高中数学讲义微专题69直线与圆锥曲线的位置关系

1、- 1 - / 17 微专题 69 直线与圆锥曲线位置关系 一、基础知识： （一）直线与椭圆位置关系 1、直线与椭圆位置关系：相交（两个公共点），相切（一个公共点），相离（无公共点） 2、直线与椭圆位置关系的判定步骤：通过方程根的个数进行判定， 下面以直线ykxm=+和椭圆：()222210 xyabab+=为例 （1）联立直线与椭圆方程：222222ykxmb xa ya b=+= （2）确定主变量x（或y）并通过直线方程消去另一变量y（或x），代入椭圆方程得到关于主变量的一元二次方程：()222222b xakxma b+=，整理可得： ()22222222220a kbxa kxma m

2、a b+= （3）通过计算判别式的符号判断方程根的个数，从而判定直线与椭圆的位置关系 0 方程有两个不同实根直线与椭圆相交 0 =方程有两个相同实根直线与椭圆相切 0 方程没有实根直线与椭圆相离 3、若直线上的某点位于椭圆内部，则该直线一定与椭圆相交 （二）直线与双曲线位置关系 1、直线与双曲线位置关系，相交，相切，相离 2、直线与双曲线位置关系的判定：与椭圆相同，可通过方程根的个数进行判定 以直线ykxm=+和椭圆：()222210 xyabab=为例： （1）联立直线与双曲线方程：222222ykxmb xa ya b=+=，消元代入后可得： ()()22222222220ba kxa k

3、xma ma b+= （2）与椭圆不同，在椭圆中，因为2220a kb+，所以消元后的方程一定是二次方程，但双曲线中，消元后的方程二次项系数为222ba k，有可能为零。所以要分情况进行讨论 - 2 - / 17 当2220bba kka= 且0m 时，方程变为一次方程，有一个根。此时直线与双曲线相交，只有一个公共点 当2220bbba kkaa 时，常数项为()22220a ma b+，所以0 恒成立，此时直线与双曲线相交 当2220bba kka或bka 时，直线与双曲线的公共点个数需要用判断： 0 方程有两个不同实根直线与双曲线相交 0 =方程有两个相同实根直线与双曲线相切 0 方程没有

4、实根直线与双曲线相离 注：对于直线与双曲线的位置关系，不能简单的凭公共点的个数来判定位置。尤其是直线与双曲线有一个公共点时，如果是通过一次方程解出，则为相交；如果是通过二次方程解出相同的根，则为相切 （ 3 ） 直 线 与 双 曲 线 交 点 的 位 置 判 定 ： 因 为 双 曲 线 上 的 点 横 坐 标 的 范 围 为(),aa +，所以通过横坐标的符号即可判断交点位于哪一支上：当xa时，点位于双曲线的右支；当xa时，点位于双曲线的左支。对于方程： ()()22222222220ba kxa kxma ma b+=，设两个根为12,x x 当2220bbba kkaa 时，则222212

5、2220a ma bx xba k+= ，所以12,x x异号，即交点分别位于双曲线的左，右支 当2220bba kka或bka ，且0 时，2222122220a ma bx xba k+= ，所以12,x x同号，即交点位于同一支上 （4）直线与双曲线位置关系的几何解释：通过（2）可发现直线与双曲线的位置关系与直线的斜率相关，其分界点ba刚好与双曲线的渐近线斜率相同。所以可通过数形结合得到位置关系的判定 bka= 且0m 时，此时直线与渐近线平行，可视为渐近线进行平移，则在平移过程中与双曲线的一支相交的同时，也在远离双曲线的另一支，所以只有一个交点 - 3 - / 17 bbkaa时，直线

6、的斜率介于两条渐近线斜率之中，通过图像可得无论如何平移直线，直线均与双曲线有两个交点，且两个交点分别位于双曲线的左，右支上。 2220bba kka或bka 时，此时直线比渐近线“更陡”，通过平移观察可得：直线不一定与双曲线有公共点（与的符号对应），可能相离，相切，相交，如果相交则交点位于双曲线同一支上。 （三）直线与抛物线位置关系：相交，相切，相离 1、位置关系的判定：以直线ykxm=+和抛物线：()220ypx p=为例 联立方程：()2222ykxmkxmpxypx=+=，整理后可得： ()222220k xkmp xm+= （1）当0k =时，此时方程为关于x的一次方程，所以有一个实根

7、。此时直线为水平线，与抛物线相交 （2）当0k 时，则方程为关于x的二次方程，可通过判别式进行判定 0 方程有两个不同实根直线与抛物线相交 0 =方程有两个相同实根直线与抛物线相切 0 方程没有实根直线与抛物线相离 2、焦点弦问题：设抛物线方程：22ypx=， 过焦点的直线:2pl yk x=（斜率存在且0k ），对应倾斜角为，与抛物线交于()()1122,a x yb xy 联立方程：2222222ypxpkxpxpyk x=，整理可得： ()22222204k pk xk pp x+= （1）2124pxx= 212y yp= - 4 - / 17 （2）2212222222121k pp

8、k ppabxxpppkkk+=+=+=+ 22221cos22121tansinsinppp=+=+= （3）()221112sinsin222 2sin2sinaobo lpppsdabofab= （四）圆锥曲线问题的解决思路与常用公式： 1、直线与圆锥曲线问题的特点： （1）题目贯穿一至两个核心变量（其余变量均为配角，早晚利用条件消掉）， （2）条件与直线和曲线的交点相关，所以可设()()1122,a x yb xy，至于,a b坐标是否需要解出，则看题目中的条件，以及坐标的形式是否复杂 （3）通过联立方程消元，可得到关于x（或y）的二次方程，如果所求的问题与两根的和或乘积有关，则可利用

9、韦达定理进行整体代入，从而不需求出1212,x xy y（所谓“设而不求”） （4）有些题目会涉及到几何条件向解析语言的转换，注重数形几何，注重整体代入。则可简化运算的过程 这几点归纳起来就是“以一个（或两个）核心变量为中心，以交点()()1122,a x yb xy为两个基本点，坚持韦达定理四个基本公式（12121212,xx x xyyy y+，坚持数形结合，坚持整体代入。直至解决解析几何问题“ 2、韦达定理：是用二次方程的系数运算来表示两个根的和与乘积，在解析几何中得到广泛使用的原因主要有两个：一是联立方程消元后的二次方程通常含有参数，进而导致直接利用求根公式计算出来的实根形式非常复杂，

10、难以参与后面的运算；二是解析几何的一些问题或是步骤经常与两个根的和与差产生联系。进而在思路上就想利用韦达定理，绕开繁杂的求根结果，通过整体代入的方式得到答案。所以说，解析几何中韦达定理的应用本质上是整体代入的思想，并不是每一道解析题必备的良方。如果二次方程的根易于表示（优先求点，以应对更复杂的运算），或者所求的问题与两根和，乘积无关，则韦达定理毫无用武之地。 3、直线方程的形式：直线的方程可设为两种形式： （1）斜截式：ykxm=+，此直线不能表示竖直线。联立方程如果消去y则此形式比较好- 5 - / 17 用，且斜率在直线方程中能够体现，在用斜截式解决问题时要注意检验斜率不存在的直线是否符合

11、条件 （2）xmyb=+，此直线不能表示水平线，但可以表示斜率不存在的直线。经常在联立方程后消去x时使用，多用于抛物线22ypx=（消元后的二次方程形式简单）。此直线不能直接体现斜率，当0m 时，斜率1km= 4 、 弦 长 公 式 ： （ 已 知 直 线 上 的 两 点 距 离 ） 设 直 线: l ykxm=+，l上 两 点()()1122,a x yb xy，所以2121abkxx=+或21211abyyk=+ （1）证明：因为()()1122,a x yb xy在直线l上，所以1122ykxmykxm=+=+ ()()221212abxxyy=+，代入1122ykxmykxm=+=+可

12、得： ()() ()()()222212121212abxxkxmkxmxxk xx=+=+ ()222121211kxxkxx=+=+ 同理可证得21211abyyk=+ （2）弦长公式的适用范围为直线上的任意两点，但如果,a b为直线与曲线的交点（即ab为 曲 线 上 的 弦 ） ， 则12xx（ 或12yy） 可 进 行 变 形 ：()()22121212124xxxxxxx x=+，从而可用方程的韦达定理进行整体代入。 5、点差法：这是处理圆锥曲线问题的一种特殊方法，适用于所有圆锥曲线。不妨以椭圆方程()222210 xyabab+=为例，设直线ykxm=+与椭圆交于()()1122,

13、a x yb xy两点，则该两点满足椭圆方程，有： 22112222222211xyabxyab+=+= - 6 - / 17 考虑两个方程左右分别作差，并利用平方差公式进行分解，则可得到两个量之间的联系： ()()2222121222110 xxyyab+= ()()()()1212121222110 xxxxyyyyab+= ()()()()121212122211022xxyyxxyyab+= 由 等 式 可 知 ： 其 中 直 线ab的 斜 率1212yykxx=，ab中 点 的 坐 标 为1212,22xxyy+，这些要素均在式中有所体现。所以通过“点差法”可得到关于直线ab的斜率与

14、ab中点的联系，从而能够处理涉及到弦与中点问题时。同时由可得在涉及,a b坐标的平方差问题中也可使用点差法。 二、典型例题 例 1：不论k为何值，直线1ykx=+与椭圆2217xym+=有公共点，则实数m的取值范围是（ ） a. ()0,1 b. )1,+ c. )()1,77,+ d. ()0,7 思路一：可通过联立方程，消去变量（如消去y），得到关于x的二次方程，因为直线与椭圆有公共点，所以0 在xr恒成立，从而将问题转化为恒成立问题，解出m即可 解：()2222171777ykxmxkxmmxym=+=+=，整理可得： ()22714770mkxkxm+= ()()()221447770

15、kmkm =+ 即2217071mkmk + + ()2max711mk += 7m )()1,77,m+ 思路二：从所给含参直线1ykx=+入手可知直线过定点()0,1，所以若过定点的直线均与椭- 7 - / 17 圆有公共点，则该点位于椭圆的内部或椭圆上，所以代入()0,1后2217xym+，即2111mm ，因为是椭圆，所以7m ，故m的取值范围是)()1,77,+ 答案：c 小炼有话说：（1）比较两种思路，第一种思路比较传统，通过根的个数来确定直线与椭圆位置关系，进而将问题转化为不等式恒成立问题求解；第二种思路是抓住点与椭圆位置关系的特点，即若点在封闭曲线内，则过该点的直线必与椭圆相交

16、，从而以定点为突破口巧妙解决问题。在思路二中，从含参直线能发现定点是关键 （2）本题还要注意细节，椭圆方程中22,xy的系数不同，所以7m 例 2：已知双曲线221124xy=的右焦点为f，若过点f的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是（ ） a. 33,33 b. ()3, 3 c. 33,33 d. 3, 3 思路：由221124xy=可得渐近线方程为：33yx= ，若过右焦点的直线与右支只有一个交 点 ， 则 直 线 的 斜 率 的 绝 对 值 小 于 或 等 于 渐 近 线 斜 率 的 绝 对 值 ， 即333333kk 答案：c 小炼有话说：本题是利用“基础知

17、识”的结论直接得到的答案，代数的推理如下： 由221124xy=可知()4,0f，设直线():4lyk x=，联立方程可得： ()()2222231234124xyxkxyk x=，整理后可得： ()()2222132448120kxk xk+= 当231303kk= 时，782802xx=，即位于双曲线右支，符合题意 - 8 - / 17 当2130k时，()()()()22222244 1348124810kkkk = +=+ 直线与双曲线必有两个交点，设为() ()1122,x yxy 因为直线与双曲线的右支有且只有一个交点 120 x x ，即224812013kk+ 23331033

18、kk 综上所述：3333k 例 3：已知抛物线c的方程为212xy=，过点()0, 1a和点(),3b t的直线与抛物线c没有公共点，则实数t的取值范围是（ ） a. ()(), 11, + b. 22,22 + c. () (), 2 22 2, + d. () (),22, + 思路：由,a b两点可确定直线ab的方程（含t），再通过与抛物线方程联立，利用0 即可得到关于t的不等式，从而解得t的范围 解：若0t =，则直线:0ab x =与抛物线有公共点，不符题意 若0t ，则4abkt= 4:1ab yxt=，与椭圆联立方程： 221212421xyxxtyxt= 2240txxt+ =

19、 直线与抛物线无公共点 216802tt = 或2t 答案：d 例 4：过双曲线2212yx =的右焦点f作直线l交双曲线于,a b两点，若实数使得ab=的直线恰有 3 条，则=_ - 9 - / 17 思路：由双曲线方程可知()3,0f，当l斜率不存在时，可知ab为通径，计算可得：4ab =，当l斜率存在时，设直线():3l yk x=，与椭圆方程联立，利用弦长公式可得()224 12kabk+=为关于k的表达式，即()224 12kk+=。可解得：2244k=+或2244k+=。若2404=+或2404+=，即2= 时，可得0k =，仅有一解，不符题意。若2404+且2404+，则每个方程

20、只能无解或两解。所以可知当4=时，方程有两解，再结合斜率不存在的情况，共有 3 解。符合题意，所以4= 解：由双曲线2212yx =可得1,2,3abc= ()3,0f， 当ab斜率不存在时，l的方程为3x = ab为通径，即224baba= 若直线l斜率存在，不妨设为k 则设():3l yk x=，()()1122,a x yb xy 联立直线与椭圆方程：()22223xyyk x=消去y可得：()222232xkx=，整理可得： ()()222222 3320kxk xk+= ()()()222222 34 2321616kkkk =+=+ ()22212224 11122kabkxxkk

21、k+=+=+= 可得：2244k=+或2244k+= 当2404=+时，即2=，则方程的解为0k =，只有一解，不符题意 同理，当2404+=，即2= ，则方程的解为0k =，只有一解，不符题意 当2404+且2404+时，则每个方程的解为 0 个或两个，总和无法达到 3 个，不符题意 所以若ab=的直线恰有 3 条，只能4=，方程解得：22k = - 10 - / 17 满足条件的直线ab的方程为：3x =，()232yx=，()232yx= 答案：4= 例 5：已知椭圆22143xy+=，则当在此椭圆上存在不同两点关于直线4yxm=+对称，则m的取值范围是（ ） a. 13131313m

22、b. 2 132 131313m c. 13131313m d. 2 132 131313m 思路：设椭圆上两点()()1122,a x yb xy，中点坐标为()00,xy，则有01201222xxxyyy=+=+，由中点问题想到点差法，则有()()221122221212222234123403412xyxxyyxy+=+=+=，变形可得：()()()()12121212340 xxxxyyyy+= 由对称关系和对称轴方程可得，直线ab的斜率121214yykxx= =，所以方程转化为：0000168034xyyx+ = ，由对称性可知ab中点()00,xy在对称轴上，所以有004yxm=

23、+，所以解得：003xmym= = ，依题 意 可 得 ： 点()00,xy必 在 椭 圆 内 ， 所 以 有22003412xy+， 代 入 可 得 ：()()2234312mm+ ，解得：2 132 131313m 答案：d 例 6：过点()2,0m 的直线m与椭圆2212xy+=交于12,p p两点，线段12pp的中点为p，设直线m的斜率为()110k k ，直线op的斜率为2k，则1 2k k的值为（ ） a. 2 b. 2 c. 12 d. 12 思路一：已知m与椭圆交于12,p p两个基本点，从而设()()111222,p x yp xy，可知- 11 - / 17 1212,22

24、xxyyp+， 即12212yykxx+=+， 从 结 构 上 可 联 想 到 韦 达 定 理 ， 设()1:2m ykx=+，联立椭圆方程：()()2222221111121882022xykxk xkykx+=+=+，可得：211221821kxxk+= +，所以()1121121214421kyykxxkk+=+=+，则2112kk= ，即1 212k k = 思路二：线段12pp为椭圆的弦，且问题围绕着弦中点p展开，在圆锥曲线中处理弦中点问题可用“点差法”，设()()111222,p x yp xy，则有221122221212xyxy+=+=，两式作差，可得：() ()()()()(

25、)2222121212121212110022xxyyxxxxyyyy+=+=，发现等式中出现与中点和12pp斜率相关的要素，其中1212,22xxyyp+，所以12212yykxx+=+，且12112yykxx=，所以等式化为()()()()12121212102yyyyxxxx+=+即1 2102k k+=，所以1 212k k = 答案：d 小炼有话说：两类问题适用于点差法，都是围绕着点差后式子出现平方差的特点。 （1）涉及弦中点的问题，此时点差之后利用平方差进行因式分解可得到中点坐标与直线斜率的联系 （2）涉及到运用两点对应坐标平方差的条件，也可使用点差法 例 7：已知点()1,2a在

26、抛物线2:4c yx=上，过点a作两条直线分别交抛物线于点,d e，直线,ad ae的斜率分别为,adaekk，若直线de过点()1, 2p ，则adaekk=（ ） a. 4 b. 3 c. 2 d. 1 思路：设()()1122,d x ye xy，进而所求()()12121212241adaey yyykkx xxx+=+，所以可从直线de入手，设直线():21de yk x+=+，与抛物线方程联立，利用韦达定理即可化简- 12 - / 17 2adaekk= 解：设()()1122,d x ye xy 121222,11adaeyykkxx= ()()12121212121224221

27、11adaey yyyyykkxxx xxx+=+ 设()1, 2p ，则():21de yk x+=+ 联立方程：()2421yxyk x=+=+，消去x可得： 24480kyyk+= 1212448,kyyy ykk+= 21212242442yykkkxxkk+= ()22121224416y ykkx xk+= 代入可得： 2222484242444421adaekkkkkkkkkkk+=+ 答案：c 例 8：已知抛物线2:4c yx=的焦点为f，过点f的直线l交抛物线于,m n两点，且2mfnf=，则直线l的斜率为（ ） a. 2 b. 2 2 c. 22 d. 24 思路一：从点的

28、坐标出发，因为,m f n三点共线，从而2mfnf=可转化为2mfnf= ， 考 虑 将 向 量 坐 标 化 ，()1,0f， 设()()1122,m x yn xy， 有()()11221,1,mfxynfxy=，所以122yy= ，设直线:1l xmy=+，联立抛物线方程消元后可得：2440ymy=，利用韦达定理可得：121244yymy y+= ，再结合- 13 - / 17 122yy= ，消去12,y y即可得24m = ，直线2:14l xy= +，即可得到斜率为2 2 思路二：从所给线段关系2mfnf=恰好为焦半径出发，联系抛物线的定义，可考虑,m n向准线引垂线，垂足分别为,p

29、 q，便可得到直角梯形pmnq，由抛物线定义可知：,mpmfnqnf=，将所求斜率转化为直线的倾斜角，即为pmf。不妨设m在第 一 象 限 。 考 虑 将 角 放 入 直 角 三 角 形 ， 从 而 可 过n作ntmp于t， 则tantnnmttm=，因为2mfnf=而tmpmptpmqnmfnfnf=，且3mnmfnfnf=+=，利用勾股定理可得：222 2tnmnmtnf=，从而tan2 2tnnmttm=，即2 2k =，当m在第四象限时，同理，可得2 2k = 综上所述：2 2k = 答案：b 例 9：如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆2212xy+=的左、右焦点分别为12,f f，

30、设,a b是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线1af与直线2bf平行，2af与1bf交于点p，122 33afbf=+，则直线1af的斜率是（ ） a. 3 b. 2 c. 22 d. 1 思路：先设出直线12:1,:1afxmybfxmy=+，只需一个等量条件即可求出m，进而求出斜率。考虑与椭圆联立方程，分别解出,a b的纵坐标，然后利用弦长公式即可用m表示12,af bf：()()22221222211211,22mm mmm mafbfmm+=+，可将已知等式转化为关于m的方程，从而解出1m =，所以斜率为11m= - 14 - / 17 解：由椭圆方程可得：()11,0f ，()21,0

31、f 设12:1,:1afxmybfxmy=+，()()1122,a x yb xy，依图可知：120,0yy 联立1af与椭圆方程可得： ()2222211211xymyyxmy+=+=，整理可得： ()222210mymy+ = ()()()222222 2121222mmmmymm+=+ ()212212mmym+=+ ()122221112211112fmm mafmyymym+=+=+=+ 同理可得：()22222112mm mbfm+=+ ()()222212222112112 32 33223mm mmm mafbfmm+=+ 即22212 223m mm+=+，解得：1m = 直线1af的斜率11km= 答案：d 小炼有话说：（1）在运用弦长公式计算12,afbf时，抓住焦点的纵坐标为 0 的特点，使用纵坐标计算线段长度更为简便，因此在直线的选择上，本题采用xmyb=+的形式以便于消去x得到关于y的方程 （2）直线方程xmyb=+，当0m 时，可知斜率k与m的关系为：1km= 例 10：过椭圆22143xy+=的右焦点f作两条相互垂直的直线分别交椭圆于, , ,a b c d四- 15 - / 17 点，则11abcd+的值为（ ） a