高考数学二轮复习专题03 三角函数与解三角形-2021年高考数学尖子生培优题典（新高考专版）（解析版）

1、1 / 16 20212021 年高考数学尖子生培优题典（新高考专版）年高考数学尖子生培优题典（新高考专版） 专题专题 03 三角函数与解三角形三角函数与解三角形 姓名：_ 班级：_ 得分：_ 一、一、 选择题选择题 1若1sin4=，则cos2= （ ） a1516 b1516 c78 d78 【答案】c 【解析】解：41sin=， 217cos21 2sin188= = =， 故选：c. 2在abc中，2 3,2 2,4abb=，则a等于（ ） a6 b3 c6或56 d3或23 【答案】d 【解析】由正弦定理得sinsinabab=，所以2 3sinsin34sin22 2abab=，又

2、ab，所以4a，所以3a=或23a=选 d 3已知2 5cos5=，()10sin10= ，、0,2，则cos的值为（ ） a22 b624 2 / 16 c32 d12 【答案】a 【解析】解：、0,2，,02 ， 22 55sin155=，,2 2 ()10sin010= ， ,02 . ()2103 10cos11010=. ()coscos= ()()coscossinsin=+ 2 53 1051025105102=+ =. 故选：a. 4在abc中，a、b、c分别为角 a、b、c 的对边，它的面积为2224bca+，则角 a等于（ ） a30 b45 c60 d90 【答案】b 3

3、 / 16 【解析】解：由余弦定理得2222cos1cos442bcabcabca+=， 又根据三角形面积公式得2221sin42bcabca+=， sincosaa=， 又角a为abc的内角， 45a=， 故选：b 5设当x=时，函数( )2sincosf xxx=取得最大值，则cos=（ ） a2 55 b55 c2 55 d55 【答案】d 【解析】由题得 f(x)=215 sincos)5 sincoscossin )= 5sin()55xxxxx=（, 其中25cos5,sin.55= 当sin()1x=，即2()x222xkkzk=+=+即时，函数取到最大值. 所以5=2,cosc

4、os(2)sin225kk+=+= = . 6函数2cos53yx=+的最小正周期是（ ） a5 b52 c2 d5 4 / 16 【答案】d 【解析】由题意，函数2cos()53yx=+，所以函数的最小正周期是：2525t=. 7达芬奇的经典之作蒙娜丽莎举世闻名，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷，现将画中女子的嘴唇近似的看作一个圆弧，设嘴角a、b间的圆弧长为l，嘴角间的距离为d，圆弧所对的圆心角为（为弧度角），则l、d和所满足的恒等关系为（ ） asin2=dl b2sin2=dl ccos2=dl d2cos2=dl 【答案】b 【解析】 设该圆弧所对应的圆的半径为r，则2 s

5、in2rd=，=rl，两式相除得2sin2=dl 8在abc中，内角,a b c的对边分别为, ,a b c，,tan2 2=acb，abc的面积为2 2，则2|bac的最小值为（ ） 5 / 16 a4 3 b2 2 c4 2 d2 3 【答案】c 【解析】解：tan2 2b =，1cos3b=，2 2sin3b =， 又1sin2 22=sacb，6ac=， 由余弦定理可得2222222cos4()8=+=+=+bacacbacac， 22()88|4 2|+=+bacacacacac，当且仅8|=acac等号成立 9函数( )()sin 22f xax=+部分图象如图所示，对不同的12,

6、x xa b，若()()12f xf x=，有()123f xx+=，则（ ） a( )f x在5,12 12上是减函数 b( )f x在5,36上是减函数 c( )f x在5,12 12上是增函数 d( )f x在5,36上是增函数 【答案】c 【解析】由题中图像可知2a=，由图像，因为对不同的12,x xa b，都有()()12f xf x=，易知函数在122xxx+=取到最大值， 6 / 16 所以12222xx+=，故122xx+=，又()123f xx+=， 故()()122sin 23xx+=，得()3sin22+=， 因为2，所以3=，所以( )2sin 23f xx=+ 由22

7、2,232kxkk+z解得：5,1212kxkkz+； 即函数( )2sin 23f xx=+的递增区间为5,1212kkkz+； 由3222,232kxkkz+解得：7,1212+kxkkz； 即函数( )2sin 23f xx=+的递减区间为7,1212kkkz+； 故 c 选项正确，abd 都错； 故选：c. 10如图，某景区欲在两山顶 a，c之间建缆车，需要测量两山顶间的距离.已知山高()3 kmab =，()3 3 kmcd =，在水平面上 e处测得山顶 a 的仰角为 30，山顶 c的仰角为 45，150bed=，则两山顶 a、c之间的距离为（ ） a()63 km b()5 3 k

8、m 7 / 16 c()13 km d()66 km 【答案】b 【解析】过a作afcd，垂足为f， 在直角三角形aeb中，tan30abbe =3333=()km， 在直角三角形ced中，tan45cdedcd=()3 3 km， 在bed中，2222cos150bdbeedbe ed=+39272 3 3 3()2=+ 63=， 在直角三角形afc中，22222acaffcbdfc=+=+263(3 33)=+75=， 所以()5 3 kmac =. 故选：b. 11关于函数sin 23fxxxr，给出下列命题： （1）函数( )f x在,2 2 上是增函数； （2）函数( )f x的图像

9、关于点(),026kkz对称； 8 / 16 （3）为得到函数( )sin2g xx=的图像，只要把函数( )f x的图像上所有的点向右平行移动6个单位长度其中正确命题的个数是（ ） a0 b1 c2 d3 【答案】c 【解析】当2 22 232kxkkz， 即51212kxk+，函数( )f x是增函数，故（1）错； ()23xkkz+=，即62kx = +， 则函数( )f x的图像关于点(),026kkz对称，（2）正确； 将函数( )f x的图像上所有的点向右平行移动6个单位长度， 得到函数( )sin 2sin263g xxx=+=，（3）正确， 故选：c. 12在abc中，内角a，

10、b，c的对边分别为a，b，c，且( 3)(sinsin)()sinbabcbc+=，3a =，s为abc的面积，则3coscossbc+的最大值为（ ） a1 b2 c3 d2 3 【答案】c 【解析】因为3a =，所以( 3)(sinsin)()sinbabcbc+=可化为 (ab)()(c b)abc+=，即222abcbc=+， 可得2221cos22bcaabc+=，所以3a=. 9 / 16 又由正弦定理得2sinbb=，2sincc=， 所以13coscossin3coscos2sbcbcabc+=+3(sinsincoscos)3cos()bcbcbc=+=， 当且仅当bc=时，

11、3coscossbc+取得最大值3. 13知函数( )()2sinf xx=+（0，0）满足()( )fxf x=，其图象与直线2y =的某两个交点横坐标为1x，2x，且12xx的最小值为现给出了以下结论 2=且2= 在0,4上( )f x单调递减且02f= 在,02上( )f x单调递增且16f= ,04是( )f x的对称中心 则以上正确的结论编号为（ ） a b c d 【答案】c 【解析】根据( )()2sinf xx=+及条件12xx的最小值为， 可知函数( )f x的最大值为 2，( )f x的最小正周期为， 2t=，因为0，所以2=， 因为()( )fxf x=，所以函数( )f

12、 x是偶函数，而0， 所以2=于是序号正确，进而知( )2sin 22cos22f xxx=+=； 对于序号：2202fcos= ，于是序号错误； 10 / 16 对于序号，当且仅当取222()kxkkz+时， 解得()2kxkkz+，即,()2kkkz+为( )f x的单调增区间， 显然)2,02(,kkkz +，又2cos163f=，故序号正确； 对于序号，令cos20 x =，解得()24mxmz=+， 即,0 ()24mmz+为函数2cos2yx=的对称中心， 显然,04是( )f x的其中一个对称中心，故序号正确， 综上知正确的序号为 14函数( )sin3cos (,0)f xxx

13、 x= 的单调递增区间是（ ） a5,6 b5,66 c,03 d,06 【答案】d 【解析】 ( )sin3cos23f xxxsin x=，因为,0 x 4,333x ，由1,323x ，得,06x ，函数( )()sin3cos,0f xxx x= 的单调递增区间是,06，故选 d. 15要得到函数2cos 26yx=的图象，只需将函数3sin2cos2yxx=的图象（ ） a向左平移2个单位 b向左平移4个单位 11 / 16 c向右平移3个单位 d向右平移6个单位 【答案】b 【解析】3sin2cos22sin 26yxxx=，故只需向左平移4个单位就可得到 2sin 22sin 2

14、2cos 246626yxxx=+=+=. 16（多选题）函数2sin cos3cos3yxxx=+的图象的一个对称中心为（ ） a3,32 b53,62 c23,32 d2,33 【答案】ab 【解析】131333sin2(1 cos2 )3sin2cos2sin(2),2222232yxxxxx=+=+=+ 令2,()326kxkxkz+=,当 k=1时，3x=,对称中心是3,32;当 k=2时，56x=,对称中心是53,62. 17（多选题）将函数cosyx=的图象向左平移32个单位，得到函数( )yf x=的函数图象，则下列说法正确的是（ ） a( )yf x=是奇函数 b( )yf

15、x=的周期是 c( )yf x=的图象关于直线2x=对称 d( )yf x=的图象关于,02对称 【答案】ac 12 / 16 【解析】将函数cosyx=的图象向左平移32个单位，可得( )3cossin2xxyf x=+， 所以( )yf x=是奇函数，且图象关于直线2x =对称. 18（多选题）下图是函数( )sin()f xax=+（其中0a ，0，0 | x）的部分图象，下列结论正确的是（ ） a函数12yfx=的图象关于顶点对称 b函数( )fx的图象关于点,012对称 c函数( )fx在区间,3 4 上单调递增 d方程( )1f x =在区间23,1212上的所有实根之和为83 【

16、答案】abd 【解析】由已知，2a=，2543124t=，因此t=， 22=， 13 / 16 所以( )2sin(2)f xx=+，过点2, 23， 因此43232k+=+，k z，又0 |， 所以6=，( )2sin 26f xx=+， 对 a，2sin212yfxx=图象关于原点对称，故 a正确； 对 b，当12x= 时，012f=，故 b正确； 对 c，由222262kxk+，有36kxk+，k z故 c不正确； 对 d，当231212x时，20,4 6x+，所以1y =与函数( )yf x=有 4 个交点令横坐标为1x，2x，3x，4x，12317822663xxxx+= +=，故

17、d 正确. 二、二、 解答题解答题 19如图，在abc中，2,2 3abacbc=，点d在bc边上，45adc= （1）求bac的度数； （2）求ad的长度. 【解析】解：（1）在abc中，2abac=，2 3bc =， 14 / 16 由余弦定理，有2221cos2?2abacbcbacab ac+= ， 在abc中，120bac=； （2）由（1）知30acb=， 在adc中，由正弦定理，有sin30sin45adac=， sin302sin45acad= 20已知( )2sin 216f xxa=+（a为常数）. （1）求( )f x的单调递增区间； （2）若当0,2x时，( )f x的

18、最大值为 4，求a的值. 【解析】（1）由222,262kxkkz+得,36kxkkz+， 所以函数的单调递增区间为,36kkkz+； （2）0,2x，72666x+， 2sin 26x+的最大值为 2， ( )2sin 216f xxa=+在0,2x的最大值为 4， 214a + =， 1a 21在abc中，角,a b c的对边分别为, ,a b c，sin3sinab且bc=. 15 / 16 （1）求角a的大小； （2）若2 3a =，角b的平分线交ac于点d，求abd的面积. 【解析】（1）由sin3sinab及正弦定理知3ab， 又bc=，由余弦定理得 222cos2bcaabc+=22223122bbbb+= . ()0,a，23a=. （2）由（1）知6bc=， 又2 3a =，在abc中，由正弦定理知：2ab =， 在abd中，由正弦定理sinsinabaddabd=及12ab