高中数学必修二高中数学必修二人A新教材课时素养评价七

1、- 1 - / 11 温馨提示：温馨提示： 此套题为此套题为 wordword 版，请按住版，请按住 ctrl,ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭看比例，答案解析附后。关闭 wordword 文档返回原板块。文档返回原板块。 课时素养评价课时素养评价七七 平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量加、减运算的坐标表示平面向量加、减运算的坐标表示 (15 分钟 30 分) 1.已知向量 a a=(1,2),a a+b b=(3,2),则 b b= ( ) a.(1,-2) b.(1,2) c.(5,6) d.(2,0)

2、 【解析】选 d.b b=a a+b b-a a=(3,2)-(1,2)=(2,0). 2.(2020南充高一检测)已知 a(1,1),b(-2,2),o 是坐标原点,则+= ( ) a.(-1,3) b.(3,-1) c.(1,1) d.(-2,2) 【解析】选 d.因为 b(-2,2),o 是坐标原点;所以+=(-2,2). 3.(2020沂水高一检测)在平行四边形 abcd 中,ac 为一条对角线,=(2,4),=(1,3),则= ( ) a.(2,4) b.(3,5) c.(1,1) d.(-1,-1) 【解析】选 c.=-=-=-(-)=(1,1). 4.如图,向量 a a,b b,

3、c c 的坐标分别是 , , . - 2 - / 11 【解析】将各向量分别向基底 i i,j j 所在直线分解,则 a a=-4i i+0j j,所以 a a=(-4,0); b b=0i i+6j j,所以 b b=(0,6);c c=-2i i-5j j,所以 c c=(-2,-5). 答案:(-4,0) (0,6) (-2,-5) 5.已知点 a(1,2),b(4,2),向量 a a=(x+y,x-2y),若 a a 与向量相等,则 x-y= . 【解析】因为=(3,0),a a=,所以 解得所以 x-y=1. 答案:1 6.已知边长为 2 的正三角形 abc,顶点 a 在坐标原点,a

4、b 边在 x 轴上,c 在第一象限,d 为 ac 的中点,分别求向量,的坐标. 【解析】正三角形 abc 的边长为 2, 则顶点 a(0,0),b(2,0),c(2cos 60,2sin 60), - 3 - / 11 所以 c(1,),d, 所以=(2,0),=(1,), =(1-2,-0)=(-1,), =. 【补偿训练】 如图,取与 x 轴、y 轴同向的两个单位向量 i i,j j 作为基底,分别用 i i,j j 表示,并求出它们的坐标. 【解析】由题图可知,=6i i+2j j,=2i i+4j j,=-4i i+2j j,它们的坐标表示为=(6,2),=(2,4),=(-4,2).

5、 (30 分钟 60 分) 一、单选题(每小题 5 分,共 20 分) 1.已知 o 是坐标原点,点 a 在第一象限,|=4,xoa=60,则向量的坐标为 ( ) a.(6,2) b.(2,3) c.(2,8) d.(2,6) 【解析】选 d.设点 a(x,y),则 x=|cos 60=4cos 60=2, y=|sin 60=4sin 60=6, - 4 - / 11 即 a(2,6),所以=(2,6). 2.已知平行四边形 abcd 的三个顶点 a,b,c 的坐标分别是(-2,1),(-1,3),(3,4),则向量的坐标是 ( ) a.(2,2) b.(3,-1) c.(-3,1) d.(

6、4,2) 【解析】选 b.因为平行四边形 abcd 的三个顶点 a,b,c 的坐标分别是(-2,1), (-1,3),(3,4), 所以=(-2,1)-(-1,3)=(-1,-2), =(3,4)-(-1,3)=(4,1). 所以=+=(-1,-2)+(4,1) =(3,-1). 3.(2020宁波高一检测)已知 a(-1,2),b(2,-1),若点 c 满足+=0 0,则点 c坐标为 ( ) a. b.(-3,3) c.(3,-3) d.(-4,5) 【解析】选 d.设 c(x,y),由 a(-1,2),b(2,-1), 得=(x+1,y-2),=(3,-3); 又+=0 0,所以=-,即

7、- 5 - / 11 解得所以点 c 坐标为(-4,5). 4.如果将=绕原点 o 逆时针方向旋转 120得到,则的坐标是 ( ) a. b. c. d. 【解析】选 d.因为=,所以xoa=30,绕原点 o 逆时针方向旋转 120得到,所以射线 ob 与单位圆的交点 b 的坐标为(cos 150,sin 150),即,所以=. 二、多选题(每小题 5 分,共 10 分,全部选对得 5 分,选对但不全的得 3 分,有选错的得 0 分) 5.已知向量 i i=(1,0),j j=(0,1),对坐标平面内的任意一向量 a a,下列结论中正确的是 ( ) a.存在唯一的一对实数 x,y,使得 a a

8、=(x,y) b.若 x1,x2,y1,y2r,a a=(x1,y1)(x2,y2),则 x1x2,且 y1y2 c.若 x,yr,a a=(x,y),且 a a0 0,则 a a 的起点是原点 o d.若 x,yr,a a 的起点坐标是(1,1),且 a a 的终点坐标是(x,y),则 a a=(x-1,y-1) - 6 - / 11 【解析】选 ad.由平面向量基本定理知 a 正确;若 a a=(1,0)(1,3),但 1=1,故 b错误;因为向量可以平移,所以 a a=(x,y)与 a a 的起点是不是原点无关,故 c 错误;根据向量坐标的计算方法可知 d 正确. 6.在平面直角坐标系中

9、,点 a(2,3),b(-3,4),如图所示,x 轴、y 轴同方向上的两个单位向量分别为 i i 和 j j,则下列说法正确的是 ( ) a.=2i i+3j j b.=3i i+4j j c.=-5i i+j j d.=5i i+j j 【解析】选 ac.因为 i i,j j 互相垂直,故可作为基底,由平面向量基本定理,可得=2i i+3j j,=-3i i+4j j,=-=-5i i+j j,=-=5i i-j j,故 ac 正确. 三、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 7.已知与 x 轴,y 轴方向相同的两个单位向量分别为 i i,j j,若=-4i i+3j j,=i i-6j

10、j, o 为坐标原点,向量与互为相反向量,则点 m 的坐标为 . 【解析】因为=-4i i+3j j,=i i-6j j,所以=,=,所以=+ =+=,又因为向量与互为相反向量,所=-= ,所以点 m 的坐标为. 答案: 8.已知在非平行四边形 abcd 中,abdc,且 a,b,d 三点的坐标分别为(0,0), - 7 - / 11 (2,0),(1,1),则顶点 c 的横坐标的取值范围是 . 【解析】当 abcd 为平行四边形时,则=+=(2,0)+(1,1)=(3,1),故满足题意的顶点 c 的横坐标的取值范围是(1,3)(3,+). 答案:(1,3)(3,+) 四、解答题(每小题 10

11、 分,共 20 分) 9.如图,在平面直角坐标系 xoy 中,oa=4,ab=3,aox=45,oab=105, =a a,=b b.四边形 oabc 为平行四边形. (1)求向量 a a,b b 的坐标; (2)求向量的坐标; (3)求点 b 的坐标. 【解析】(1)作 amx 轴于点 m, 则 om=oacos 45=4=2, - 8 - / 11 am=oasin 45=4=2. 所以 a(2,2),故 a a=(2,2). 因为aoc=180-105=75, 所以cox=120. 又 oc=ab=3,所以 c, 所以=, 即 b b=. (2)=-=. (3)=+=(2,2)+ =,

12、故点 b 的坐标为. 10.在平面直角坐标系 xoy 中,已知点 a(1,1),b(2,3),c(3,2), (1)若=+,求点 p 的坐标. (2)若+=0 0,求的坐标. 【解析】(1)因为=(1,2),=(2,1), - 9 - / 11 所以=(1,2)+(2,1)=(3,3), 即点 p 的坐标为(3,3). (2)设点 p 的坐标为(x,y), 因为+=0 0, 又+=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y). 所以解得 所以点 p 的坐标为(2,2),故=(2,2). 1.如图,在平面直角坐标系 xoy 中,一单位圆的圆心的初始位置在(0

13、,1),此时圆上一点 p 的位置在(0,0),圆在 x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,求的坐标. 【解析】设 a(2,0),b(2,1),由题意知劣弧长为 2,abp= =2. 设 p(x,y),则 x=2-1cos=2-sin 2, y=1+1sin=1-cos 2, - 10 - / 11 所以的坐标为(2-sin 2,1-cos 2). 2.已知平行四边形 abcd 的四个顶点 a,b,c,d 的坐标依次为(3,-1),(1,2), (m,1),(3,n).求 msin +ncos 的最大值. 【解析】因为四边形 abcd 为平行四边形, 则=,即(3-3,n+1)=(m-1,1-2), 即得 m=1,n=-2, 得 msin +ncos =sin -2cos =sin(+), 其中 tan =-2,故 msin +ncos 的最大值为. 【补偿训练】 以原点 o 及点 a(2,-2)为顶点作一个等边aob,求点 b 的坐标及向量的坐标. 【解析】因为aob 为等边三角形,且 a(2,-2), 所以|=|=|=4. 因为在 02范围内,以 ox 为始边,oa 为终边的角为,当点 b 在 oa 的上方时,以 ob 为终边的角为