 1、两角和与差公式：、两角和与差公式：=sincoscossin)sin(；=sinsincoscos)cos(； +=+tantan1tantan)tan(；+=tantan1tantan)tan(。 2、倍角公式、倍角公式：=cossin22sin，=2222sin211cos2sincos2c

16、os，=2tan12tan2tan； 3、半角公式：、半角公式：2cos12sin=，2cos12cos+=，+=+=cos1sinsincos1cos1cos12tan； 推导：+=+=cos1cos12cos12cos12cos2sin2tan； 2tan2cos2sin2cos2sin22sin22cos2sin2)2sin21 (1sincos122=； 2tan2cos2sin2cos22cos2sin2) 12cos2(12cos2sin2cos1sin22=+=+。 4、万能公式：、万能公式：2tan12tan2sin2aa+=，2tan12tan1cos22aa+=，2tan1

17、2tan2tan2aa=； 7 / 16 5、其它公式：、其它公式：2)2cos2(sinsin1+=+，2)2cos2(sinsin1=； )sin()sin()sin(sin)sin(sin+=+ 推导：)sincoscos(sin)sincoscos(sin)sin()sin(+=+ =2222sincoscossin =2222sin)sin1 ()sin1 (sin +=222222sinsinsinsinsinsin =22sinsin )sin()sin(+=。 二、解题技巧二、解题技巧 1、三角函数恒等变形的基本策略。、三角函数恒等变形的基本策略。 (1)常值代换：特别是用“1

18、”的代换，如45tan0cos90sincottancossin122=+=xxxx等。 (2)项的分拆与角的配凑。在三角化简、求值、证明中，表达式往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中的角，使问题获解。 分拆项：xxxxxx222222cos1cos)cos(sincos2sin+=+=+； 配凑角：)2()2()(+=+=，22+=，)4(24=+， )4()4()()(2+=+=等。 特别地，+4与4为互余角，它们之间可以互相转化在三角变形中使用频率最高。 (3)降次与升次：利用升幂和降幂公式，注意遇无理变有理。 (4)转化法

19、：遇切化弦，求角把边都化成角，求角把角都化成边。异角化同角，负角化单角，异名化同名，高次化低次，特殊值化特殊角。 (5)合一变形：把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的)sin(+=xay的形式：)sin(cossin22+=baba，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由ab=tan确定。 2、证明三角等式的思路和方法。、证明三角等式的思路和方法。 (1)思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。 (2)证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3、证明三角不等式的方法：、证明三角不等式的方法：比较法、配方法、

20、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。 4、特殊值的记忆、特殊值的记忆 8 / 16 (1)常用勾股数)543(，)1086(，)13125(，)25247(，仍然注意“符号看象限”。 (2)426125cos12sin=； 42612cos125sin+=。 三三、母题分析、母题分析 母题母题 1、关于、关于cossin与与 cossin(或或2sin)的关系的推广应用：的关系的推广应用： 由于=+=cossin21cossin2cossin)cos(sin222，故知道cossin，必可推出 cossin ( 或2sin) ， 公 式

21、如 下 ： 设t=+cossin，22，t， 则22cossint=，21cossin2=t。 例 1-1已知21cossin=+，为abc一个内角，则求： (1) cossin； (2)cossin； (3)+22cossin； (4)22cossin； (5)+33cossin； (6)33cossin； (7)+44cossin； (8)44cossin； (9)+66cossin； (10)66cossin。 【解析】(1)8321)21(cossin2=； (2)27)21(2cossin2=， 又为abc一个内角，则sin为正值， cossin为负值， cos为负值，取正值为27；

22、 (3)1cossin22=+； (4)472721)cos)(sincos(sincossin22=+=； (5)1611)83(1 21)coscossin2)(sincos(sincossin2233=+=+ ； (6)1675)83(1 27)coscossin2)(sincos(sincossin2233=+=+=； (7)32233291)83(21cossin2)cos(sincossin22222244=+=+； (8)47471)cos)(sincos(sincossin222244=+=； 9 / 16 (9)643725627256121)83(2)1611(cossin

23、2)cos(sincossin323323366=+=+=+； (10)25675516751611)cos)(sincos(sincossin333366=+=。 例 1-2已知m=+cossin，且n=+tan1tan，则m与n的关系为( )。 a、nm =2 b、122+=nm c、nm22= d、22mn = 【答案】b 【解析】+cossin与 cossin的关系2121)cos(sincossin22=+=m， 而n=+cossin1tan1tan， 故nm1212=122+=nm，故选 b。 点评：通过以上例子可以得出以下结论：由于cossin与 cossin三者之间可以互化，知

24、其一可知其余二，但有一点要注意如果通过已知 cossin，求含sincos的式子，必须讨论其象限才能得出其结果的正、负号。这是由于=cossin21)cos(sin2，要进行开方运算才能求出cossin。 母题母题 2、关于、关于“托底托底”方法的应用：方法的应用： 在三角函数的化简计算或证明题中，往往需要把式子添加分母，利用齐次式的结构特点(如果不具备，通过构造的办法得到)，进行含tan与含sin或cos的式子弦、切互化，这种添配分母的方法叫做“托底”法。“托底”适用于通过同角的含正弦及余弦的式子与含正切、余切的式子的互化的计算。由于=cossintan，即正切与正弦、余弦间是比值关系，故它

25、们间的互化需“托底”，通过保持式子数值不变的情况下添加分母的方法，使它们之间可以互相转化，达到根据已知求值的目的。而添加分母的方法主要有两种：一种利用1cossin22=+，把+22cossin作为分母，并不改变原式的值，另一种是通过等式两边同时除以正弦或余弦又或者它们的积，产生分母。 例 2-1已知2tan=，求(1)+sincossincos；(2)+22cos2cossinsin的值。 【解析】(1)原式2232121tan1tan1cossin1cossin1=+=+=+=； (2)原式324122221cossin2cossincossincossincos2cossinsin222

26、22222=+=+=+=。 10 / 16 例 2-2已知35cossincos3sin=+，则2cossinsin2+的值为 。 【答案】513 【解析】21tan=，原式51321tantantan2cossincossinsin22222=+=+=。 母题母题 3、三角恒等变换：、三角恒等变换： 例 3-1已知432，1312)cos(=，53)sin(=+，求2sin、2cos的值。 【解析】)()(2+=，432，40，23+， 又1312)cos(=，53)sin(=+， 135)(cos1)sin(2=，54)(sin1)cos(2=+=+， 6556)sin()cos()cos

27、()sin()()sin(2sin=+=+=， 6533)sin()sin()cos()cos()()cos(2cos=+=+=。 总结：三角函数式的化简、求值，常从角的差异入手，寻求条件与结论之间的关系，通过三角恒等变换消除差异，使问题获解。注意正负值的选取。 22 202 22，22 +， 22+， +， 0， 0， ， 例 3-2若3cossincossin=+，2)tan(=，则=)2tan( 。 【答案】34 【解析】31tan1tan=+得2tan=，又2)tan(=，2)tan(=， 34tan)tan(1tan)tan()tan()2tan(=+=。 例 3-3=+)5tan5

28、tan1(10sin20sin220cos1 。 【答案】23 11 / 16 【解析】原式10sin220sin210cos10cos210sin210cos)5cos5sin5sin5cos(10sin10cos10sin410cos22= 2330cos10sin210sin30cos210cos30sin210cos10sin2)1030sin(210cos=+=。 母题母题 4、关于形如：、关于形如：xbxacossin的式子在解决三角函数的极值问题时的应用：的式子在解决三角函数的极值问题时的应用： 可以从公式)sin(sincoscossin=xxx中得到启示，如下处理式子： )s

29、in()cossin(cossin22222222+=+=xbaxbabxbaabaxbxa， 由于1)()(222222=+babbaa，故可设：22sinbab+=，22cosbaa+=， 辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由ab=tan确定； 当rx时，1)sin(1x，222222)sin(baxbaba+， 即：2222cossinbaxbxaba+； 当x取值范围有要求时，根据要求判断端点范围。 例 4-1求函数xxxxfcossincos3)(2=，rx的值域。 解题模板：出现xx cossin(x2sin)与xx22sincos(x2sin、x2cos)关系式时，先用降幂

30、扩角公式再用辅助角公式化一角一函数，再利用角的取值范围讨论值域。 【解析】xxxxx2sin21cossin221cossin=，212coscos2+=xx， 则23)62cos(232sin212cos232sin21212cos3)(+=+=+=xxxxxxf， 则231)(max+=xf，231)(min+=xf，函数值域为231231+，。 例 4-2求函数2cossin2cossin)(+=xxxxxf，rx的值域。 解题模板：出现xx cossin(x2sin)与xxcossin关系式时，先用知一可求二公式换元再化二次函数，再利用新元的取值范围讨论值域。 【解析】设)4sin(2

31、cossin+=+=xxxt，22，t，则21cossin2=txx， 则原函数化为43)21(122+=+=ttty， 22，t，当2=t时23)(max+=xf，21=t时43)(min=xf， 函数值域为2343+，。 12 / 16 例 4-3已知函数22sin2sin4)(2+=xxxf，rx。 (1)求)(xf的最小正周期、最大值及此时x的集合； (2)证明：函数)(xf的图像关于直线8=x对称。 【解析】)42sin(222cos22sin2)sin21 (22sin222sin2sin4)(22=+=xxxxxxxxf； (1)(xf的最小正周期=t，rx，当2242+=kx，

32、 即83+= kx时，)(xf最大值为22； (2)证明：xxxxf2cos22)22sin(224)8(2sin22)8(=， xxxxf2cos22)22sin(224)8(2sin22)8(=+=+=+， )8()8(xfxf+=成立，)(xf的图像关于直线8=x对称。 例 4-4已知函数1cossin23cos21)(2+=xxxxf(rx)。 (1)当函数)(xfy =取得最大值时，求自变量x的集合； (2)该函数的图像可由xysin=)(rx的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 【解析】45)62sin(452sin432cos4145)cossin2(43) 1cos2(41)(

33、2+=+=+=xxxxxxxf， (1)当)(xfy =取最大值时，只需+=+kx2262，zk ，即+=kx6，zk ， 当函数y取最大值时，自变量x的集合为,6|zkkxx+=； (2)将函数xysin=依次进行如下变换： 把函数xysin=的图像向左平移6，得到函数)6sin(+=xy的图像， 把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)， 得到函数)62sin(+=xy的图像， 把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的21倍(横坐标不变)， 得到函数)62sin(21+=xy的图像， 13 / 16 把得到的图像向上平移45个单位长度，得到函数45)62sin(21+=xy的图

34、像， 综上得到1cossin23cos21)(2+=xxxxf的图像。 母题母题 5、关于函数、关于函数)sin(+=xay的图像：的图像： 多选例 5-1给出下列六种图像变换方法：图像上所有点的横坐标缩短到原来的21，纵坐标不变；图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变；图像向右平移3个单位长度；图像向左平移3个单位长度；图像向右平移32个单位长度；图像向左平移32个单位长度。 请用上述变换中的两种变换，将函数xysin=的图像变换到函数)32sin(+=xy的图像，那么这两种变换的序号依次是( )。 a、 b、 c、 d、 【答案】bc 【解析】xysin=2sinxy =)32sin()32(21sin+=+=xxy，b正确， xysin=)3sin(+=xy)32sin(+=xy，c 正确，故选 bc。 总结：三角函数图像进行变换时，要注意先伸缩变换后平移变换与先平移变换后伸缩变换的差异。 例 5-2函数)sin()(+=xaxf，其中0a，0，)20，)(xf的图像如下图，则= 。 【答案】4 【解析】8)37(2=t，482=，3=a，)4sin(3)(+=xxf， 将)0 , 3(代入得+=+kx243，即42+=k，又)2 , 0，4=。 总结：a、这三个值求解以最困难，其中如果